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浙江省杭州市2025-2026学年七年级下学期期末模拟自测数学试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2024 昂仁县一模）某种固态材料密度仅每立方厘米0.0000106克，将0.0000106用科学记数法表示为（　　）
A．1.06×105 B．10.6×10﹣4 C．1.06×10﹣5 D．106×10﹣5
2．（3分）（2025春 安吉县期中）如图，下列四个选项中的图形可以通过图平移得到的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）（2025秋 汤原县期中）下列计算正确的是（　　）
A．x6÷x3＝x2 B．（﹣2x3y2）3＝﹣6x6y5
C．（x+1）2＝x2+1 D．2x3y 3y2＝6x3y3
4．（3分）下列由左边到右边的式子变形，属于因式分解的是（　　）
A．6a3b＝3a2 2ab B．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
C．2x2+4x﹣3＝2x（x+2）﹣3 D．ax﹣ay＝a（x﹣y）
5．（3分）（2024春 三原县期中）已知a＝﹣2﹣2，，，则a、b、c的大小关系为（　　）
A．b＞c＞a B．a＞b＞c C．b＞a＞c D．c＞a＞b
6．（3分）（2022春 虎林市校级期中）小明买了两种不同的笔共8支，单价分别是1元和2元，共10元．设1元笔买了x支、2元笔买了y支，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
7．（3分）（2024春 丰满区校级期末）若方程组的解为，小亮求解时不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了m和n两数，则这两数分别为（　　）
A．6和4 B．10和0 C．2和﹣4 D．4和2
8．（3分）（2025春 亳州期末）如图，已知AB∥CD，CG交AB于点G，且∠C＝α，GE平分∠BGC，点H是CD上的一个定点，点P是GE所在直线上的一个动点，则点P在运动过程中，∠GPH与∠PHC的关系不可能是（　　）
A．∠GPH﹣∠PHCα B．∠GPH+∠PHCα
C．∠GPH+∠PHCα＝180° D．∠PHC+∠GPHα＝360°
9．（3分）（2025秋 晋江市期中）已知（x+y）2＝10，（x﹣y）2＝18，那么xy的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
10．（3分）（2024春 江油市期末）小梦在某购物平台上购买甲、乙、丙三种商品，当购物车内选择3件甲，2件乙，1件丙时显示的价格为420元；当购物车内选择2件甲，3件乙，4件丙时显示的价格为580元，那么购买甲、乙、丙各两件应该付款（　　）
A．200元 B．400元 C．500元 D．600元
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2022春 江北区期末）计算：（﹣1）0＝　 　 ，3﹣2＝　 　 ，a5÷（﹣a）3＝　 　 ．
12．（3分）（2025 朝阳区校级开学）在方程2x﹣y＝0中，用含x的代数式表示y，则y＝　 　 ．
13．（3分）（2024春 章丘区校级期末）计算：　 　 ．
14．（3分）（2024秋 宛城区校级月考）计算：（14a3b2﹣7ab2）÷7ab2＝　 　 ．
15．（3分）（2024春 兖州区校级期末）已知x，y满足方程组，则x+y的值是 　 　 ．
16．（3分）（2024春 洪山区期中）如图，AB∥CD，点F在线段AB上，点E在线段DF上，∠CDQ＝3∠FDQ，∠QBE＝2∠ABQ，BQ交线段EF于点P，过点D作DH⊥BQ于点H．有下列结论：①，②∠BED+5∠FDQ＝3∠Q；③若∠FDH＝25°，则∠BED﹣∠ABQ＝65°；④若∠CDH＝45°，则BE∥DH．其中结论正确的有 　 　 （填写所有正确结论的序号）．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）（2022秋 汝南县期末）计算：
（1）[（x+y）（3x﹣2y）﹣y（4x﹣2y）]÷3x；
（2）．
18．（8分）《九章算术》在“盈不足”章中给出了20道类似的题目．将这类问题抽象成一般问题：若干人合伙买某物品，若每人出a1钱，则多出b1钱；若每人出a2钱，则又少b2钱．求人数和物价．如果设人数为x，物价为y，那么可列出二元一次方程组．
（1）解这个二元一次方程组；
（2）查阅资料，了解《九章算术》的求解方法，并解释其中的道理．
19．（8分）（2024春 江南区期末）先化简，再求值：（a+2）2﹣2（a+2）﹣3，其中．
20．（8分）（2024春 丰都县期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（4，3），B（3，1），C（1，2）．
（1）将△ABC向下平移4个单位长度，再向左平移5个单位长度，得到△A1B1C1，请在平面直角坐标系中画出平移后的△A1B1C1；
（2）写出点A1，B1，C1的坐标；
（3）求△A1B1C1的面积．
21．（8分）（2025秋 姜堰区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC＝72°．
（1）求∠BOE的大小；
（2）若OF⊥OE，请在图中画出所有符合要求的图形，并求出此时∠BOF的大小．
22．（8分）（2024秋 娄底校级期末）阅读材料，解答问题：如果一个四位自然数，十位数字是千位数字的2倍与百位数字的差，个位数字是千位数字的2倍与百位数字的和，则我们称这个四位数“亚运数”，例如，自然数3157，其中5＝3×2﹣1，7＝3×2+1，所以3157是“亚运数”．
（1）填空：①21 　 　 是“亚运数”（在横线上填上两个数字）；
②最小的四位“亚运数”是 　 　 ；
（2）若四位“亚运数”的后三位表示的数减去百位数字的3倍得到的结果除以7余3，这样的数叫做“冠军数”，求所有“冠军数”；
（3）已知一个大于1的正整数m可以分解成m＝pq+n4的形式（p≤q，n≤6，p，q，n均为正整数），在m的所有表示结果中，当nq﹣np取得最小时，称“m＝pq+n4”是m的“最小分解”，此时规定：；
例：18＝1×2+24＝1×17+14，因为1×17﹣1×1＞2×2﹣2×1，所以，求所有“冠军数”的F（m）的最大值．
23．（12分）（2025春 朝阳区校级期中）数学实践：探究用标准卡纸制作礼盒个数最多．
素材1：如图1，每张标准卡纸可以剪裁成6张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形．
素材2：如图2，可以用小长方形和小正方形制作横式叠盖和竖式叠盖纸盒，如图3是横式叠盖和竖式叠盖纸盒的平面展开图．
素材3：数学实践小组一共有33张标准卡纸通过剪裁一共得到m张小长方形和n张小正方形，做成x个横式叠盖纸盒和y个竖式叠盖纸盒（其中x，y均不为零），恰好使剪裁后的小长方形和正方形用完．
（1）若m＝158，求n，x，y的值；
（2）求x和y值．
24．（12分）（2023春 锦江区校级期中）如图1，已知直线a∥b，线段AB在直线a上运动，C为直线b上一定点，D为直线a，b之间一定点，E为直线b上C点右侧一点．（本题中的角均为小于180°的角）
（1）当线段AB运动到图2位置时，若∠BAD与∠DCE互余，求∠ADC的度数；
（2）在线段AB在直线a上运动过程中，请直接写出∠BAD，∠DCE和∠ADC之间的数量关系；
（3）当线段AB运动到如图3所示的位置时，∠ADC的平分线DF交直线a于点F，G为直线a上点A左侧一点，且∠AGD＝∠ADG，求证：．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2024 昂仁县一模）某种固态材料密度仅每立方厘米0.0000106克，将0.0000106用科学记数法表示为（　　）
A．1.06×105 B．10.6×10﹣4 C．1.06×10﹣5 D．106×10﹣5
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【专题】实数；数感．
【答案】C
【分析】科学记数法的表现形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数，表示时关键是要正确确定a及n的值．
【解答】解：0.0000106＝1.06×10﹣5，
故选：C．
【点评】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．
2．（3分）（2025春 安吉县期中）如图，下列四个选项中的图形可以通过图平移得到的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】利用平移设计图案．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观；推理能力．
【答案】A
【分析】根据平移的性质进行判断．
【解答】解：由通过图平移得到的是，
∴A符合题意，B、C、D不符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查利用平移设计图案，解题的关键是掌握平移不改变图形的形状和大小．
3．（3分）（2025秋 汤原县期中）下列计算正确的是（　　）
A．x6÷x3＝x2 B．（﹣2x3y2）3＝﹣6x6y5
C．（x+1）2＝x2+1 D．2x3y 3y2＝6x3y3
【考点】整式的混合运算．
【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据相关运算法则逐项判断即可．
【解答】解：A：x6÷x3＝x6﹣3＝x3，故A不合题意；
B：（﹣2x3y2）3＝（﹣2）3 x9y6＝﹣8x9y6，故B不合题意；
C：（x+1）2＝x2+2x+1，故C不合题意；
D：正确，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了幂的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键
4．（3分）下列由左边到右边的式子变形，属于因式分解的是（　　）
A．6a3b＝3a2 2ab B．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
C．2x2+4x﹣3＝2x（x+2）﹣3 D．ax﹣ay＝a（x﹣y）
【考点】因式分解的意义．
【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此逐项判断即可．
【解答】解：6a3b＝3a2 2ab，等式的左边不是一个多项式，不是因式分解，则A不符合题意；
（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4，是整式的乘法，则B不符合题意；
2x2+4x﹣3＝2x（x+2）﹣3，等式的右边不是几个整式的积的形式，则C不符合题意；
ax﹣ay＝a（x﹣y），符合因式分解的定义，则D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键．
5．（3分）（2024春 三原县期中）已知a＝﹣2﹣2，，，则a、b、c的大小关系为（　　）
A．b＞c＞a B．a＞b＞c C．b＞a＞c D．c＞a＞b
【考点】负整数指数幂；有理数大小比较；零指数幂．
【专题】实数；运算能力．
【答案】A
【分析】利用负整数指数幂和零指数幂的意义将各数进行化简，再根据有理数大小比较的法则可得答案．
【解答】解：∵，，
∴b＞c＞a．
故选：A．
【点评】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，有理数大小比较，利用零指数幂，负整数指数幂，化简各数是解题关键．
6．（3分）（2022春 虎林市校级期中）小明买了两种不同的笔共8支，单价分别是1元和2元，共10元．设1元笔买了x支、2元笔买了y支，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】C
【分析】根据题意可得等量关系：①两种不同的笔共8支；②1元笔的总价+2元笔的总价＝10元，根据等量关系列出方程组．
【解答】解：设单价1元的笔买了x支，单价2元的笔买了y支，
由题意得：．
故选：C．
【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．
7．（3分）（2024春 丰满区校级期末）若方程组的解为，小亮求解时不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了m和n两数，则这两数分别为（　　）
A．6和4 B．10和0 C．2和﹣4 D．4和2
【考点】二元一次方程组的解．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】把x＝3代入方程组第二个方程求出y的值，确定出2x+y的值即可．
【解答】解：把x＝3代入2x﹣y＝10中得：y＝n＝﹣4，
∴m＝2x+y＝6﹣4＝2，
则这两个数分别为2和﹣4，
故选：C．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是理解方程组解的定义．
8．（3分）（2025春 亳州期末）如图，已知AB∥CD，CG交AB于点G，且∠C＝α，GE平分∠BGC，点H是CD上的一个定点，点P是GE所在直线上的一个动点，则点P在运动过程中，∠GPH与∠PHC的关系不可能是（　　）
A．∠GPH﹣∠PHCα B．∠GPH+∠PHCα
C．∠GPH+∠PHCα＝180° D．∠PHC+∠GPHα＝360°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】D
【分析】根据题意分3种情况讨论，分别根据平行线的性质和判定，结合角平分线的概念求解即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BGC＝∠C＝α，
∵GE平分∠BGC，
∴∠BGE＝∠CGE∠BGCα，
如图，当点P在AB和CD之间时，过点P作PM∥AB，
∴∠BGE＝∠GPMα，
∵AB∥CD，
∴MP∥CD，
∴∠MPH＝∠PHC＝∠GPH﹣∠GPM＝∠GPHα，
∴∠GPH﹣∠PHCα，故A不符合题题意；
当点P在AB上方时，如图，过点P作PN∥AB，
∴∠FGA＝∠BGEα，
∵PN∥AB，
∴∠FPN＝∠FGAα，
∵AB∥CD，
∴PN∥CD，
∴∠NPH＝∠PHC，
∵∠FPN+∠NPH+∠GPH＝180°，
∴α+∠PHC+∠FPH＝180°，故C不符合题题意；D符合题意；
当点P在CD下方时，如图，过点P作PK∥AB，
∴∠FPK＝∠AGFα，
∵AB∥CD，
∴PK∥CD，
∴∠CHP＝∠HPK，
∵∠GPH+∠KPH＝∠GPKα，
∴∠GPH+∠KPHα，故B不符合题题意；
故选：D．
【点评】此题考查了平行线的性质和判定，角平分线的概念，分类讨论思想，根据题意正确分类并根据平行性的性质得出角度之间的关系是解题关键．
9．（3分）（2025秋 晋江市期中）已知（x+y）2＝10，（x﹣y）2＝18，那么xy的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【考点】完全平方公式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】根据计算即可得解．
【解答】解：由题意可得：
，
故选：C．
【点评】本题考查了完全平方公式的变形，熟练掌握完全平方公式及其变形是解此题的关键．
10．（3分）（2024春 江油市期末）小梦在某购物平台上购买甲、乙、丙三种商品，当购物车内选择3件甲，2件乙，1件丙时显示的价格为420元；当购物车内选择2件甲，3件乙，4件丙时显示的价格为580元，那么购买甲、乙、丙各两件应该付款（　　）
A．200元 B．400元 C．500元 D．600元
【考点】三元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】设购买甲、乙、丙三种商品需付款x元，y元，z元，根据题意列出方程组，计算即可求出x，y，z的值，即可得到结果．
【解答】解：设购买甲、乙、丙三种商品需付款x元，y元，z元，
根据题意得：，
①+②得：5x+5y+5z＝1000，即x+y+z＝200，
∴2x+2y+2z＝400，
则购买甲、乙、丙各两件应该付款400元．
故选：B．
【点评】此题考查了三元一次方程组的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2022春 江北区期末）计算：（﹣1）0＝　1　 ，3﹣2＝　　 ，a5÷（﹣a）3＝　﹣a2 ．
【考点】同底数幂的除法；零指数幂；负整数指数幂．
【专题】实数；运算能力．
【答案】1，，﹣a2．
【分析】根据零次方，负整数指数幂以及同底数幂的除法的计算方法进行计算即可．
【解答】解：（﹣1）0＝1；
3﹣2；
a5÷（﹣a）3＝a5÷（﹣a3）＝﹣a5﹣3＝﹣a2，
故答案为：1，，﹣a2．
【点评】本题考查零次方，负整数指数幂以及同底数幂的除法，掌握零次方，负整数指数幂以及同底数幂的除法的计算方法是正确解答的前提．
12．（3分）（2025 朝阳区校级开学）在方程2x﹣y＝0中，用含x的代数式表示y，则y＝　2x ．
【考点】解二元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】2x．
【分析】通过移项即可得到用含x的代数式表示y的形式．
【解答】解：2x﹣y＝0，
y＝2x，
故答案为：2x．
【点评】本题考查了解二元一次方程，熟练掌握用一个未知数表示另一个未知数的方法是解题的关键．
13．（3分）（2024春 章丘区校级期末）计算：　　 ．
【考点】负整数指数幂；有理数的除法；零指数幂．
【专题】实数；运算能力．
【答案】．
【分析】根据零指数幂和负整数指数幂以及有理数的除法，进行计算即可．
【解答】解：原式＝1÷2
．
故答案为：．
【点评】本题考查的是零指数幂和负整数指数幂以及有理数的除法，熟知以上知识是解题的关键．
14．（3分）（2024秋 宛城区校级月考）计算：（14a3b2﹣7ab2）÷7ab2＝　2a2﹣1　 ．
【考点】整式的除法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】2a2﹣1．
【分析】直接根据多项式除以单项式的计算法则求解即可．
【解答】解：原式＝14a3b2÷7ab2﹣7ab2÷7ab2
＝2a2﹣1，
故答案为：2a2﹣1．
【点评】本题主要考查了多项式除以单项式的计算，正确进行计算是解题关键．
15．（3分）（2024春 兖州区校级期末）已知x，y满足方程组，则x+y的值是 　4　 ．
【考点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】4．
【分析】将方程组的两个方程左、右两边分别相加即可求得x+y的值．
【解答】解：将方程组的两个方程左、右两边分别相加，得4（x+y）＝16，
解得x+y＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查二元一次方程组的解、解二元一次方程组，掌握其解法是解题的关键．
16．（3分）（2024春 洪山区期中）如图，AB∥CD，点F在线段AB上，点E在线段DF上，∠CDQ＝3∠FDQ，∠QBE＝2∠ABQ，BQ交线段EF于点P，过点D作DH⊥BQ于点H．有下列结论：①，②∠BED+5∠FDQ＝3∠Q；③若∠FDH＝25°，则∠BED﹣∠ABQ＝65°；④若∠CDH＝45°，则BE∥DH．其中结论正确的有 　①②④　 （填写所有正确结论的序号）．
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】①②④．
【分析】设∠ABQ＝a，∠FDQ＝b，∠CDQ＝3∠FDQ＝3b，∠QBE＝2∠ABQ＝2a，∠FBE＝3a，∠CDE＝4b，过点E作EG与CD平行，从而得出结论①正确；
过点Q作QH’与CD平行，得出∠FBQ＝∠BQH'，∠CDQ＝∠DQH'，∠H'QD＝∠BQH'+∠DQH'＝∠FBQ+∠CDQ＝a+3b，从而得出结论②正确；
根据∠QDH+∠HQD＝∠FDQ+∠FDH+∠HQD＝90°，得出25°+b+a+3b＝90°，从而得出结论③错误；
根据∵∠CDH＝45°，∠FDH＝45°﹣4b，得出∠a＝45°，∠QBE＝2a＝90°＝∠H，从而得出结论④正确．
【解答】解：设∠ABQ＝a，∠FDQ＝b，∠CDQ＝3∠FDQ＝3b，∠QBE＝2∠ABQ＝2a，∠FBE＝3a，∠CDE＝4b，过点E作EG与CD平行，
则：∠FEG＝∠CDE＝4b，因为AB与CD平行，所以EG与AB平行，∠BFE＝∠FEG＝4b，∠CDQ＝3b，∠BFD∠CDQ；故①正确；
过点Q作QH’与CD平行，则QH′与CD和AB平行，
所以∠FBQ＝∠BQH'，∠CDQ＝∠DQH'，∠H'QD＝∠BQH'+∠DQH'＝∠FBQ+∠CDQ＝a+3b，
因为∠BED＝∠BFE+∠EBF＝3a+4b，所以∠BED+5∠FDQ＝3a+4b+5b＝3a+9b＝3∠H'QD（原∠Q）故②正确；
因为∠QDH+∠HQD＝∠FDQ+∠FDH+∠HQD＝90°，
所以25°+b+a+3b＝90°，即a+4b＝65°，
因为∠BED﹣∠ABQ＝3a+4b﹣a＝2a+4b≠65°，故③错误；
∵∠CDH＝45°，∠FDH＝45°﹣4b，∠HQD＝90°﹣∠QDH＝90°﹣b﹣（45°﹣4b）＝3b+45°，∠HQD＝a+3b，
所以∠a＝45°，∠QBE＝2a＝90°＝∠H，
所以 BE与DH平行，故④正确．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了平行的性质的应用，角平分线的性质及三角形的外角的性质的应用是解题关键．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）（2022秋 汝南县期末）计算：
（1）[（x+y）（3x﹣2y）﹣y（4x﹣2y）]÷3x；
（2）．
【考点】整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；实数的运算．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）x﹣y；
（2）﹣2．
【分析】（1）先计算括号内的乘法，再合并同类项，最后计算多项式除以单项式即可；
（2）按照实数混合运算顺序进行计算即可．
【解答】解：（1）[（x+y）（3x﹣2y）﹣y（4x﹣2y）]÷3x
＝[3x2﹣2xy+3xy﹣2y2﹣4xy+2y2]÷3x
＝（3x2﹣3xy）÷3x
＝x﹣y；
（2）
＝4﹣3﹣2﹣1
＝﹣2．
【点评】此题考查了实数和混合运算和整式的四则混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
18．（8分）《九章算术》在“盈不足”章中给出了20道类似的题目．将这类问题抽象成一般问题：若干人合伙买某物品，若每人出a1钱，则多出b1钱；若每人出a2钱，则又少b2钱．求人数和物价．如果设人数为x，物价为y，那么可列出二元一次方程组．
（1）解这个二元一次方程组；
（2）查阅资料，了解《九章算术》的求解方法，并解释其中的道理．
【考点】解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）（a1﹣a2≠0）；
（2）《九章算术》中“盈不足”问题的求解方法称为“盈不足术”，其核心思想是通过两次不同的出
钱情况（盈与不足）来计算人数和物价．
对于题目中“每人出a1钱盈b1，每人出a2钱不足b2”的问题，《九章算术》给出的解法为：
人数，物价，
道理如下：两次出钱的差额为a1﹣a2（不妨假设a1＞a2），
而两次出钱导致的总钱数差额为“盈”与“不足”的和b1+b2，
因为每人多出（a1﹣a2）钱，就会从“不足b2”变为“盈b1”，
即总共多出来的钱就是b1+b2，
所以人数等于总差额除以每人的差额，即，
求出人数后，再根据“每人出a1钱盈b1”，可得物价y＝a1x﹣b1，
将x的值代入可得，
这种方法本质上与现代解二元一次方程组的消元法一致，充分体现了我国古代数学家对数量关系的深刻理解．
【分析】（1）利用代入消元法得a1x﹣b1＝a2x+b2，由此得（a1﹣a2）x＝b1+b2，当a1﹣a2≠0时，，再将x的值代入①得，据此即可得出该方程组的解；
（2）《九章算术》给出的解法为：人数，物价，道理如下：两次出钱的差额为a1﹣a2（不妨假设a1＞a2），而两次出钱导致的总钱数差额为“盈”与“不足”的和b1+b2，因为每人多出（a1﹣a2）钱，就会从“不足b2”变为“盈b1”，即总共多出来的钱就是b1+b2，所以人数等于总差额除以每人的差额，即，求出人数后，再根据“每人出a1钱盈b1”，可得物价y＝a1x﹣b1，将x的值代入可得，这种方法本质上与现代解二元一次方程组的消元法一致，充分体现了我国古代数学家对数量关系的深刻理解．
【解答】解：（1）②，
将①代入②，得：a1x﹣b1＝a2x+b2，
∴a1x﹣a2x＝b1+b2，
即（a1﹣a2）x＝b1+b2，
当a1﹣a2≠0时，，
将，代入①，得：，
∴该方程组的解为：（a1﹣a2≠0）；
（2）《九章算术》中“盈不足”问题的求解方法称为“盈不足术”，其核心思想是通过两次不同的出
钱情况（盈与不足）来计算人数和物价．
对于题目中“每人出a1钱盈b1，每人出a2钱不足b2”的问题，《九章算术》给出的解法为：
人数，物价，
道理如下：两次出钱的差额为a1﹣a2（不妨假设a1＞a2），
而两次出钱导致的总钱数差额为“盈”与“不足”的和b1+b2，
因为每人多出（a1﹣a2）钱，就会从“不足b2”变为“盈b1”，
即总共多出来的钱就是b1+b2，
所以人数等于总差额除以每人的差额，即，
求出人数后，再根据“每人出a1钱盈b1”，可得物价y＝a1x﹣b1，
将x的值代入可得，
这种方法本质上与现代解二元一次方程组的消元法一致，充分体现了我国古代数学家对数量关系的深刻理解．
【点评】此题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握消元法解二元一次方程组是解决问题的关键．
19．（8分）（2024春 江南区期末）先化简，再求值：（a+2）2﹣2（a+2）﹣3，其中．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【专题】整式；运算能力．
【答案】a2+2a﹣3，2．
【分析】根据完全平方公式、去括号法则、合并同类项把原式化简，把a的值代入计算得到答案．
【解答】解：原式＝a2+4a+4﹣2a﹣4﹣3
＝a2+2a﹣3，
当a时，原式＝（）2+23＝2．
【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
20．（8分）（2024春 丰都县期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（4，3），B（3，1），C（1，2）．
（1）将△ABC向下平移4个单位长度，再向左平移5个单位长度，得到△A1B1C1，请在平面直角坐标系中画出平移后的△A1B1C1；
（2）写出点A1，B1，C1的坐标；
（3）求△A1B1C1的面积．
【考点】作图﹣平移变换．
【专题】作图题；平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】（1）作图见解答过程；
（2）A1（﹣1，﹣1），B1（﹣2，﹣3），C1（﹣4，﹣2）；
（3）．
【分析】（1）分别将三个顶点分别向下平移4个单位长度，再向左平移5个单位长度得到对应点，再首尾顺次连接即可；
（2）根据以上所作图形可得答案；
（3）利用割补法求解即可．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．
（2）由图知，A1（﹣1，﹣1），B1（﹣2，﹣3），C1（﹣4，﹣2）；
（3）△A1B1C1的面积为2×31×21×21×3．
【点评】本题主要考查作图﹣平移变换，解题的关键是掌握平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．
21．（8分）（2025秋 姜堰区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC＝72°．
（1）求∠BOE的大小；
（2）若OF⊥OE，请在图中画出所有符合要求的图形，并求出此时∠BOF的大小．
【考点】垂线；角平分线的定义；对顶角、邻补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；数感；几何直观．
【答案】（1）∠BOE＝36°；
（2）∠BOF＝∠EOF﹣∠BOE＝54°，
或∠BOF＝∠EOF+∠BOE＝126°．
【分析】（1）利用对顶角相等得∠BOD，再由角平分线求∠BOE；
（2）分OF在OE两侧，结合垂直求∠BOF．
【解答】解：（1）∵∠AOC＝72°，
∴∠BOD＝∠AOC＝72°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE∠BOD＝36°；
（2），
∵OF⊥OE，
∴∠EOF＝90°，
∵∠BOE＝36°，
∴∠BOF＝∠EOF﹣∠BOE＝54°，
或∠BOF＝∠EOF+∠BOE＝126°．
【点评】本题考查了对顶角、邻补角、垂线以及角平分线的定义；弄清各个角之间的关系是解题的关键．
22．（8分）（2024秋 娄底校级期末）阅读材料，解答问题：如果一个四位自然数，十位数字是千位数字的2倍与百位数字的差，个位数字是千位数字的2倍与百位数字的和，则我们称这个四位数“亚运数”，例如，自然数3157，其中5＝3×2﹣1，7＝3×2+1，所以3157是“亚运数”．
（1）填空：①21 　35　 是“亚运数”（在横线上填上两个数字）；
②最小的四位“亚运数”是 　1022　 ；
（2）若四位“亚运数”的后三位表示的数减去百位数字的3倍得到的结果除以7余3，这样的数叫做“冠军数”，求所有“冠军数”；
（3）已知一个大于1的正整数m可以分解成m＝pq+n4的形式（p≤q，n≤6，p，q，n均为正整数），在m的所有表示结果中，当nq﹣np取得最小时，称“m＝pq+n4”是m的“最小分解”，此时规定：；
例：18＝1×2+24＝1×17+14，因为1×17﹣1×1＞2×2﹣2×1，所以，求所有“冠军数”的F（m）的最大值．
【考点】整式的混合运算．
【专题】转化思想；整式；运算能力；推理能力．
【答案】（1）①35；
②1022；
（2）2226和3066；
（3）．
【分析】（1）①根据定义解答即可；
②由于千位不能为0，最小只能取1根据题目得出相应的公式：十位＝2×千位﹣百位，个位＝2×千位+百位，分别求出十位和个位数字；
（2）依据题意列出代数式然后表示为7的倍数加余数形式即可解答；
（3）由 （2）得，m＝2226，故从对“冠军数”逐一尝试即可得出答案
【解答】解：（1）①35；
②由题意可知千位一定是1，百位取0，
则最小的四位“亚运数”是1022；
故答案为：35；1022；
（2）设千位数字是x，百位数字是y，而且x、y不等于0，2x＞y，
根据“亚运数”定义，
则有：十位数字是（2x﹣y），个位数字是（2x+y），
根据题意得：100y+10（2x﹣y）+2x+y﹣3y
＝88y+22x，
＝21（4y+x+（4y+x），
∵21（4y+x）+（x+4y）被7除余3，
∴x+4y＝3+7k，（k是非负整数），
∴当x＝1，y＝4时，
则2x﹣y＜0不合题意舍去，
当x＝2，y＝2时，
则“冠军数”是2226，
当x＝2，y＝9时，则2x﹣y＜0不合题意舍去，
当x＝3，y＝0时，
则“冠军数”是3066，
∴“冠军数”是2226和3066；
（3）∵所有的“冠军数”是：2226和3066，
∴2226的最小分解＝31×30+64，
F（2226），
3066的最小分解＝61×50+24，
F（3066），
故所有“冠军数”，的F（m）的最大值为．
【点评】本题主要考查了分解因数，新定义的理解和应用，掌握分解因数的方法是解本题的关键．
23．（12分）（2025春 朝阳区校级期中）数学实践：探究用标准卡纸制作礼盒个数最多．
素材1：如图1，每张标准卡纸可以剪裁成6张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形．
素材2：如图2，可以用小长方形和小正方形制作横式叠盖和竖式叠盖纸盒，如图3是横式叠盖和竖式叠盖纸盒的平面展开图．
素材3：数学实践小组一共有33张标准卡纸通过剪裁一共得到m张小长方形和n张小正方形，做成x个横式叠盖纸盒和y个竖式叠盖纸盒（其中x，y均不为零），恰好使剪裁后的小长方形和正方形用完．
（1）若m＝158，求n，x，y的值；
（2）求x和y值．
【考点】几何体的展开图；列代数式；代数式求值．
【专题】整式；一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）n＝80，x＝22，y＝12；
（2）或．
【分析】（1）33张标准卡纸通过剪裁得到158张小长方形，而一张可以剪裁6个小长方形，先算出总的小长方形，减去158，即为剩余的小长方形，一个小长方形可剪裁两个小正方形，再乘以2即可求解n，根据1个竖式叠盖纸盒可以需要4个小长方形和3个正方形，1个横式叠盖纸盒5个小长方形和2个小正方形，即可建立二元一次方程组求解；
（2）由题意得，每个竖式叠盖纸盒需要5.5个小长方形，每个横式叠盖纸盒需要6个小长方形，则6x+5.5y＝33×6，进而计算可以得解．
【解答】解：（1）由题意得，n＝（33×6﹣158）×2＝80，
根据题意得：，
∴．
∴n的值为80，x的值为22，y的值为12；
（2）由题意得，每个竖式叠盖纸盒需要5.5个小长方形，每个横式叠盖纸盒需要6个小长方形，
∴6x+5.5y＝33×6，
∴整数解为：或．
【点评】本题考查了几何体的展开图、二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
24．（12分）（2023春 锦江区校级期中）如图1，已知直线a∥b，线段AB在直线a上运动，C为直线b上一定点，D为直线a，b之间一定点，E为直线b上C点右侧一点．（本题中的角均为小于180°的角）
（1）当线段AB运动到图2位置时，若∠BAD与∠DCE互余，求∠ADC的度数；
（2）在线段AB在直线a上运动过程中，请直接写出∠BAD，∠DCE和∠ADC之间的数量关系；
（3）当线段AB运动到如图3所示的位置时，∠ADC的平分线DF交直线a于点F，G为直线a上点A左侧一点，且∠AGD＝∠ADG，求证：．
【考点】平行线的性质；余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】（1）∠ADC＝90°；
（2）∠ADC＝∠BAD+∠DCE或∠BAD+∠ADC+∠DCE＝360°；
（3）见解析．
【分析】（1）在D左边作DM∥AB，可证得∠ADC＝∠BAD+∠DCE，求解即可；
（2）在D左边作DM∥AB，根据（1）的思路可证得∠ADC＝∠BAD+∠DCE；
（3）在D左边作DM∥AB，利用（2）结论∠ADC＝∠BAD+∠DCE，再推理即可．
【解答】（1）解：在D左边作DM∥AB，则∠ADM＝∠BAD
，
∵a∥b，
∴DM∥AB∥b，
∴∠DCE＝∠MDC，
∵∠ADC＝∠ADM+∠MDC，
∴∠ADC＝∠BAD+∠DCE，
∵∠BAD与∠DCE互余，
∴∠ADC＝∠BAD+∠DCE＝90°
（2）解：在D左边作DM∥AB，则∠ADM＝∠BAD
，
∵a∥b，
∴DM∥AB∥b，
∴∠DCE＝∠MDC，
∵∠ADC＝∠ADM+∠MDC，
∴∠ADC＝∠BAD+∠DCE；
如图所示，当点D在AB左边时，作DN∥a，
∵a∥b，
∴DN∥a∥b，
∴∠BAD+∠ADN＝180°，∠CDN+∠DCE＝180°，
∴∠BAD+∠ADC+∠DCE＝∠BAD+∠ADN+∠CDN+∠DCE＝360°；
综上所述，∠ADC＝∠BAD+∠DCE或∠BAD+∠ADC+∠DCE＝360°；
（3）证明：在D左边作DM∥AB，则∠AGD＝∠GDM，∠FAD+∠ADM＝180°，
，
∵a∥b，
∴DM∥AB∥b，
∴∠DCE＝∠MDC，
∵∠ADC＝∠ADM+∠MDC，
∴∠ADC＝∠DCE+180°﹣∠FAD，
∵∠AGD＝∠ADG，
∴∠FAD＝180°﹣2∠AGD，
∴∠ADC＝∠DCE+2∠AGD，
∵∠ADC的平分线DF，
∴，
∵∠FDG＝∠ADF﹣∠ADG，
∴．
【点评】本题考查的是平行线的性质、三角形内角和，掌握平行线的性质定理是解题的关键．

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