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浙江省杭州市2025-2026学年七年级下学期期末模拟自测数学试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2024秋 大东区期末）若4xa+b﹣3y3a+2b﹣4＝2是关于x，y的二元一次方程，则a+b的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
2．（3分）（2024春 东阳市月考）如图，∠1的同位角是（　　）
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
3．（3分）（2024 河北二模）《察伟算经》记载，“忽，十微，微，十纤”，也就是说1忽＝10微，1微＝10纤．由分、厘、毫、丝、忽、微、纤这些中国古代的计量单位之间的关系，可推算1分＝1000000纤，某生物体长是“30纤”，换算成“分”，用科学记数法表示为（　　）
A．3×10﹣5分 B．3×10﹣6分 C．3×105分 D．3×106分
4．（3分）（2025秋 东海县期末）下列运算正确的是（　　）
A．a a2＝a2 B．（a2）3＝a6 C．a8﹣a2＝a6 D．a6÷a2＝a3
5．（3分）如图所示，工人师傅在工程施工中，需在同一平面内弯制一个变形管道ABCD，使其拐角∠ABC＝32°，∠BCD＝148°，则下列结论一定正确的是（　　）
A．AB∥CD B．AB＝BC
C．DC＝BC D．AB与CD相交
6．（3分）（2024 河北一模）若n为任意的正整数，则（3n+1）2﹣9n2总是能被（　　）
A．2整除
B．绘画成一次函数
C．当成任意方程的负数解
D．绘画成二次函数
7．（3分）（2024 中山区一模）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出八，盈十八，人数，羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出8钱，还多18钱，问合伙人数，羊价各是多少？设人数为x人，羊价为y钱，则可列方程组（　　）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，一个大正方形被两条线段分割成两个小正方形和两个小长方形，若两个正方形的面积分别是3和6，则AB长为（　　）
A．3 B．6 C．9 D．18
9．（3分）（2020秋 江阳区期末）若（x+a）（x+b）＝x2﹣12x+20，则a+b＝（　　）
A．﹣20 B．20 C．﹣12 D．12
10．（3分）（2025秋 西安期末）如图，矩形纸片ABCD沿EF折叠，A，D两点分别与A′，D′对应，若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为（　　）
A．60° B．65° C．72° D．75°
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2024春 沙坪坝区期末）由5x﹣2y＝﹣3，得到用y表示x的式子为x＝　 　 ．
12．（3分）am+1 a（　 　 ）＝a2m+1（m为正整数）
13．（3分）（2025 郴州二模）如图，DE∥BC，DF∥AC．若∠1＝110°，则∠2＝　 　 度．
14．（3分）（2025秋 闽侯县期末）如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西63°的方向，同时轮船B在南偏东18°的方向，那么∠AOB的大小为 　 　 度．
15．（3分）（2024 吉林开学）关于x，y的二元一次方程组的解满足2x+2y＝1，则a的值是　 　 ．
16．（3分）（2023春 拱墅区校级期中）一张边长为a的大正方形卡片和三张边长为b的小正方形卡片（a＜b＜a）如图1，取出两张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图2，再重新用三张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图3，已知图3中的阴影部分的面积比图2中的阴影部分的面积大2ab﹣2025，则小正方形卡片的面积是 　 　 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（2022春 中卫校级期中）把下列各式因式分解．
（1）4a3b3+6a2b﹣2ab；
（2）y（x+1）+y2（x+1）2．
18．（6分）（2023秋 雁塔区校级月考）解方程组：
（1）；
（2）．
19．（8分）（2024春 聊城期中）按要求解答：
（1）计算：（﹣2a2）3+2a2 a4﹣a8÷a2
（2）先化简后求值：（2﹣a）（2+a）﹣2a（a+3）+3a2，其中．
20．（8分）（2024春 沈阳期末）如图，三角形ABO中，A（﹣2，﹣3）、B（2，﹣1），△A'B'O'是△ABO平移之后得到的图形，并且O的对应点O'的坐标为（5，4）．
（1）作出△ABO平移之后的图形△A'B'O'；
（2）P（x0，y0）为△ABO中任意一点，则平移后对应点P'的坐标为 　 　 ；
（3）x轴上有一点Q，使△AOQ的面积与△AOB相同，求Q坐标．
21．（10分）（2024秋 秦州区期末）如图，点N在线段CD上，ED与FN交于点M，∠C＝∠1，∠2＝∠3．
（1）判断AB与CD是否平行，并说明理由；
（2）若∠D＝40°，∠EMF＝80°，求∠AEP的大小．
22．（10分）（2025秋 天桥区期末）规定两数a、b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为32＝9，所以（3，9）＝2．
（1）根据上述规定，填空：（2，32）﹣（3，27）＝　 　 ．
（2）①若（5，3）＝a，（5，7）＝b，（5，21）＝c，请你尝试证明：a+b＝c；
②若（x，2）＝m，（x，3）＝n，（x，18）＝k，则k＝　 　 （用含m，n的式子表示）．
进一步探究这种运算时发现一个结论：（xn，yn）＝（x，y），
证明：设（xn，yn）＝m，∴（xn）m＝yn，
∴（xm）n＝yn，∴xm＝y，即（x，y）＝m．
∴（xn，yn）＝（x，y）．
（3）结合①，②探索的结论，求（16，81）+（8，）的值．
23．（12分）（2023春 太和县期末）某企业A，B，C三个部门计划在甲，乙商家购买一批口罩和消毒液，口罩30元/盒，消毒液10元/瓶．甲，乙商家的销售优惠方式如下
①甲商家：口罩和消毒液都是按8折销售；
②乙商家：买一盒口罩可送一瓶消毒液．
（1）A部门有5人，计划每人配制1盒口罩和2瓶消毒液．若A部门选择甲商家购买，则需要花费 　 　 元．（2）B部门选择了乙商家，共花费500元，已知购买消毒液的数量是口罩数量的2倍多6．请问B部门购买了多少盒口罩．
（3）C部门要购买15盒口罩和消毒液若干（超过15瓶），如果你是该部门负责人，且只能在甲，乙商家选其中一家购买，应该选择哪家才会更加划算，请说明理由．
24．（12分）（2023春 义乌市月考）如图1，在△ABC中，∠B＝65°，∠BAC＝75°，D为AC边上一点，分别过点A、D作BC、AB的平行线交于点E．
（1）求∠E的度数；
（2）点P为直线AC上的一个动点，过点P作PF∥AE，且PF＝AE，连结DF；
①如图2，当点P在点C的右侧，且∠PFD＝25°时，判断DE与DF的位置关系，并说明理由；
②在整个运动中，是否存在点P，使得∠PFD＝2∠EDF 若存在，请求出∠PFD的度数，若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2024秋 大东区期末）若4xa+b﹣3y3a+2b﹣4＝2是关于x，y的二元一次方程，则a+b的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【考点】二元一次方程的定义．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据二元一次方程的定义，得出a+b＝1，3a+2b﹣4＝1，解出a、b的值，然后把a、b的值代入a+b，计算即可得出结果．
【解答】解：∵4xa+b﹣3y3a+2b﹣4＝2是关于x，y的二元一次方程，
∴，
解得：，
当a＝3，b＝﹣2时，a+b＝3﹣2＝1．
故选：D．
【点评】此题考查二元一次方程定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的次数都为一次；（3）方程是整式方程．
2．（3分）（2024春 东阳市月考）如图，∠1的同位角是（　　）
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
【考点】同位角、内错角、同旁内角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
【分析】根据同位角定义直接判断即可．
【解答】解：根据同位角定义，∠1的同位角是∠3，
故选：B．
【点评】本题考查的是同位角定义，关键是同位角定义的熟练掌握．
3．（3分）（2024 河北二模）《察伟算经》记载，“忽，十微，微，十纤”，也就是说1忽＝10微，1微＝10纤．由分、厘、毫、丝、忽、微、纤这些中国古代的计量单位之间的关系，可推算1分＝1000000纤，某生物体长是“30纤”，换算成“分”，用科学记数法表示为（　　）
A．3×10﹣5分 B．3×10﹣6分 C．3×105分 D．3×106分
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【专题】实数；数感．
【答案】A
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：30纤＝30÷1000000分＝3×10﹣5分．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
4．（3分）（2025秋 东海县期末）下列运算正确的是（　　）
A．a a2＝a2 B．（a2）3＝a6 C．a8﹣a2＝a6 D．a6÷a2＝a3
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；合并同类项法则；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、a a2＝a3，故此选项不符合题意；
B、（a2）3＝a6，故此选项不符合题意；
C、a8与﹣a2不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
D、a6÷a2＝a4，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
5．（3分）如图所示，工人师傅在工程施工中，需在同一平面内弯制一个变形管道ABCD，使其拐角∠ABC＝32°，∠BCD＝148°，则下列结论一定正确的是（　　）
A．AB∥CD B．AB＝BC
C．DC＝BC D．AB与CD相交
【考点】平行线的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】A
【分析】根据同旁内角互补，两直线平行即可求解．
【解答】解：∵∠ABC＝32°，∠BCD＝148°，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴AB∥DC．
故选：A．
【点评】本题考查的是平行线的判定，即内错角相等，两直线平行；同位角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行．
6．（3分）（2024 河北一模）若n为任意的正整数，则（3n+1）2﹣9n2总是能被（　　）
A．2整除
B．绘画成一次函数
C．当成任意方程的负数解
D．绘画成二次函数
【考点】平方差公式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】把（3n+1）2﹣9n2利用平方差公式分解因式即可得到答案．
【解答】解：∵（3n+1）2﹣9n2
＝（3n+1+3n）（3n+1﹣3n）
＝6n+1，
∴（3n+1）2﹣9n2总是能被绘画成一次函数，
故选：B．
【点评】本题考查的是利用平方差公式分解因式，熟记平方差公式是解本题的关键．
7．（3分）（2024 中山区一模）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出八，盈十八，人数，羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出8钱，还多18钱，问合伙人数，羊价各是多少？设人数为x人，羊价为y钱，则可列方程组（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组；数学常识．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】根据每人出5钱，还差45钱；若每人出8钱，还多18钱，列二元一次方程组即可．
【解答】解：根据题意，得，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，数学常识，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
8．（3分）如图，一个大正方形被两条线段分割成两个小正方形和两个小长方形，若两个正方形的面积分别是3和6，则AB长为（　　）
A．3 B．6 C．9 D．18
【考点】完全平方公式的几何背景．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】先根据两个小正方形的面积分别是3和6得OA2＝3，OB2＝6，然后由勾股定理可得出AB2＝OA2+OB2＝3+6＝9，据此即可求出AB的长．
【解答】解：如图所示：
∵两个小正方形的面积分别是3和6，
∴OA2＝3，OB2＝6，
在Rt△OAB中，由勾股定理得：AB2＝OA2+OB2＝3+6＝9，
∴AB＝3（舍去负值）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了正方形的面积，勾股定理的应用等，准确识图，熟练掌握勾股定理是解答此题的关键．
9．（3分）（2020秋 江阳区期末）若（x+a）（x+b）＝x2﹣12x+20，则a+b＝（　　）
A．﹣20 B．20 C．﹣12 D．12
【考点】多项式乘多项式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出a+b的值即可．
【解答】解：已知等式整理得：x2+（a+b）x+ab＝x2﹣12x+20，
则a+b＝﹣12．
故选：C．
【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．（3分）（2025秋 西安期末）如图，矩形纸片ABCD沿EF折叠，A，D两点分别与A′，D′对应，若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为（　　）
A．60° B．65° C．72° D．75°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】C
【分析】根据平行线的性质得出∠1＝∠AEF，再由折叠的性质得出∠AEF＝∠FEA′，根据平角的定义即可得出结论．
【解答】解：∵AB∥DC，
∴∠1＝∠AEF，
由折叠的性质得出∠AEF＝∠FEA′，
∵∠1＝2∠2，
∴∠AEF＝∠FEA′＝2∠2，
∵∠AEF+∠FEA′+∠2＝180°，
∴2∠2+2∠2+∠2＝180°，
解得∠2＝36°．
∴∠AEF＝72°．
故选：C．
【点评】本题考查的是平行线的性质，关键是平行线性质的应用．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2024春 沙坪坝区期末）由5x﹣2y＝﹣3，得到用y表示x的式子为x＝　　 ．
【考点】解二元一次方程．
【专题】计算题；一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】．
【分析】先移项，把y的系数化为1，即可求解．
【解答】解：5x﹣2y＝﹣3，
5x＝2y﹣3，
x．
故答案为：．．
【点评】本题考查了二元一次方程中的化简移项，关键在于移项时的变号问题．
12．（3分）am+1 a（m ）＝a2m+1（m为正整数）
【考点】同底数幂的除法．
【专题】计算题；整式；运算能力．
【答案】m．
【分析】利用同底数幂的除法计算即可．
【解答】解：∵a2m+1÷am+1＝am，
∴am+1 am＝a2m+1．
故答案为：m．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，关键是熟练掌握同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
13．（3分）（2025 郴州二模）如图，DE∥BC，DF∥AC．若∠1＝110°，则∠2＝　70　 度．
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】70．
【分析】根据两直线平行，同位角相等得到∠C＝∠1＝110°，再根据两直线平行，同旁内角互补得到∠2＝180°﹣∠C，据此求解即可．
【解答】解：∵DE∥BC，∠1＝110°，
∴∠C＝∠1＝110°（两直线平行，同位角相等），
∵DF∥AC，
∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣110°＝70°（两直线平行，同旁内角互补），
故答案为：70．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握．
14．（3分）（2025秋 闽侯县期末）如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西63°的方向，同时轮船B在南偏东18°的方向，那么∠AOB的大小为 　135　 度．
【考点】方向角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力．
【答案】135．
【分析】根据方向角的定义得∠COA＝63°，∠DOB＝18°进而得∠AOE＝90°﹣∠COA＝27°，然后根据∠AOB＝∠AOE+∠EOD+∠DOB可得出∠AOB的度数．
【解答】解：如图所示：
∵在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西63°的方向，同时轮船B在南偏东18°的方向，
∴∠COA＝63°，∠DOB＝18°，
∴∠AOE＝90°﹣∠COA＝90°﹣63°＝27°，
又∵∠EOD＝90°，
∴∠AOB＝∠AOE+∠EOD+∠DOB＝27°+90°+18°＝135°．
故答案为：135．
【点评】此题主要考查了方向角的定义，角的计算，理解方向角的定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键．
15．（3分）（2024 吉林开学）关于x，y的二元一次方程组的解满足2x+2y＝1，则a的值是　　 ．
【考点】二元一次方程组的解；二元一次方程的解．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】．
【分析】将方程组的两个方程左、右两边分别相加，求得x+y并代入2x+2y＝1求出a的值即可．
【解答】解：将方程组的两个方程左、右两边分别相加，得5（x+y）＝3a+2，即x+y，
由2x+2y＝1，得x+y，
∴，
∴a．
故答案为：．
【点评】本题考查二元一次方程组的解、二元一次方程的解，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
16．（3分）（2023春 拱墅区校级期中）一张边长为a的大正方形卡片和三张边长为b的小正方形卡片（a＜b＜a）如图1，取出两张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图2，再重新用三张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图3，已知图3中的阴影部分的面积比图2中的阴影部分的面积大2ab﹣2025，则小正方形卡片的面积是 　675　 ．
【考点】整式的混合运算．
【专题】整式；运算能力．
【答案】675．
【分析】根据题意、结合图形分别表示出图2、3中的阴影部分的面积，根据题意列出算式，再利用整式的混合运算法则计算即可．
【解答】解：图3中的阴影部分的面积为：（a﹣b）（a﹣b）＝（a﹣b）2，
图2中的阴影部分的面积为：[a﹣2（a﹣b）]2＝（2b﹣a）2，
由题意得，（a﹣b）2﹣（2b﹣a）2＝2ab﹣2025，
整理得，b2＝675，
则小正方形卡片的面积是675．
故答案为：675．
【点评】本题考查的是整式的混合运算，正确表示出两个阴影部分的面积是解题的关键．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（2022春 中卫校级期中）把下列各式因式分解．
（1）4a3b3+6a2b﹣2ab；
（2）y（x+1）+y2（x+1）2．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】（1）2ab（2a2b2+3a﹣1）；
（2）y（x+1）（1+xy+y）．
【分析】（1）利用提公因式分解因式即可；
（2）利用提公因式进行因式分解即可．
【解答】解：（1）4a3b3+6a2b﹣2ab＝2ab（2a2b2+3a﹣1）；
（2）y（x+1）+y2（x+1）2
＝y（x+1）[1+y（x+1）]
＝y（x+1）（1+xy+y）．
【点评】此题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，解题关键是掌握因式分解的方法．
18．（6分）（2023秋 雁塔区校级月考）解方程组：
（1）；
（2）．
【考点】解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）（2）小题均利用加减和代入法解方程组即可．
【解答】解：（1），
①﹣②得：12y＝﹣36，
y＝﹣3，
吧y＝﹣3代入②得：x，
∴方程组的解为：；
（2）化简为：，
①﹣②得：y＝2，
把y＝2代入①得：x＝﹣3，
∴方程组的解为：．
【点评】本题主要考查了解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤．
19．（8分）（2024春 聊城期中）按要求解答：
（1）计算：（﹣2a2）3+2a2 a4﹣a8÷a2
（2）先化简后求值：（2﹣a）（2+a）﹣2a（a+3）+3a2，其中．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【专题】计算题；整式；运算能力．
【答案】（1）﹣7a6；
（2）4﹣6a，6．
【分析】（1）先计算积的乘方，同底数幂乘除法，再合并同类项即可；
（2）先根据平方差公式，单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可．
【解答】解：（1）（﹣2a2）3+2a2 a4﹣a8÷a2
＝﹣8a6+2a6﹣a6
＝﹣7a6；
（2）（2﹣a）（2+a）﹣2a（a+3）+3a2
＝4﹣a2﹣2a2﹣6a+3a2
＝4﹣6a，
当时，原式．
【点评】本题主要考查了整式的混合运算—化简求值，关键是熟练掌握整式的运算法则．
20．（8分）（2024春 沈阳期末）如图，三角形ABO中，A（﹣2，﹣3）、B（2，﹣1），△A'B'O'是△ABO平移之后得到的图形，并且O的对应点O'的坐标为（5，4）．
（1）作出△ABO平移之后的图形△A'B'O'；
（2）P（x0，y0）为△ABO中任意一点，则平移后对应点P'的坐标为 　（x0+5，y0+4）　 ；
（3）x轴上有一点Q，使△AOQ的面积与△AOB相同，求Q坐标．
【考点】作图﹣平移变换．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）见解答；
（2）（x0+5，y0+4）．
（3）Q（，0）或（，0）．
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出O，A，B的对应点O′，A′，B′即可；
（2）根据平移坐标变化规律解决问题即可．
（3）设Q（m，0），构建方程求出m的值即可．
【解答】解：（1）如图，△A'B'O'即为所求；
（2）点P'的坐标为（x0+5，y0+4）．
故答案为：（x0+5，y0+4）．
（3）设Q（m，0），则有|m|×3＝4，
∴m＝±，
∴Q（，0）或（，0）．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质正确作出图形，学会利用分割法求三角形面积．
21．（10分）（2024秋 秦州区期末）如图，点N在线段CD上，ED与FN交于点M，∠C＝∠1，∠2＝∠3．
（1）判断AB与CD是否平行，并说明理由；
（2）若∠D＝40°，∠EMF＝80°，求∠AEP的大小．
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）平行，
∵∠2＝∠3，
∴CP∥FN，
∴∠C＝∠FND，
又∵∠C＝∠1，
∴∠1＝∠FND，
∴AB∥CD；
（2）120°．
【分析】（1）根据∠2＝∠3，可得CP∥FN，从而得到∠C＝∠FND，继而得到∠1＝∠FND，即可求证；
（2）根据CP∥FN，可得∠2＝∠EMF＝80°，再由AB∥CD，可得∠FED＝∠D＝40°，即可求解．
【解答】解：（1）AB∥CD，理由如下：
∵∠2＝∠3，
∴CP∥FN，
∴∠C＝∠FND，
又∵∠C＝∠1，
∴∠1＝∠FND，
∴AB∥CD；
（2）∵CP∥FN，
∴∠2＝∠EMF＝80°，
∵AB∥CD，
∴∠FED＝∠D＝40°，
∴∠BEC＝∠2+∠FED＝80°+40°＝120°，
∴∠AEP＝∠BEC＝120°．
【点评】本题主要查了平行线的判定和性质，关键是相关性质和定理的熟练掌握．
22．（10分）（2025秋 天桥区期末）规定两数a、b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为32＝9，所以（3，9）＝2．
（1）根据上述规定，填空：（2，32）﹣（3，27）＝　2　 ．
（2）①若（5，3）＝a，（5，7）＝b，（5，21）＝c，请你尝试证明：a+b＝c；
②若（x，2）＝m，（x，3）＝n，（x，18）＝k，则k＝m+2n （用含m，n的式子表示）．
进一步探究这种运算时发现一个结论：（xn，yn）＝（x，y），
证明：设（xn，yn）＝m，∴（xn）m＝yn，
∴（xm）n＝yn，∴xm＝y，即（x，y）＝m．
∴（xn，yn）＝（x，y）．
（3）结合①，②探索的结论，求（16，81）+（8，）的值．
【考点】有理数的混合运算；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【专题】计算题；新定义；运算能力．
【答案】（1）2；
（2）①（5，3）＝a，（5，8）＝b，（5，24）＝c，
∴由新定义可得：5a＝3，5b＝8，5c＝24，
∵3×8＝24，
∴5a 5b＝5c，
∴a+b＝c；
②m+2n；
（3）2．
【分析】（1）根据已知条件中的新定义和乘方的意义进行计算即可；
（2）①由（5，3）＝a，（5，8）＝b，（5，24）＝c，得5a＝3，5b＝8，5c＝24，即知5a 5b＝5c，从而a+b＝c；
②结合①即可用含m，n的式子表示k；
（3）由（16，81）＝（2，3），（8，）＝（2，），再根据（2，3）+（2，）＝（2，4）进行计算即可．
【解答】解：（1）∵25＝32，
∴（2，32）＝5；
∵33＝27，
∴（3，27）＝3；
∴（2，32）﹣（3，27）＝5﹣3＝2．
故答案为：2；
（2）①∵（5，3）＝a，（5，8）＝b，（5，24）＝c，
∴由新定义可得：5a＝3，5b＝8，5c＝24，
∵3×8＝24，
∴5a 5b＝5c，
∴a+b＝c；
②∵（x，2）＝m，（x，3）＝n，（x，18）＝k，
∴xm＝2，xn＝3，xk＝18，
∵2×32＝18，
∴xm （xn）2＝xk，
∴k＝m+2n．
故答案为：m+2n；
（3）∵（16，81）＝（2，3），（8，）＝（2，），
∴（16，81）+（8，）
＝（2，3）+（2，）
＝（2，4）
＝2．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，掌握相应的运算法则是关键．
23．（12分）（2023春 太和县期末）某企业A，B，C三个部门计划在甲，乙商家购买一批口罩和消毒液，口罩30元/盒，消毒液10元/瓶．甲，乙商家的销售优惠方式如下
①甲商家：口罩和消毒液都是按8折销售；
②乙商家：买一盒口罩可送一瓶消毒液．
（1）A部门有5人，计划每人配制1盒口罩和2瓶消毒液．若A部门选择甲商家购买，则需要花费 　200　 元．（2）B部门选择了乙商家，共花费500元，已知购买消毒液的数量是口罩数量的2倍多6．请问B部门购买了多少盒口罩．
（3）C部门要购买15盒口罩和消毒液若干（超过15瓶），如果你是该部门负责人，且只能在甲，乙商家选其中一家购买，应该选择哪家才会更加划算，请说明理由．
【考点】二元一次方程组的应用．
【专题】方程与不等式；运算能力．
【答案】（1）200；
（2）B部门购买了11盒口罩；
（3）当15＜y＜30时，选乙；当y＝30时均可；当y＞30时，选甲．
【分析】（1）5盒口罩5瓶消毒液的钱数乘以80%即可；
（2）设B部门买了x盒口罩，消毒液为（2x+6）瓶，列方程，解方程即可；
（3）分别表示出在两个商场中花费的钱数，借助不等式选择商场．
【解答】解：（1）（5×30+2×10×5）×80%
＝250×80%
＝200（元），
故答案为：200；
（2）设B部门买了x盒口罩，消毒液为（2x+6）瓶，
30x+10（2x+6﹣x）＝500，
解方程得：x＝11，
答：B部门购买了11盒口罩；
（3）设消毒液为y瓶，
甲商场：（30×15+10y）×80%，
乙商场：30×15+10（y﹣15），
当（30×15+10y）×80%＜30×15+10（y﹣15）时，选甲商场，
解不等式得：y＞30，
当30y+10（y﹣15）＜（30×15+10y）×80%时，选乙商场，
解不等式得：15＜y＜30，
当30y+10（y﹣15）＝（30×15+10y）×80%时，甲乙都可，
解方程得x＝30，
答：当15＜y＜30时，选乙；当y＝30时均可；当y＞30时，选甲．
【点评】本题考查的是二元一次方程组的应用，解题的关键是表示出在甲乙两个商场中花费的钱数．
24．（12分）（2023春 义乌市月考）如图1，在△ABC中，∠B＝65°，∠BAC＝75°，D为AC边上一点，分别过点A、D作BC、AB的平行线交于点E．
（1）求∠E的度数；
（2）点P为直线AC上的一个动点，过点P作PF∥AE，且PF＝AE，连结DF；
①如图2，当点P在点C的右侧，且∠PFD＝25°时，判断DE与DF的位置关系，并说明理由；
②在整个运动中，是否存在点P，使得∠PFD＝2∠EDF 若存在，请求出∠PFD的度数，若不存在，请说明理由．
【考点】三角形综合题．
【专题】几何综合题；三角形；推理能力．
【答案】（1）65°．
（2）①结论：DE⊥DF．理由见解析；
②°或130°．
【分析】（1）利用平行线的性质以及三角形内角和定理求解即可．
（2）①如图2中，结论：DE⊥DF．证明∠EDF＝90°即可．
②存在，当点P在点D的左侧时存在．分两种情形：如图3﹣1中，当点P在线段AD上时，设DE交PF于J．如图3﹣2中，当点P在线段DA的延长线上时，设AE交DF于Q．分别利用平行线的性质，三角形的外角的性质求解即可．
【解答】解：（1）∵AB∥DE，AE∥BC，
∴∠ADE＝∠BAC＝75°，∠DAE＝∠ACB，
∵∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣65°﹣75°＝40°，
∴∠DAE＝∠ACB＝40°，
∴∠E＝180°﹣∠ADE﹣∠EAD＝180°﹣40°﹣75°＝65°．
（2）①结论：DE⊥DF．
理由：∵∠BCA＝40°，
∴∠BCP＝140°，
∵PF∥AE，PF∥BC，
∴PF∥BC，
∴∠PFD＝140°，
∵∠F＝25°，
∴∠PDF＝15°，
∵∠ADE＝75°，
∴∠EDF＝180°﹣75°﹣15°＝90°，
∴DE⊥DF．
②存在，当点P在点D的左侧时存在．
如图，当点P在线段AD上时，设DE交PF于J．
∵PF∥AE，
∴∠PJD＝∠AED＝65°，
∵∠PJD＝∠PFD+∠JDF，∠PFD＝2∠EDF，
∴65°＝3∠EDF，
∴，
∴．
如图，当点P在线段DA的延长线上时，设AE交DF于Q．
∵PF∥AE，
∴∠PFD＝∠AQD，
∵∠AQD＝∠AED+∠EDF，∠PFD＝2∠EDF，
∴2∠EDF＝65°+∠EDF，
∴∠EDF＝65°，
∴∠PFD＝130°，
综上所述， 或130°．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加平行线，利用平行线的性质解决问题．

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