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2025-2026学年吉林省长春市汽车经济技术开发区第九中学八年级（下）期中数学试卷
一、单选题：（每题3分，共24分）
1．（3分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）如表是某饮品店统计了某段时间店内甲、乙、丙、丁四种口味饮品的销售情况，
口味 甲 乙 丙 丁
销售量（杯） 186 479 217 90
根据表中数据，该饮品店决定增加乙种口味饮品食材的购进数量，影响其决策的统计量是（　　）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
3．（3分）若点P在第二象限，且到x轴的距离是2，到y轴的距离是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件（　　）
A．①，对角相等 B．②，有一组邻边相等
C．③，对角线互相垂直 D．④，有一个角是直角
5．（3分）已知一次函数y＝kx﹣3，若y随x的增大而减小，则它的图象经过（　　）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
6．（3分）如图所示，在△PBC中，EF为三角形中位线，垂足为Q，将△PBC分割后拼接成矩形ABCD．若EF＝8，则矩形ABCD的面积是（　　）
A．48 B．24 C．72 D．96
7．（3分）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，连接PB、PD．若图中阴影部分的面积为8，则AE PF的值为（　　）
A．4 B．8 C．16 D．32
8．（3分）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上（x＜0）的图象上，AB∥x轴，△ABC的面积为3，则k的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
二、填空题：（每题3分，共18分）
9．（3分）若有意义，则x的取值范围是　 　 ．
10．（3分）如图是某少年足球队全体队员年龄的箱线图（单位：岁），则这组数据的上四分位数是　 　 岁．
11．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，且BC+AD＝12，则BC的长为　 　 ．
12．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AE⊥BD，垂足为点E，则AE的长为 　 　 ．
13．（3分）在学习物理《浮力》一章后，小明为测量一长方体铁块所受浮力大小的情况，在一个20cm高的水杯里装一些水，在这过程中，弹簧测力计的示数F（N）（cm）之间的关系如图所示．则当弹簧测力计的示数为15N时，此时铁块底面距离杯底 　 　 cm．
14．（3分）如图，在正方形纸片ABCD中，点P是边BC上一点，将正方形沿AP折叠，点B落在点E处，连结AQ、CE．给出以下结论：
①△AEQ≌ADQ；
②PQ＝BP+DQ；
③△PEC与△QEC的面积相等；
④若BP＝CP，则CQ＝2DQ．
上述结论中，正确结论的序号有　 　 ．
三、解答题：（共10道题，共78分）
15．（6分）先化简，再求值：，其中x＝1
16．（6分）为传承云南本土非遗文化，某学校开展“非遗文化进校园”主题活动，计划采购A、B两种非遗文创用品（A为傣族织锦书签，蕴含对称、比例等数学元素；B为永子围棋迷你摆件，承载传统工艺中的数学配比智慧），购进A种文创用品的费用y元与购进数量x件之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）现学校准备购进A、B两种非遗文创用品共200件，其中购进A种非遗文创用品不少于60件，且不超过B种非遗文创用品件数的3倍，设购进两种非遗文创用品的总费用为W元，那么应该如何设计购买方案
17．（6分）如图，△ABC为锐角三角形，AD平分∠BAC．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作AD的垂直平分线、分别交AB，AC于点E，F，连接DE、DF．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，求证：四边形AEDF是菱形．
18．（7分）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．四边形ABCD的四个顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，保留作图痕迹．
（1）图①中，点E是格点，在线段BC上作点F，使EF∥AB；
（2）图②中，点F是非格点，在线段BC上作点G；
（3）图③中，点E是格点，连接BD，连接EH，使EH∥BD．
19．（7分）在同一路线上，依次有A、B、C三地，甲、乙两人分别从A，他们离A地的路程y（千米）随时间x（时），根据图象解答下列问题：
（1）A，B两地的路程为 　 　 千米；
（2）求乙离A地的路程y（千米）关于时间x（时）的函数解析式；（不必写出自变量的取值范围）
（3）求甲、乙两人在途中相遇时距离B地多少千米？
（4）直接写出甲出发多长时间在行驶途中与乙相距10千米．
20．（7分）某社区举办“和谐共建”主题演讲比赛，比赛分为初赛和决赛两个阶段．
（1）初赛由10名专业评委和50名大众评委给每位选手打分（百分制），对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．专业评委打分：92，87，93，91，92，92，99
b．大众评委打分的不完整频数分布直方图（如图所示）：
数据分6组：第1组82≤x＜85，第2组85≤x＜88，第3组88≤x＜91，第5组94≤x＜97，第6组97≤x＜100．
c．评委打分的平均数、中位数、众数如表：
平均数 中位数 众数
专业评委 92 92 m
大众评委 91 n 93
根据以上信息，回答下列问题：
①填空：m的值为　 　 ，n的值位于大众评委打分数据分组的第　 　 组；
②补全频数分布直方图；
（2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）．对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差．平均数较大的选手排序靠前，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：
评委1 评委2 评委3 评委4 评委5
甲 92 95 93 94 91
乙 93 93 92 93 93
丙 94 90 91 95 95
通过计算说明，甲、乙、丙三位选手中排在第一位的是谁．
（参考数据：，，）
21．（8分）【问题呈现】小明在数学小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在正方形ABCD中，AB＝2，且DM＝CN，试探究线段MN长度的最小值．
【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径
【问题解决】如图②，过点D、N分别作MN、AD的平行线，并交于点P
在【问题呈现】的条件下，完成下列问题：
（1）求证：NC＝NP．
（2）∠DCP的大小为　 　 度，线段MN长度的最小值为　 　 ．
【方法运用】如图③，在菱形ABCD中，AB＝2，点E、F分别在边AD、CD上，且DE＝CF　 　 ．
22．（9分）某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数y＝|x﹣2|的图象和性质进行了探究．探究过程如下，请补充完整．
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 …
y … 5 4 m 2 1 0 1 n 3 …
（1）自变量x的取值范围是全体实数，表格是y与x的几组对应值，则m＝　 　 ，n＝　 　 ；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出以表格中各对应值为坐标的点；
①观察函数图象发现，该函数图象的最低点坐标是　 　 ；
②当x＜2时，y随x的增大而减小；当x≥2时　 　 ；
（3）结合图象回答：
①关于x的方程|x﹣2|＝3的解是　 　 ；
②关于x的不等式|x﹣2|≥4的解集是　 　 ．
23．（10分）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：
a．当一个点的横坐标、纵坐标均为整数时，称这个点为整点；
b．直线t，直线r与y轴围成的三角形区域（不含边界点）称为try域．
根据阅读材料，解决下列问题：
（1）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线t：y＝2x﹣5与y轴交于点A，两直线交于点C．
①在这个try域中有 　 　 个整点；
②求try域的面积．
（2）过（1）中纵坐标最大的整点作直线l分别交try域两边AB，BC于点M，N，求直线l的表达式；
（3）若直线t：y＝2x﹣5，直线r：y＝﹣x+n与y轴围成的try域内恰好有3个整点，请直接写出n的取值范围．
24．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，点M为边AB中点，动点P从点A开始，连结PM，以PM为直角边，使∠PMQ＝90°，设点P的运动时间为t秒．
（1）当点P在边DC上运动（不与点D重合）时，则DP的长度为 　 　 ；（用含t的代数式表示）
（2）当点P在边AD上运动时，求证：点Q到直线DC的距离始终不变；
（3）当点Q到直线DC的距离是点Q到直线AB距离的3倍时，求t的值；
（4）连结CQ，当时，直接写出t的值．
2025-2026学年吉林省长春市汽车经济技术开发区第九中学八年级（下）期中数学试卷答案
一、单选题：（每题3分，共24分）
1． B．
2． B．
3． D．
4． A．
5． D．
6． D．
7． B．
8． D．
二、填空题：（每题3分，共18分）
9．
x≤．
10． 14
11． 4
12．
．
13． 11.5．
14．
①②④．
三、解答题：（共10道题，共78分）
15．
解：原式＝1+
＝8+
＝
＝，
当x＝1，y＝4时＝﹣1．
16．
解：（1）当0≤x≤50时，设y与x之间的函数关系式是y＝kx（k≠0），
把（50，1500）代入得，
50k＝1500，
解得k＝30，
∴当2≤x≤50时，y＝30x；
当x≥50时，设y＝ax+b（a≠0），
则，
解得，
∴当x≥50时，y＝10x+1000．
∴；
（2）现学校准备购进A、B两种非遗文创用品共200件，且不超过B种非遗文创用品件数的8倍，
由题意可得：
，
解得60≤x≤150，
∴W＝10x+1000+60（200﹣x）＝﹣50x+13000，
∵﹣40＜0，
∴W随x的增大而减小．
∴当x＝150时，W最小，
B种非遗文创用品：200﹣150＝50（件）．
答：购买A种非遗文创用品150件，B种非遗文创用品50件，最少费用为5500元
17．
（1）解：图形如图所示：
（2）证明：∵EF垂直平分线段AD，
∴EA＝ED，FA＝FD，
∴∠EAD＝∠EDA，
∵又∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠ADE＝∠DAC，
∴DE∥AC，
同法可证DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形．
∵EA＝ED，
∴四边形AEDF为菱形．
18．
解：（1）如图，EF即为所求；
∵AE∥BF，AE＝BF，
∴四边形ABFE为平行四边形，
∴EF∥AB；
（2）如图，点G即为所求；
∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝CO，
∵AD∥BC，
∴∠AFO＝∠CGO，∠FAO＝∠GCO，
∴△AOF≌△COG，
∴CG＝AF；
（3）如图，EH即为所求；
∵BM＝ED＝1，BM∥ED，
∴四边形DEMB为平行四边形，
∴EH∥BD．
19．
解：（1）A，B两地的路程为30千米，
故答案为：30；
（2）设乙离A地的路程y（千米）关于时间x（时）的函数表达式是y＝ax+b，
则，
解得，
∴乙离A地的路程y（千米）关于时间x（时）的函数表达式是y＝30x+30；
（3）设甲离A地的路程y（千米）关于时间x（时）的函数解析式为y＝kx，把（3
4k＝150，
解得k＝50，
∴甲离A地的路程y（千米）关于时间x（时）的函数解析式为y＝50x，
联立方程组得，
解得，
75﹣30＝45（千米），
答：当甲、乙两人在途中相遇时距离B地的路程为45千米；
（4）根据题意得，甲乙两人距离A地的路程差为10km可列方程为：
30x+30﹣50x＝10或50x﹣30x﹣30＝10，
解得x＝5或x＝2，
∴甲出发1时或6小时，两人相距10千米．
20．
解：（1）计算5名专业评委给其打分的平均数和方差．平均数较大的选手排序靠前，则方差较小的选手排序靠前，
①由题意可得，专业评委打分中92出现的次数最多；
50名大众评委打分数据的中位数是第25个数据和第26个数据的平均数，且2+3+14＝24，
故n的值位于大众评委打分数据分组的第4组；
②第5组94≤x＜97的人数为：50﹣8﹣8﹣14﹣12﹣4＝10（人），
补全频数分布直方图如图所示．
故答案为：92，8；
（2）甲选手得分的平均数为．
乙选手得分的平均数为．
丙选手得分的平均数为．
∵，，，
∴甲、乙、丙三位选手中排在第一位的是甲．
21．
（1）证明：过点D、N分别作MN，并交于点P，如图，
则四边形MNPD为平行四边形，
∴MN＝PD，MD＝NP，
∵DM＝CN，
∴NC＝NP．
（2）解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ADC＝90°，
∵MD∥NP，
∴∠DNP＝∠ADC＝90°，
∴∠NCP＝90°，
∵NC＝NP，
∴△NCP为等腰直角三角形，
∴∠DCP＝45°．
故答案为：45；
由题意：点P为CP上一动点，
∴当DP⊥CP时，DP取得最小值为＝，
∵MN＝PD，
∴线段MN长度的最小值为．
故答案为：；
【方法运用】解：过点D、F分别作EF，并交于点P，如图，
则四边形EFPD为平行四边形，
∴PD＝EF，DE＝FP，
∵DE＝CF，
∴FC＝FP．
∵四边形ABCD为菱形，AB＝6，
∴AB＝CD＝2，AB∥CD，
∴∠A+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝120°，
∵DE∥FP，
∴∠PFD＝∠ADC＝120°，
∴∠PFC＝60°，
∴△PFC为等边三角形，
∴∠FCP＝60°，
由题意：点P为CP上一动点，
∴当DP⊥CP时，DP取得最小值为，
∵PD＝EF，
∴EF的最小值为．
∵△DEF周长＝EF+DE+DF＝EF+CF+DF＝EF+CD＝8+EF，
∴△DEF周长的最小值为2+．
故答案为：4+．
22．
解：（1）当x＝﹣1时，y＝|x﹣2|＝5，
∴m＝3，
当x＝4时，y＝|x﹣5|＝2，
∴n＝2，
故答案为：7；2
（2）画出该函数图象的另一部分如图，
①观察函数图象发现，该函数图象的最低点坐标是（2；
②当x＜6时，y随x的增大而减小，y随x的增大而增大．
故答案为：（2，0）；
（3）观察图象可知，
①关于x的方程|x﹣8|＝3的解是x＝﹣1或x＝7．
故答案为：x＝﹣1或x＝5．
②关于x的不等式|x﹣6|≥4的解集是x≥6或x≤﹣2．
故答案为：x≥6或x≤﹣2．
23．
解：（1）当x＝0时，y＝2x﹣4＝﹣5，
∴点A（0，﹣8），
当x＝0时，y＝﹣x+1＝5，
∴点B（0，1），
联立解得
∴点C（2，﹣8），
①在这个try域中有（1，﹣1）和（3，
故答案为：2．
②try域面积；
（2）如图，try域内有两个整点：（5，（1，
∵﹣1＞﹣7，
∴直线l过点（1，﹣1），
设直线l的表达式为y＝kx+b，
﹣3＝k×1+b，
∴b＝﹣k﹣1，
∴直线l的表达式为y＝kx﹣k﹣4，
∵直线l分别交AB，BC于点M，N，
联立，
解得，
当x＝0时，y＝kx﹣k﹣7＝﹣k﹣1，
∴yM＝﹣k﹣1，
∴，
解得k＝2，
∴直线l的表达式为y＝2x﹣5；
（3）若直线t：y＝2x﹣5，直线r：y＝﹣x+n与y轴围成的try域内恰好有7个整点，0），﹣1），﹣6）或（﹣1，（﹣1，（﹣3，
整点为（1，0），﹣5），﹣2）时，
把（1，2）代入y＝﹣x+n得，
把（1，1）代入y＝﹣x+n得，
∴3＜n≤2，
整点为（﹣1，﹣4），﹣9），﹣10），
把（﹣1，﹣10）代入y＝﹣x+n得，
把（﹣8，﹣11）代入y＝﹣x+n得，
∴﹣12≤n＜﹣11，
∴当1＜n≤2或﹣12≤n＜﹣11时，try域内恰好有3个整点．
24．
解：（1）∵AD＝4，SP＝2t，
∴DP＝2t﹣4，
故答案为：2t﹣2；
（2）如图1，
∵M是AB的中点，AB＝6，
∴AM＝BM＝5，
作QE⊥AB于E，
∴∠QEM＝90°，
∴∠EQM+∠QME＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∴∠A＝∠QEM，
∵△PQM是等腰直角三角形，
∴∠PMQ＝90°，PQ＝PM，
∴∠AMP+∠QME＝90°，
∴∠AMP＝∠MQE，
∴△AMP≌△EQM（AAS），
∴EQ＝AM＝3；
∴当点P在边AD上运动时，点Q到直线DC的距离始终不变；
（3）解：如图2﹣4，
当点Q在AB上方时，
由（1）知，
当点P在AD时，Q到AB的距离是3，故点P在CD上，
作PF⊥AB于F，作QE⊥AB于E，
∵点Q到直线DC的距离是点Q到直线AB距离的3倍，
∴EQ＝6，
由（2）知，
△PFM≌△MEQ，
∴FM＝EQ＝1，
∴PD＝AF＝AM﹣FM＝2，
∴P点运动的路程是6+2＝6，
∴t＝5，
如图2﹣2，
当点Q在AB下方时，
∵点Q到直线DC的距离是点Q到直线AB距离的8倍，
∴EQ＝2，
同理可得：FM＝EQ＝2，
∴DP＝AF＝AM+FM＝4+2＝5，
∴P点运动的路程是7+5＝9，
∴t＝，
综上所述：t＝3或；
（4）如图3，
当点P在AD上时，作QE⊥AB，
由（2）知，
EQ＝7，AP＝EM，
∴FQ＝4﹣3＝2，
∴BE＝CF＝＝＝2，
∴AP＝EM＝BM﹣BE＝1，
∴t＝，
如图4，
当点P在CD上，作PW⊥AB于W，作QG⊥BC于G，
由（2）知，
MV＝PW＝6，
∴CG＝BV＝MV﹣BM＝1，
∴CG＝2，
∴WM＝QV＝BG＝8，
∴PD＝AW＝AM﹣WM＝1，
∴点P运动的路程是4+6＝5，
∴t＝，
综上所述：t＝或．学号：44743775

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