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北京市2025-2026学年八年级下学期期末模拟自测数学试卷
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2024秋 开远市校级期中）当x＜0时，图中表示函数y的图象的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列哪个点在反比例函数y的图象上（　　）
A．P1（1，﹣4） B．P2（4，﹣1）
C．P3（2，4） D．P4（2，）
3．（3分）（2025秋 秦都区校级期中）下列说法不正确的是（　　）
A．点（1，2）在第一象限
B．点（﹣3，5）到y轴的距离为3
C．已知点M（2，3），点N（﹣2，3），则MN∥x轴
D．若xy＝0，则点（x，y）一定在x轴上
4．（3分）（2023春 淮安月考）如果0°＜∠A＜45°，那么sinA与cosA的差（　　）
A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定
5．（3分）（2024 德阳）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物CD的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房AB，小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为60°，在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为30° （AB、CD在同一平面内，B、D在同一水平面上），则建筑物CD的高为（　　）米．
A．20 B．15 C．12 D．10+5
6．（3分）（2025春 靖江市校级期末）定义：若x，y满足（m为常数），则称点M（x，y）为“和谐点”．下列说法正确的是（　　）
①P（2，2）是“和谐点”；
②直线 y＝﹣2x+5 上有且只有一个“和谐点”；
③当k＞2时，反比例函数的图象上最多只有两个“和谐点”；
A．① B．①② C．①③ D．②③
7．（3分）（2022秋 连山区月考）如图，点B，P在函数y（x＞0）的图象上，四边形COAB是正方形，四边形FOEP是长方形，下列说法不正确的是（　　）
A．长方形BCFG和长方形GAEP的面积相等
B．点B的坐标为（4，4）
C．的图象关于过点O与B的直线对称
D．长方形FOEP和正方形COAB面积相等
8．（3分）（2025 越秀区校级开学）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A（5，4），点B在第一象限内，顶点C在y轴上，经过点A的反比例函数的图象交BC于点D，若点D为线段BC的中点，则平行四边形OABC的面积为（　　）
A．28 B． C． D．30
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
9．（3分）（2024 昌平区校级开学）在反比例函数的图象上有两点（1，y1），（2，y2），则y1　 　 y2．（填“＞”或“＜”）
10．（3分）Rt△ABC的两条边长分别是6和8，则其最小角的正弦值是 　 　 ．
11．（3分）（2024 邗江区二模）如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，AD与BC相交于点O，则tan∠AOB的值为 　 　 ．
12．（3分）（2025 雁塔区校级一模）如图，已知点A、B分别在反比例函数，的图象上，且OA⊥OB，则sinB＝ 　 　 ．
13．（3分）（2024秋 武侯区校级月考）如图，直线y＝ax+b（a＞0）与双曲线交于点A（1，3），则当x＞0时，不等式的解集是 　 　 ．
14．（3分）（2025 深圳模拟）如图，一束太阳光从天花板和落地窗交界处的点P射入，经过地板MN上的C、D两点反射到天花板上形成光斑A、B．中午和下午某时刻光线与地板的夹角分别为α，β．由光的反射原理可知，∠PCM＝∠ACN＝α，∠PDM＝∠BDN＝β．已知天花板与地面是平行的，且它们之间的距离为3m，当α＝45°，β＝30°时，光斑移动的距离AB为 　 　 米．
15．（3分）（2024 大连模拟）如图，直线y＝kx+b与函数的图象相交于点P（1，2），则不等式的解集为 　 　 ．
16．（3分）（2024 南山区校级模拟）如图，点D是Rt△ABC的斜边AC上一点，且∠ABC＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以BD为斜边作等腰Rt△BDE，使E，C在BD同侧，连接CE，则CE的最小值为 　 　 ．
三．解答题（共11小题，满分72分）
17．（6分）（2024 南昌一模）（1）计算：；
（2）已知a，b为实数，a+3b＝2，b≠1，求的值．
18．（6分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，求cosA，sinB，cosB，tanA，tanB的值．
19．（6分）（2024 天元区校级一模）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点A．
（1）求点A的坐标．
（2）若线段OA的垂直平分线BC交x轴于点D．求线段OD的长．
20．（6分）（2024 东营区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，AB＝5，BD＝1，tanB，∠BAD＝α．
（1）求AD的长；
（2）求sinα的值．
21．（6分）（2023 大兴区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，延长DC到点E，使CE＝CD．过点E作EF∥AD交AC的延长线于点F，连接AE，DF．
（1）求证：四边形ADFE是平行四边形；
（2）过点E作EG⊥DF于点G，若BD＝2，AE＝5，求EG的长．
22．（6分）（2023 平遥县一模）阅读与思考．
请仔细阅读并完成相应的任务．
利用我们所学习的三角函数的相关知识可以解决许多关于三角形边长、角度、面积等问题．如图，在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c过点B作BH⊥AC于点H，则，即AH＝c cosA，于是CH＝b﹣c cosA．在Rt△ABH中，BH2＝AB2﹣AH2，在Rt△BHC中，BH2＝BC2﹣CH2，∴c2﹣c2cos2A＝a2﹣（b﹣c cosA）2，整理得a2＝b2+c2﹣2bc cosA．
任务：
（1）b2＝　 　 ，c2＝　 　 ；
（2）已知△ABC中，∠A，∠B，∠C所对边分别是a，b，c，，b＝2，，求c．
23．（6分）（2023 鄞州区校级自主招生）阅读材料：对于正数a、b，有，所以，即（当且仅当a＝b时取“＝”，特别地：2（当且仅当a＝1时取“＝”）．因此，当a＞0时，a有最小值2，此时a＝1．简单应用：
（1）函数的最大值为 　 　 ．
（2）求函数，当x＝　 　 时，最小值为 　 　 ．
解决问题：
（3）已知P（﹣2，3）是反比例函数图象上的点，Q是双曲线在第四象限这一分支上的动点，过点Q作直线，使其与双曲线只有一个公共点，且与x轴、y轴分别交于点A、B．另一直线与x轴、y轴分别交于点C、D，求四边形ABCD面积的最小值．
24．（6分）（2024秋 息县期末）如图，直线y1＝﹣x+4与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为（1，m），经过点A直线y2＝x+b与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的表达式以及点C的坐标；
（2）直接写出不等式的解集．
25．（8分）已知二次函数图象的顶点坐标为M（2，0），直线y＝x+2与该二次函数的图象交于A、B两点，其中点A在y轴上，如图所示．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）P为线段AB上一点（不与A、B重合），过点P作x轴的垂线PC与二次函数图象交于点Q，设线段PQ长为y，点P的横坐标为x．求y与x之间的函数关系式，并求自变量x的取值范围．
26．（8分）（2024 船营区模拟）【特例感知】
（1）如图1，点C为直线l上一点，将一块等腰直角三角板的直角顶点与C重合，两条直角边AC、BC在直线l的两侧，过A作AD⊥l于点D，过B作BE⊥l于点E，求证：AD＝CE．
【应用拓展】
（2）当等腰直角△ACB的边AC落在直线l上，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为直线l上的一个动点（点D不与A、C重合），连接BD，将线段BD绕点B逆时针旋转90°的得到线段BE，连接AE，AE与射线BC交于点F．
①如图2，求证：AF＝EF；
②当BC＝3CF时，请直接写出AD：AC的值．
27．（8分）（2024春 山亭区校级月考）解下列不等式，并将他们的解集在数轴上表示出来．
（1）2x﹣（9x+4）＜3；
（2）；
（3）．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2024秋 开远市校级期中）当x＜0时，图中表示函数y的图象的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】反比例函数的图象．
【专题】反比例函数及其应用；几何直观；推理能力．
【答案】D
【分析】根据反比例函数的图象性质及自变量的取值范围可知．
【解答】解：函数y中的k＝1，故其图象在一、三象限，当x＜0时，其图象在第三象限．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的图象，反比例函数y的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．
2．（3分）下列哪个点在反比例函数y的图象上（　　）
A．P1（1，﹣4） B．P2（4，﹣1）
C．P3（2，4） D．P4（2，）
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据y得k＝xy＝4，所以只要点的横坐标与纵坐标的积等于4，就在函数图象上．
【解答】解：A、1×（﹣4）＝﹣4≠4，所以点P1（1，﹣4）不在函数图象上，不符合题意；
B、4×（﹣1）＝﹣4≠4，所以点P2（4，﹣1）不在函数图象上，不符合题意；
C、2×4＝8≠4，所以点P3（2，4）不在函数图象上，不符合题意；
D、24，所以点P4（2，）在函数图象上，符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的基本性质是解题的关键．
3．（3分）（2025秋 秦都区校级期中）下列说法不正确的是（　　）
A．点（1，2）在第一象限
B．点（﹣3，5）到y轴的距离为3
C．已知点M（2，3），点N（﹣2，3），则MN∥x轴
D．若xy＝0，则点（x，y）一定在x轴上
【考点】坐标与图形性质．
【专题】平面直角坐标系．
【答案】D
【分析】通过逐一分析各选项，判断其正确性即可．
【解答】解：A、点（1，2）的横坐标1＞0，纵坐标2＞0，则点（1，2）在第一象限，正确，不符合题意；
B、点（﹣3，5）到y轴的距离|﹣3|＝3，正确，不符合题意；
C、点M（2，3）和点N（﹣2，3）的纵坐标均为3，
∴MN∥x轴，正确，不符合题意；
D、由xy＝0，得x＝0或y＝0，点可能在x轴上（y＝0）或y轴上（x＝0）或原点（x＝0，y＝0），
∴不一定在x轴上，错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征、点到坐标轴的距离、平行于坐标轴的直线条件等基础知识．
4．（3分）（2023春 淮安月考）如果0°＜∠A＜45°，那么sinA与cosA的差（　　）
A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定
【考点】锐角三角函数的增减性．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】由0°＜∠A＜45°，可得∠A＜90°﹣∠A，进而得到sinA＜sin（90°﹣∠A），再根据互余两锐角三角函数的关系进行解答即可．
【解答】解：∵0°＜∠A＜45°，
∴45°＜（90°﹣∠A）＜90°，
∴∠A＜90°﹣∠A，
∴sinA＜sin（90°﹣∠A），
即sinA＜cosA，
∴sinA﹣cosA＜0，
故选：B．
【点评】本题考查锐角三角函数的增减性，掌握当∠A＜90°﹣∠A时，sinA＜sin（90°﹣∠A）以及sinA＝cos（90°﹣A）是正确解答的关键．
5．（3分）（2024 德阳）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物CD的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房AB，小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为60°，在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为30° （AB、CD在同一平面内，B、D在同一水平面上），则建筑物CD的高为（　　）米．
A．20 B．15 C．12 D．10+5
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】B
【分析】设过点A的水平线于CD交于点E，在Rt△BCD中，用CD表示BD，在Rt△ACE中，用CD表示AE，再利用AE＝BD列方程即可求出CD．
【解答】解：设过点A的水平线于CD交于点E，如图，
由题意，知：四边形ABDE是矩形DE＝AB＝10米，AE＝BD，
在Rt△BCD中，
BDCD，
在Rt△ACE中，
AE（CD﹣DE（CD﹣10），
∴（CD﹣10）CD，
解得CD＝15（米），
故选：B．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
6．（3分）（2025春 靖江市校级期末）定义：若x，y满足（m为常数），则称点M（x，y）为“和谐点”．下列说法正确的是（　　）
①P（2，2）是“和谐点”；
②直线 y＝﹣2x+5 上有且只有一个“和谐点”；
③当k＞2时，反比例函数的图象上最多只有两个“和谐点”；
A．① B．①② C．①③ D．②③
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】A
【分析】依据题意，由“和谐点的定义”以及联立方程组进行求解即可．
【解答】解：①由题意得，，
∴m＝﹣2．
∴，故①成立．
②由题意可得，，
∴m＝x2+6x﹣15，
∴．
∴将m＝x2+6x﹣15代入上式，
∴3x2﹣29x+40＝0，．
∴x＝8 或，故②错误．
③由题意，∵反比例函数最多有两个和谐点，
∴联立反比例函数与和谐点定义，则x4+3x3﹣3kx﹣k2＝0
∴（x2﹣k）（x2+3x+k）＝0，
∴x2﹣k＝0或x2+3x+k＝0，
∵k＞2，
∴解x2﹣k＝0得x，
解x2﹣3x+k＝0，
∵Δ＝9﹣4k，
∴当k＝2.1时，Δ＝9﹣4k＞0，
∴x2﹣3x+k＝0有两个不相等的实数根，
∴该方程可能有4个实根，
故③错误．
综上，正确的有①．
故选：A．
【点评】本题主要考查比例函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征，正确理解新定义是解题的关键．
7．（3分）（2022秋 连山区月考）如图，点B，P在函数y（x＞0）的图象上，四边形COAB是正方形，四边形FOEP是长方形，下列说法不正确的是（　　）
A．长方形BCFG和长方形GAEP的面积相等
B．点B的坐标为（4，4）
C．的图象关于过点O与B的直线对称
D．长方形FOEP和正方形COAB面积相等
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质；正方形的性质；坐标与图形变化﹣对称；坐标与图形变化﹣旋转；反比例函数的性质．
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【答案】B
【分析】根据反比例函数图象的性质即可求解．
【解答】解：A、因为点B、点P为反比例函数上的点，所以BC×AB＝PF×PE＝4，则四边形COAB和四边形FOEP面积相等，所以长方形BCFG和长方形GAEP的面积相等．所以A选项不符合题意；
B、点B坐标对应x、y值相乘的积为4，所以点B的坐标为（2，2），所以B选项符合题意；
C、因为四边形COAB为正方形，所以OB为正方形对角线，也是反比例函数的对称轴．所以C选项不符合题意；
D、因为点B、点P为反比例函数上的点，所以BC×AB＝PF×PE＝4，则四边形COAB和四边形FOEP面积相等．所以D选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数图象的性质，解题的关键是掌握反比例函数中k的几何意义．
8．（3分）（2025 越秀区校级开学）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A（5，4），点B在第一象限内，顶点C在y轴上，经过点A的反比例函数的图象交BC于点D，若点D为线段BC的中点，则平行四边形OABC的面积为（　　）
A．28 B． C． D．30
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；平行四边形的性质．
【专题】反比例函数及其应用；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】设C（0，n），由题意可知B（5，n+4），进一步求得D（，n+2），由点A、D在反比例函数的图象上，得到k＝5×4（n+2），解得n＝6，利用平行四边形的面积公式求得即可．
【解答】解：设C（0，n），
∵平行四边形OABC的顶点A（5，4），点B在第一象限内，顶点C在y轴上，
∴B（5，n+4），
∵点D为线段BC的中点，
∴D（，n+2），
∵点A、D在反比例函数的图象上，
∴k＝5×4（n+2），
解得n＝6，
∴OC＝6，
∴平行四边形OABC的面积为：6×5＝30．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，正确表示点的坐标是解题的关键．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
9．（3分）（2024 昌平区校级开学）在反比例函数的图象上有两点（1，y1），（2，y2），则y1　＞　 y2．（填“＞”或“＜”）
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】＞．
【分析】根据反比例函数的图象性质：当k＞0时，在第一象限内，y随x的增大而减小，根据0＜1＜2，可判断y1与y2的大小．
【解答】解：∵反比例函数y，k＝1＞0，
∴在第一象限，y随x的增大而减小，
∵0＜1＜2，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和性质，对于反比例函数y（k≠0），当k＞0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
10．（3分）Rt△ABC的两条边长分别是6和8，则其最小角的正弦值是 　或　 ．
【考点】解直角三角形．
【专题】分类讨论；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】或．
【分析】分两种情况讨论：当6和8是直角边长时，利用勾股求出斜边长是10，则最小角的正弦值；当6是直角边长，8是斜边长时，利用勾股求出另一条直角边长是，则最小角的正弦值．
【解答】解：当6和8是直角边长时，斜边长是10，
所以最小角的正弦值是；
当6是直角边长，8是斜边长时，
另一条直角边长是，即最短边长是，
所以最小角的正弦值是．
故答案为：或．
【点评】本题主要考查勾股定理、解直角三角形，解题关键是熟知：在直角三角形中，①三边之间的关系：a2+b2＝c2；②边角之间的关系：sinA，cosA，tanA（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）．
11．（3分）（2024 邗江区二模）如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，AD与BC相交于点O，则tan∠AOB的值为 　3　 ．
【考点】解直角三角形．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】3．
【分析】过点A作BC的平行线AE，根据勾股定理求出AD，发现AD＝ED，再过点A作ED边的垂线，构造出直角三角形即可解决问题．
【解答】解：过点A作BC的平行线AE，交DC延长线于点E，过点A作ED的垂线，垂足为M，
令小正方形的边长为1，
由勾股定理得，
AD，
∴DE＝AD，
∴∠EAD＝∠AED，
又∵AE∥BC，
∴∠AOB＝∠EAD，
∴∠AOB＝∠AED．
在Rt△AEM中，
tan∠AED，
∴tan∠AOB＝tan∠AED＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查解直角三角形，通过平行线的性质及等边对等角将∠AOB进行转化是解题的关键．
12．（3分）（2025 雁塔区校级一模）如图，已知点A、B分别在反比例函数，的图象上，且OA⊥OB，则sinB＝ 　　 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；解直角三角形；反比例函数的性质．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】．
【分析】作AC⊥y轴，垂足为C，BD⊥y轴，垂足为D，证明△ACO∽△ODB得到（）2，即tanB，求得∠B＝30°，从而求得sinB．
【解答】解：作AC⊥y轴，垂足为C，BD⊥y轴，垂足为D，
∵AO⊥BO，
∴∠AOC＝∠OBD＝90°﹣∠BOD，
∵∠ACO＝∠ODB＝90°，
∴△ACO∽△ODB，
∴（）2，
∵点A、B分别在反比例函数，的图象上，
∴S△ACO，S△ODB，
∴（）2，
∴，
∴tanB，
∴∠B＝30°，
∴sinB＝ ．
故答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数k值的几何意义是关键．
13．（3分）（2024秋 武侯区校级月考）如图，直线y＝ax+b（a＞0）与双曲线交于点A（1，3），则当x＞0时，不等式的解集是 　0＜x＜1　 ．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】用函数的观点看方程（组）或不等式；几何直观．
【答案】0＜x＜1．
【分析】借助图象求出不等式的解集即可．
【解答】解：直线y＝ax+b（a＞0）与双曲线交于点A（1，3），
观察图象，不等式的解集是0＜x＜1，
故答案为：0＜x＜1．
【点评】本题考查函数与不等式的关系，解题关键是能够根据图象交点左右两侧y值大小关系求解．
14．（3分）（2025 深圳模拟）如图，一束太阳光从天花板和落地窗交界处的点P射入，经过地板MN上的C、D两点反射到天花板上形成光斑A、B．中午和下午某时刻光线与地板的夹角分别为α，β．由光的反射原理可知，∠PCM＝∠ACN＝α，∠PDM＝∠BDN＝β．已知天花板与地面是平行的，且它们之间的距离为3m，当α＝45°，β＝30°时，光斑移动的距离AB为 　（66）　 米．
【考点】解直角三角形的应用．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】（66）．
【分析】过点C作CE⊥PB，垂足为E，过点D作DF⊥PB，垂足为F，根据题意可得：CE＝DF＝3m，△ACP和△BDP都是等腰三角形，BP∥MN，从而可得∠APC＝∠PCM＝45°，∠BPD＝∠PDM＝30°，然后在Rt△PCE中，利用锐角三角函数的定义求出PE的长，从而求出AP的长，再在Rt△PDF中，利用锐角三角函数的定义求出PF的长，从而求出BP的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．
【解答】解：如图：过点C作CE⊥PB，垂足为E，过点D作DF⊥PB，垂足为F，
由题意得：CE＝DF＝3m，△ACP和△BDP都是等腰三角形，BP∥MN，
∴∠APC＝∠PCM＝45°，∠BPD＝∠PDM＝30°，
在Rt△PCE中，PE3（m），
∴AP＝2PE＝6（m），
在Rt△PDF中，PF3（m），
∴BP＝2PF＝6（m），
∴AB＝BP﹣AP＝（66）m，
∴光斑移动的距离AB为（66）m，
故答案为：（66）．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
15．（3分）（2024 大连模拟）如图，直线y＝kx+b与函数的图象相交于点P（1，2），则不等式的解集为 　0＜x＜1　 ．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】0＜x＜1
【分析】根据函数图象直接写出不等式的解集即可．
【解答】解：由图象可知，不等式的解集为：0＜x＜1．
故答案为：0＜x＜1．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键．
16．（3分）（2024 南山区校级模拟）如图，点D是Rt△ABC的斜边AC上一点，且∠ABC＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以BD为斜边作等腰Rt△BDE，使E，C在BD同侧，连接CE，则CE的最小值为 　2　 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；垂线段最短；三角形三边关系；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；图形的相似；推理能力；应用意识．
【答案】2．
【分析】如图，过点C作CH⊥BC，使CH＝CB，连接BH，HD，利用等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质得到CE与DH的关系，则当CE取最小值时，DH最小；所以当HD⊥AC，由于垂线段最短，此时DH最小，接着利用含30°角的直角三角形的性质和勾股定理求得HD即可得出结论．
【解答】解：如图，过点C作CH⊥BC，使CH＝CB＝4，连接BH，HD，
则△HCB为等腰直角三角形，
∴∠HBC＝45°．
∵△BDE为等腰直角三角形，
∴∠DBE＝∠BDE＝45°，BE＝DE，
∴∠DBE＝∠HBC，
∴∠DBH＝∠EBC．
∵，
∴△BDH∽△BEC，
∴CEDH，
∴当DH取最小值时，CE最小．
∴当HD⊥AC时，此时DH最小．
∵CH⊥BC，AB⊥BC，
∴CH∥AB，
∴∠HCD＝∠A＝30°，
∴HDHC＝2，
∴CEDH＝2，
∴CE的最小值为2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，恰当的添加辅助线构造直角三角形的是解题的关键．
三．解答题（共11小题，满分72分）
17．（6分）（2024 南昌一模）（1）计算：；
（2）已知a，b为实数，a+3b＝2，b≠1，求的值．
【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）；（2）2．
【分析】（1）首先计算开平方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后计算减法，求出算式的值即可；
（2）根据a+3b＝2，可得a＝2﹣3b，把a＝2﹣3b代入，求出算式的值即可．
【解答】解：（1）
＝22
＝2
．
（2）∵a+3b＝2，
∴a＝2﹣3b，
∴
＝2．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
18．（6分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，求cosA，sinB，cosB，tanA，tanB的值．
【考点】互余两角三角函数的关系；同角三角函数的关系．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】；；；；．
【分析】根据sin2A+cos2A＝1可得cosA，根据∠A+∠B＝90°得sinB＝cosA，cosB＝sinA，再根据tanA，tanB即可得出答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝4/5，
∵sin2A+cos2A＝1，
∴cosA，
∵∠A+∠B＝90°，
∴sinB＝cosA，cosB＝sinA，
∴tanA，tanB．
【点评】此题主要考查了互余两角三角函数的关系，同角三角函数的关系，熟练掌握 互余两角三角函数的关系，同角三角函数的关系是解决问题的关键．
19．（6分）（2024 天元区校级一模）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点A．
（1）求点A的坐标．
（2）若线段OA的垂直平分线BC交x轴于点D．求线段OD的长．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）A（3，4）；（2）．
【分析】（1）解两个函数联立组成的方程组即可；
（2）由题意可得：CD垂直平分OA，连接AD，如图，根据线段垂直平分线的性质可得AD＝OD，设D（m，0），根据两点间的距离建立方程，解方程即可求出答案．
【解答】解：（1）解方程组，
得，
∵x＞0，
∴A（3，4）；
（2）由题意可得：CD垂直平分OA，
连接AD，如图，则AD＝OD，
设D（m，0），
则m2＝（m﹣3）2+42，
解得，
∴．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点、线段垂直平分线的性质以及勾股定理的应用等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键．
20．（6分）（2024 东营区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，AB＝5，BD＝1，tanB，∠BAD＝α．
（1）求AD的长；
（2）求sinα的值．
【考点】解直角三角形．
【专题】解直角三角形及其应用；几何直观；运算能力．
【答案】（1）3；
（2）．
【分析】（1）根据tanB，可设AC＝3x，得BC＝4x，再由勾股定理列出x的方程求出x，最后放在Rt△ACD中由勾股定理求AD；
（2）要求sinα的值，想到把α放在直角三角形中，所以过点D作DE⊥AB，垂足为点E，然后放在直角三角形BDE中，利用tanB的值求出BE与DE，进而求得结果．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanB，AB＝5，
∴可设AC＝3x，BC＝4x，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴（3x）2+（4x）2＝52，
解得，x＝﹣1（舍去），或x＝1，
∴AC＝3，BC＝4，
∵BD＝1，
∴CD＝3，
∴AD3；
（2）过点D作DE⊥AB于点E，
在Rt△BED中，tanB，
∴可设DE＝3y，则BE＝4y，
∵BE2+DE2＝BD2，
∴（3y）2+（4y）2＝12，
解得，y（舍），或y，
∴，
∴sinα．
【点评】本题考查了是解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义和勾股定理是解题的关键．
21．（6分）（2023 大兴区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，延长DC到点E，使CE＝CD．过点E作EF∥AD交AC的延长线于点F，连接AE，DF．
（1）求证：四边形ADFE是平行四边形；
（2）过点E作EG⊥DF于点G，若BD＝2，AE＝5，求EG的长．
【考点】平行四边形的判定与性质；等腰三角形的性质．
【专题】三角形；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【分析】（1）证△FCE≌△ACD（ASA），得EF＝AD，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得DF＝AE＝5，再由等腰三角形的性质得CD＝BD＝2，则DE＝2CD＝4，进而由勾股定理得EF＝3，然后由面积法求出EG的长即可．
【解答】（1）证明：∵EF∥AD，
∴∠FEC＝∠ADC，
又∵CE＝CD，∠FCE＝∠ACD，
∴△FCE≌△ACD（ASA），
∴EF＝AD，
∴四边形ADFE是平行四边形；
（2）解：如图，
由（1）可知，四边形ADFE是平行四边形，
∴DF＝AE＝5，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴CD＝BD＝2，
∴CE＝CD＝2，
∴DE＝2CD＝4，
∵EF∥AD，
∴EF⊥BC，
∴∠DEF＝90°，
∴EF3，
∵EG⊥DF，
∴S△DEFDF EGDE EF，
∴EG，
即EG的长为．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
22．（6分）（2023 平遥县一模）阅读与思考．
请仔细阅读并完成相应的任务．
利用我们所学习的三角函数的相关知识可以解决许多关于三角形边长、角度、面积等问题．如图，在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c过点B作BH⊥AC于点H，则，即AH＝c cosA，于是CH＝b﹣c cosA．在Rt△ABH中，BH2＝AB2﹣AH2，在Rt△BHC中，BH2＝BC2﹣CH2，∴c2﹣c2cos2A＝a2﹣（b﹣c cosA）2，整理得a2＝b2+c2﹣2bc cosA．
任务：
（1）b2＝a2+c2﹣2accosB ，c2＝a2+b2﹣2abcosC ；
（2）已知△ABC中，∠A，∠B，∠C所对边分别是a，b，c，，b＝2，，求c．
【考点】解直角三角形；勾股定理．
【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．
【答案】（1）a2+c2﹣2accosB；a2+b2﹣2abcosC；
（2）．
【分析】（1）直接根据a2＝b2+c2﹣2bc cosA进行类比即可求解；
（2）根据c2＝a2+b2﹣2abcosC代入数值可得c2＝5，继而求解即可．
【解答】解：（1）根据a2＝b2+c2﹣2bc cosA进行类比，可得b2＝a2+c2﹣2accosB，c2＝a2+b2﹣2abcosC．
故答案为：a2+c2﹣2accosB，a2+b2﹣2abcosC；
（2）∵c2＝a2+b2﹣2abcosC，，b＝2，，
∴，
即c2＝5，
解得，（舍去），
∴．
【点评】本题考查了解直角三角形，读懂题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
23．（6分）（2023 鄞州区校级自主招生）阅读材料：对于正数a、b，有，所以，即（当且仅当a＝b时取“＝”，特别地：2（当且仅当a＝1时取“＝”）．因此，当a＞0时，a有最小值2，此时a＝1．简单应用：
（1）函数的最大值为 　﹣4　 ．
（2）求函数，当x＝　　 时，最小值为 　8　 ．
解决问题：
（3）已知P（﹣2，3）是反比例函数图象上的点，Q是双曲线在第四象限这一分支上的动点，过点Q作直线，使其与双曲线只有一个公共点，且与x轴、y轴分别交于点A、B．另一直线与x轴、y轴分别交于点C、D，求四边形ABCD面积的最小值．
【考点】反比例函数综合题．
【专题】代数几何综合题；运算能力；推理能力．
【答案】（1）﹣4；
（2），8；
（3）当a＝4时，四边形ABCD的面积最小值为48．
【分析】（1）求得x6，进而求得结果；
（2）变形y＝4x4（x﹣1）4，进一步求得结果；
（3）设点A（a，0），B（0，b），求出AB的解析式和反比例函数的解析式，进而联立得出一元二次方程，由根的判别式为0，求得a，b的关系，进而表示出四边形ABCD的面积，进一步得出结果．
【解答】解：（1）∵x26，
∴y最大＝2﹣6＝﹣4，
故答案为：﹣4；
（2）y＝4x4（x﹣1）4≥24＝8，
当4（x﹣1）时，
即：当x时，y最小＝8，
故答案为：，8；
（3）把x＝﹣2，y＝3代入得，
3，
∴k＝﹣6，
∴y，
设点A（a，0），B（0，b），（a＞0，b＜0），
∴直线AB的解析式为：yx+b，
由x+b得，
bx2﹣abx﹣6a＝0，
∵直线AB与双曲线只有一个公共点，
∴Δ＝（ab）2+24ab＝0，
∴b，
由yx+6得：D（0，6），C（﹣4，0），
∴AC＝a+4，BD＝6﹣b＝6，
∴S四边形ABCDAC BD3（a）+24≥3×224＝48，
∴当a，
即当a＝4时，四边形ABCD的面积最小值为48．
【点评】本题反比例函数的综合题，考查了求反比例函数的解析式，一次函数的解析式，一元二次方程根的判别式等知识，解决问题的关键是设点的坐标，转化为一元二方程的有关问题．
24．（6分）（2024秋 息县期末）如图，直线y1＝﹣x+4与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为（1，m），经过点A直线y2＝x+b与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的表达式以及点C的坐标；
（2）直接写出不等式的解集．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）；C（﹣2，0）；（2）x＜0或1＜x＜3．
【分析】（1）依据题意，把A（1，m）代入y1＝﹣x+4，从而m＝﹣1+4＝3，可得A（1，3），进而可得反比例函数的表达式为，又直线y2＝x+b经过点A，从而求出b＝2，可得直线为y2＝x+2，最后令y2＝0，进而可以判断得解；
（2）依据题意得，不等式的解集是一次函数y＝﹣x+4的图象在反比例函数y的上方对应的自变量的取值范围，然后联列方程组，可得B（3，1），再结合图象进而可以判断得解．
【解答】解：（1）由题意，把A（1，m）代入y1＝﹣x+4，
∴m＝﹣1+4＝3，
∴A（1，3）．
∵点A在双曲线上，
∴k＝1×3＝3，
∴反比例函数的表达式为．
∵直线y2＝x+b经过点A，
∴b＝2，
∴直线为y2＝x+2．
令y2＝0，
∴x＝﹣2，
∴C（﹣2，0）．
（2）由题意得，不等式的解集是一次函数y＝﹣x+4的图象在反比例函数y的上方对应的自变量的取值范围．
∵联列方程组，
∴或．
又∵A（1，3），
∴B（3，1）．
∴结合图象可得，不等式的解集是x＜0或1＜x＜3．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键．
25．（8分）已知二次函数图象的顶点坐标为M（2，0），直线y＝x+2与该二次函数的图象交于A、B两点，其中点A在y轴上，如图所示．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）P为线段AB上一点（不与A、B重合），过点P作x轴的垂线PC与二次函数图象交于点Q，设线段PQ长为y，点P的横坐标为x．求y与x之间的函数关系式，并求自变量x的取值范围．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；一次函数的图象；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的图象；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（1）y（x﹣2）2；
（2）y3x，0＜x＜6．
【分析】（1）先根据直线的解析式求出A点的坐标，然后根据M点的坐标，用顶点式二次函数通式来设抛物线的解析式，将A点的坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式．
（2）PQ的长，实际是直线AB的函数值与抛物线的函数值的差．据此可得出y与x之间的函数关系式．
【解答】解：（1）依题意，设二次函数的解析式为y＝a（x﹣2）2，
∵直线y＝x+2与该二次函数的图象交于点A，点A在y轴上，
∴A（0，2），
∴2＝a（0﹣2）2，解得a，
二次函数的解析式为y（x﹣2）2；
（2）设P点坐标为：P（x，x+2），则Q点坐标为（x，（x﹣2）2）
依题意得，y＝（x+2）（x﹣2）23x，
由，
求得点B的坐标为（6，8），
∴0＜x＜6．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象和性质，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
26．（8分）（2024 船营区模拟）【特例感知】
（1）如图1，点C为直线l上一点，将一块等腰直角三角板的直角顶点与C重合，两条直角边AC、BC在直线l的两侧，过A作AD⊥l于点D，过B作BE⊥l于点E，求证：AD＝CE．
【应用拓展】
（2）当等腰直角△ACB的边AC落在直线l上，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为直线l上的一个动点（点D不与A、C重合），连接BD，将线段BD绕点B逆时针旋转90°的得到线段BE，连接AE，AE与射线BC交于点F．
①如图2，求证：AF＝EF；
②当BC＝3CF时，请直接写出AD：AC的值．
【考点】几何变换综合题．
【专题】几何综合题；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据垂直的定义得到∠ADC＝∠BEC＝90°，∠ADC＝∠BEC＝90°，求得∠CBE＝∠ACD，根据全等三角形的性质得到；
（2）①如图2，过E作EG⊥BF交BF的延长线于G，则∠EGF＝∠DCB＝90°，由（1）可得△DBC≌BEG，EG＝BC＝AC，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；
②如图2，当点D在CA的延长线上时，过E作EG⊥BF交BF的延长线于G，设CF＝a，则AC＝BC＝3a，由①知，△ACF≌△EGF，得到FG＝CF＝a，求得BG＝5a，根据全等三角形的性质得到CD＝BG＝5a，求得AD：AC；当点D在线段AC上时，过E作EG⊥BF交BF的延长线于G，同理AD：AC．
【解答】（1）证明：∵AD⊥l，BE⊥l，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∠ADC＝∠BEC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BEC+∠ACD＝90°，
∠CBE+∠BEC＝90°，
∴∠CBE＝∠ACD，
∵AC＝BC，
∴△BCE≌△CAD（AAS）
∴AD＝CE；
（2）①证明：如图2，过E作EG⊥BF交BF的延长线于G，则∠EGF＝∠DCB＝90°，
由（1）可得△DBC≌BEG，EG＝BC＝AC，
∵EG⊥BF，∠ACB＝90°，
∴∠G＝∠ACF＝90°，
又∵∠AFC＝∠EFG，AC＝EG，
∴△ACF≌△EGF（AAS），
∴AF＝CF；
②解：如图2，当点D在CA的延长线上时，
过E作EG⊥BF交BF的延长线于G，
∵BC＝3CF，
∴设CF＝a，则AC＝BC＝3a，
由①知，△ACF≌△EGF，
∴FG＝CF＝a，
∴BG＝5a，
由（1）可得△DBC≌BEG，
∴CD＝BG＝5a，
∴AD＝2a，
∴AD：AC；
当点D在线段AC上时，
过E作EG⊥BF交BF的延长线于G，
∵BC＝3CF，
∴设CF＝a，则AC＝BC＝3a，
∴BF＝2a，
由①知，△ACF≌△EGF，
∴FG＝CF＝a，
∴BG＝a，
由（1）可得△DBC≌BEG，
∴CD＝BG＝a，
∴AD＝2a，
∴AD：AC；
综上所述，AD：AC的值为．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，正确地找出辅助线是解题的关键．
27．（8分）（2024春 山亭区校级月考）解下列不等式，并将他们的解集在数轴上表示出来．
（1）2x﹣（9x+4）＜3；
（2）；
（3）．
【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）x＞﹣1，数轴见详解；
（2）x＞﹣2，数轴见详解；
（3），数轴见详解．
【分析】（1）先去括号，再把含有x的项移到不等号左边，常数项移到右边，利用不等式的性质进行解答即可；
（2）先去分母，然后再去括号，再把含有 x 的项移到不等号左边，常数项移到右边，利用不等式的性质进行解答即可；
（3）先去分母，然后再去括号，再把含有x的项移到不等号左边，常数项移到右边，利用不等式的性质进行解答即可．
【解答】解：（1）2x﹣（9x+4）＜3，
2x﹣9x﹣4＜3，
﹣7x＜7，
x＞﹣1，
解集在数轴上表示为：
；
（2），
4（1﹣x）＜12﹣3（x+2），
4﹣4x＜12﹣3x﹣6，
﹣x＜12﹣6﹣4
x＞﹣2
解集在数轴上表示为：
；
（3），
2（x﹣3）﹣（4x﹣1）≤4，
2x﹣6﹣4x+1≤4，
﹣2x≤9，
，
解集在数轴上表示为：
．
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤和不等式的性质．

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