资源简介

北京市2025-2026学年七年级下学期期末模拟自测数学试卷
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2025春 芙蓉区期末）下列学校校徽可以看成是由图案自身的一部分经平移后得到的为（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）（2025秋 兰州校级期中）若点A（a，b）在第三象限，则点B（﹣a，b）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（3分）（2023春 江阴市期中）取一张正方形的纸，随机在纸上折一道折痕（如图A和B，这道折痕称为母线），然后将纸张的其它边分别折向这条母线，再一一打开（如图C﹣F所示，这些折痕称为子线），你将看到一堆折痕（见图G），在图G中标有4个角，如图H（图G放大后的图形），则以下结论：①∠1＝45°；②∠2＝75°；③∠3＝90°；④∠4＝135°．正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．（3分）（2023春 福鼎市期中）如图，AB⊥AC，AD⊥BC，那么点B到直线AD的距离是指（　　）
A．线段DB的长 B．线段AD的长
C．线段AC的长 D．线段CD的长
5．（3分）（2024春 潮阳区校级月考）如图，在下列条件中，能判断AD∥BC的是（　　）
A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4
C．∠5＝∠6 D．∠5+∠BCD＝180°
6．（3分）（2023春 大理市期末）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四足五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余5.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余2尺，问木长多少尺，现设绳长x尺，木长y尺，则可列二元一次方程组为（　　）
A． B．
C． D．
7．（3分）（2024秋 新乐市校级月考）如图，正方形Ⅰ的边长为a，面积为8；正方形Ⅱ的边长为b，面积为18．那么代数式（b﹣a）的结果为（　　）
A．1 B．2 C． D．
8．（3分）（2024 罗山县一模）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向移动依次得到P1，P2，P3 …各点，相关数据如图所示，则点P2024的纵坐标是（　　）
A．0 B． C． D．1
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
9．（3分）（2024秋 三水区期末）若是关于x、y的方程3x﹣2y＝2m和5x+y＝3n的公共解，则m+n＝　 　 ．
10．（3分）（2025 涪城区开学）（﹣4）3的立方根是 　 　 ．
11．（3分）（2022春 莱州市期中）请举反例说明命题“对于任意实数x，x2+5x+5的值总是整数”是假命题，你举的反例是x＝　 　 .（写出一个x的值即可）
12．（3分）（2024春 防城港期末）二元一次方程组的解是 　 　 ．
13．（3分）（2023春 渝中区校级期末）在平面直角坐标系中，若点A（1，﹣2），B（x，﹣2），且AB＝4．则x＝　 　 ．
14．（3分）（2025春 龙南市期末）如图，在锐角△ABC中，∠BAC＝54°，将△ABC沿着射线BC方向平移得到△A′B′C′（平移后点A，B，C的对应点分别是点A′，B′，C′），连接CA′，若在整个平移过程中，∠ACA′和∠CA′B′的度数之间存在2倍关系，则∠ACA′的值为　 　 ．
15．（3分）（2024春 兴业县期中）有一个英文单词的字母顺序对应如图中的有序数对分别为（1，2），（5，1），（5，2），（5，2），（1，3），请你把这个英文单词写出来或者翻译成中文为 　 　 ．
16．（3分）爷爷和小明下棋，爷爷赢一盘得1分，小明赢一盘得3分，两人下了12盘棋（未出现和棋） 后，得分相同，则爷爷赢了 　 　 盘，小明赢了 　 　 盘．
三．解答题（共10小题，满分52分）
17．（5分）（2023春 罗源县期末）计算：．
18．（5分）（2023春 湛江校级期末）解方程组：．
19．（5分）（2024秋 天水校级期中）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，求证：DE∥BC．
在下列横线上添加恰当的内容
证明：∵∠1+∠4＝180°（邻补角定义），
∠1+∠2＝180°（已知），
∴∠2＝∠4（　 　 ），
∴EF∥AB（　 　 ），
∴∠3＝∠ADE（　 　 ），
又∵∠3＝∠B，
∴∠ADE＝∠B（　 　 ），
∴DE∥BC（　 　 ）．
20．（5分）（2025秋 罗湖区校级期中）我们知道，是一个无理数，将这个数减去它的整数部分，差就是该数的小数部分，即的整数部分是1，小数部分是1．
（1）的整数部分是　 　 ，的小数部分是　 　 ；
（2）数学中常用“比差法”比较两个数大小的方法，即：．
例如：比较2与2的大小．
∵2﹣24，又∵45，
∴2﹣24＞0，∴2＞2．
请利用上述“比差法”，比较8与3的大小．
21．（5分）（2023春 裕华区校级期中）已知：如图，CF⊥AB，DE⊥AB．∠1＝∠2，
（1）对FG∥BC说明理由．
（2）若∠B＝47°，求∠2的度数．
22．（5分）（2025秋 鼓楼区校级月考）如图，在8×8的网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度．
（1）建立适当的平面直角坐标系后，若点B的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（3，0），则点A的坐标为　 　 ；
（2）将△ABC向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，画出平移后的△A′B′C′；
（3）在（1），（2）的条件下，若线段AC上有一点P（m，n），则平移后的对应点P′的坐标为　 　 ．
23．（5分）（2023 前郭县四模）《九章算术》中记载：“今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？”其大意是：今有好田1亩，价值300钱；坏田7亩，价值500钱．今共买好、坏田1顷（1顷＝100亩），价钱10000钱．问好、坏田各买了多少亩？
24．（5分）（2025春 西城区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，对于点A（x1，y1），B（x2，y2），记dx＝|x1﹣x2|，dy＝|y1﹣y2|，将|dx﹣dy|称为点A，B的横纵偏差，记为μ（A，B），即μ（A，B）＝|dx﹣dy|．若点B在线段PQ上，将μ（A，B）的最大值称为线段PQ关于点A的横纵偏差，记为μ（A，PQ）．
（1）A（﹣1，0），B（4，2），
①μ（A，B）的值是 　 　 ；
②点K在y轴上，若μ（B，K）＝0，则点K的坐标是 　 　 ．
（2）点P，Q在x轴上，点P在点Q的左侧，PQ＝5，点M的坐标为（0，﹣4）．
①当点P的坐标为（1，0）时，求μ（M、PQ）的值；
②当线段PQ在x轴上运动时，直接写出μ（M，PQ）的最小值及此时点P的坐标．
25．（6分）（2025春 南山区校级期中）如图，点C为线段AB上的一点，点D为线段AB外的一点，连接CD，CE平分∠DCB．
（1）尺规作图：过点A作AM∥CE，交射线CD于点M（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若∠BCD＝50°，求∠AMD的度数．
26．（6分）（2025春 永春县期中）数学实践：探究用标准卡纸制作礼盒个数最多．
素材1：如图1，每张标准卡纸可以剪裁成6张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形．
素材2：如图2，可以用小长方形和小正方形制作横式叠盖和竖式叠盖纸盒，如图3是横式叠盖和竖式叠盖纸盒的平面展开图．
素材3：数学实践小组一共有33张标准卡纸通过剪裁一共得到m张小长方形和n张小正方形，做成x个横式叠盖纸盒和y个竖式叠盖纸盒，恰好使剪裁后的小长方形和正方形用完．
【任务1】若m＝158，求n，x，y的值；
【任务2】求x+y的最大值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2025春 芙蓉区期末）下列学校校徽可以看成是由图案自身的一部分经平移后得到的为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】利用平移设计图案．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】C
【分析】根据平移不改变图形的形状和大小，结合图案，对选项一一分析，排除错误答案．
【解答】解：A、是一个对称图形，不能由平移得到，故不符合题意；
B、是一个图形，不能由平移得到，故不符合题意；
C、图案自身的一部分沿着直线运动而得到，是平移，故符合题意；
D、图案自身的一部分经轴对称而得到，故不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，以致选错．
2．（3分）（2025秋 兰州校级期中）若点A（a，b）在第三象限，则点B（﹣a，b）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；符号意识．
【答案】D
【分析】根据点A在第三象限，确定a和b的符号，再分析点B的坐标符号，从而判断所在象限．
【解答】解：∵点A（a，b）在第三象限，
∴a＜0，b＜0，
∵a＜0，
∴﹣a＞0，
又∵b＜0，
∴点B在第四象限．
故选：D．
【点评】本题主要考查了点的坐标，解题的关键是掌握各象限内点的坐标特征．
3．（3分）（2023春 江阴市期中）取一张正方形的纸，随机在纸上折一道折痕（如图A和B，这道折痕称为母线），然后将纸张的其它边分别折向这条母线，再一一打开（如图C﹣F所示，这些折痕称为子线），你将看到一堆折痕（见图G），在图G中标有4个角，如图H（图G放大后的图形），则以下结论：①∠1＝45°；②∠2＝75°；③∠3＝90°；④∠4＝135°．正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点】平行线的性质．
【专题】推理填空题；操作型；几何直观；推理能力．
【答案】B
【分析】折叠主要的特征是对称，产生众多的角平分线，按角的关系分析判断即可．
【解答】解：如图标记各点，并延长BA、FE交于P，延长BC、EF交于Q．
正方形ABCD中，∠A+∠B+∠C＝90°，AB∥CD．
①由折叠可知∠AEG＝∠GEF，∠EFH＝∠HFC，
△DEF的外角：∠AEF＝∠D+∠EFD，
△DEF的外角：∠CFE＝∠D+∠FED，
∴∠AEF+∠CFE＝∠D+∠FED+∠D+∠EFD＝∠D+180°＝270°．
∴2∠GEF+2∠HFE＝270°，
∴∠GEF+∠HFE＝135°，
∴∠1＝180°﹣135°＝45°．正确．
②∠2，条件不足，无法判断．
③由折叠可知，∠BPI＝∠FPI，∠PFH＝∠CFH，
∵AB∥CD，
∴∠BPF+∠PFC＝180°，
即2∠IPF+2∠PFH＝180°，
∴∠IPF+∠PFH＝90°，
∴∠3＝90°．正确．
④由折叠可知，∠BPI＝∠QPI，∠PQJ＝∠BQJ．
∵∠B＝90°，
∴2∠QPI+2∠PQJ＝90°，
∴∠QPI+∠PQJ＝45°，
∴∠4＝180°﹣45°＝135°，正确．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形内角和、三角形外角、平行线的性质等知识点．已知条件由折叠的形式给出，具有一定的隐蔽性．增加了趣味性，也制造了难度．
4．（3分）（2023春 福鼎市期中）如图，AB⊥AC，AD⊥BC，那么点B到直线AD的距离是指（　　）
A．线段DB的长 B．线段AD的长
C．线段AC的长 D．线段CD的长
【考点】点到直线的距离．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】A
【分析】直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，由此即可得到答案．
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴点B到直线AD的距离是线段DB的长．
故选：A．
【点评】本题考查点到直线的距离，关键是掌握点到直线距离的定义．
5．（3分）（2024春 潮阳区校级月考）如图，在下列条件中，能判断AD∥BC的是（　　）
A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4
C．∠5＝∠6 D．∠5+∠BCD＝180°
【考点】平行线的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】A
【分析】根据平行线的判定定理，依次判断，即可求解．
【解答】解：A、根据“内错角相等，两直线平行”可得AD∥BC，符合题意，
B、根据“内错角相等，两直线平行”可得AB∥CD，无法判断AD∥BC，不符合题意，
C、无法判断AD∥BC，不符合题意，
D、根据“同旁内角互补，两直线平行”可得AB∥CD，无法判断AD∥BC，不符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线判定的条件．
6．（3分）（2023春 大理市期末）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四足五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余5.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余2尺，问木长多少尺，现设绳长x尺，木长y尺，则可列二元一次方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】根据用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余5.5尺，可得x﹣y＝5.5；根据将绳子对折再量长木，长木还剩余2尺，可得，然后即可写出相应的方程组．
【解答】解：设绳长x尺，木长y尺，
依题意，得：，
故选：B．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找到等量关系．
7．（3分）（2024秋 新乐市校级月考）如图，正方形Ⅰ的边长为a，面积为8；正方形Ⅱ的边长为b，面积为18．那么代数式（b﹣a）的结果为（　　）
A．1 B．2 C． D．
【考点】二次根式的应用．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】B
【分析】正方形的面积公式等知识，先根据正方形的面积求出a，b的值，再代入求解即可．
【解答】解：由题知正方形I的边长为a，面积为8，
故正方形的边长a2，
∵正方形II的边长为b，面积为18，
∴故正方形的边长b3，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查了代数式求值，二次根式的应用，掌握相关知识是解题的关键．
8．（3分）（2024 罗山县一模）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向移动依次得到P1，P2，P3 …各点，相关数据如图所示，则点P2024的纵坐标是（　　）
A．0 B． C． D．1
【考点】规律型：点的坐标．
【专题】猜想归纳；推理能力．
【答案】B
【分析】根据动点的运动方式，依次求出点Pi的坐标，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
过点P1作x轴的垂线，垂足为M，
易得△P1OM是等腰直角三角形，
因为OP1＝1，
所以OM．
则点P1的纵坐标为，
同理可得，
点P2的纵坐标为，
点P3的纵坐标为0，
点P4的纵坐标为，
点P5的纵坐标为，
点P6的纵坐标为0，
点P7的纵坐标为，
…，
由此可见，点Pi（i为正整数）的纵坐标按循环出现，
又因为2024÷6＝337余2，
所以点P2024的纵坐标为．
故选：B．
【点评】本题考查点的坐标变化规律，能根据动点的运动方式发现其对应点的纵坐标按循环出现是解题的关键．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
9．（3分）（2024秋 三水区期末）若是关于x、y的方程3x﹣2y＝2m和5x+y＝3n的公共解，则m+n＝　7　 ．
【考点】二元一次方程的解．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】7．
【分析】把x与y的值分别代入已知两个方程中计算求出m与n的值，代入计算即可求出m+n的值．
【解答】解：把分别代入方程3x﹣2y＝2m和5x+y＝3n得：6+2＝2m，10﹣1＝3n，
解得：m＝4，n＝3，
则m+n＝4+3＝7．
故答案为：7．
【点评】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
10．（3分）（2025 涪城区开学）（﹣4）3的立方根是 　﹣4　 ．
【考点】立方根．
【专题】计算题；实数；运算能力．
【答案】﹣4．
【分析】根据立方根的定义即可解答．
【解答】解：4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查了立方根，解决本题的关键是熟记立方根的定义．
11．（3分）（2022春 莱州市期中）请举反例说明命题“对于任意实数x，x2+5x+5的值总是整数”是假命题，你举的反例是x＝　（答案不唯一）　 .（写出一个x的值即可）
【考点】命题与定理．
【专题】推理填空题；运算能力；推理能力．
【答案】（答案不唯一）．
【分析】把x代入代数式，根据计算结果解答．
【解答】解：当x时，x2+6x+5＝（）2+55＝7，
∴x2+6x+5的值总是整数是假命题，
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是命题和定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
12．（3分）（2024春 防城港期末）二元一次方程组的解是 　　 ．
【考点】解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】．
【分析】先利用加减消元法求出x的值，再利用代入消元法求出y的值即可．
【解答】解：，
①+②得3x＝6，
解得：x＝2，
将x＝2代入①，得2﹣y＝2，
解得：y＝0，
∴二元一次方程组的解是，
故答案为：．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解题的关键．
13．（3分）（2023春 渝中区校级期末）在平面直角坐标系中，若点A（1，﹣2），B（x，﹣2），且AB＝4．则x＝　﹣3或5　 ．
【考点】坐标与图形性质．
【专题】平面直角坐标系；推理能力．
【答案】﹣3或5．
【分析】根据点A（1，﹣2），B（x，﹣2）可知AB∥x轴，据此可得出结论．
【解答】解：∵点A（1，﹣2），B（x，﹣2），
∴AB∥x轴，
∵AB＝4，
∴|1﹣x|＝4，
∴x＝﹣3或x＝5．
故答案为：﹣3或5．
【点评】本题考查的是坐标与图形性质，先根据题意得出AB∥x轴是解题的关键．
14．（3分）（2025春 龙南市期末）如图，在锐角△ABC中，∠BAC＝54°，将△ABC沿着射线BC方向平移得到△A′B′C′（平移后点A，B，C的对应点分别是点A′，B′，C′），连接CA′，若在整个平移过程中，∠ACA′和∠CA′B′的度数之间存在2倍关系，则∠ACA′的值为　18°或36°或108°　 ．
【考点】平移的性质．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】18°或36°或108°．
【分析】如图，当点B′在BC上时，当点B′在BC延长线上时，两种情况中又分①当∠ACA′＝2∠CA′B′时，当∠CA′B′＝2∠ACA′时，过点C作CG∥AB，证明CG∥A′B′，得到∠ACG＝∠BAC＝54°，再通过角之间的关系建立方程求解即可．
【解答】解：第一种情况：如图，当点B′在BC上时，过点C作CG∥AB，
由平移性质可知AB∥A′B′，
∵CG∥AB，
∴CG∥A′B′，
∴∠ACG＝∠BAC＝54°，
①当∠ACA′＝2∠CA′B′时，
设∠CA′B′＝x，则∠ACA′＝2x，
∴∠A′CG＝∠CA′B′＝x，
∵∠ACG＝∠ACA′+∠A′CG，
∴2x+x＝54°，
解得：x＝18°，
∴∠ACA′＝2x＝36°；
②当∠CA′B′＝2∠ACA′时，
∴设∠CA′B′＝x，则∠ACA'x，
∴∠A′CG＝∠CA′B′＝x，
由条件可知，xx＝54°，
解得：x＝36°，
∴∠ACA'x＝18°；
第二种情况：当点B'在BC延长线上时，过点C作CG∥AB，
同理可得CG∥A′B′，
∴∠ACG＝∠BAC＝54°
①当∠ACA′＝2∠CA′B′时，
设∠CA′B′＝x，则∠ACA′＝2x，
∴∠A′CG＝∠CA′B′＝x，
由条件可得2x﹣x＝54°，
解得：x＝54°，
∴∠ACA′＝2x＝108°；
②由于∠ACA′＞∠CA′B′，则∠CA′B′＝2∠ACA′这种情况不存在；
综上所述，∠ACA′的度数可以为18°或36°或108°，
故答案为：18°或36°或108°．
【点评】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，分类讨论是解答本题的关键．
15．（3分）（2024春 兴业县期中）有一个英文单词的字母顺序对应如图中的有序数对分别为（1，2），（5，1），（5，2），（5，2），（1，3），请你把这个英文单词写出来或者翻译成中文为 HELLO或你好　 ．
【考点】坐标确定位置．
【专题】平面直角坐标系；几何直观．
【答案】HELLO或你好．
【分析】根据图形，可以写出这个英文单词或中文．
【解答】解：由图可得，
这个英文单词是HELLO，中文是你好，
故答案为：HELLO或你好．
【点评】本题考查坐标确定位置，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
16．（3分）爷爷和小明下棋，爷爷赢一盘得1分，小明赢一盘得3分，两人下了12盘棋（未出现和棋） 后，得分相同，则爷爷赢了 　9　 盘，小明赢了 　3　 盘．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】9，3．
【分析】设爷爷赢了x盘，则小明赢了（12﹣x）盘，根据两人得分相同，可列出关于x的一元一次方程，解之可求出爷爷赢棋的盘数，再将其代入（12﹣x）中，即可求出小明赢棋的盘数．
【解答】解：设爷爷赢了x盘，则小明赢了（12﹣x）盘，
根据题意得：x＝3（12﹣x），
解得：x＝9，
∴12﹣x＝12﹣9＝3，
∴爷爷赢了9盘，小明赢了3盘．
故答案为：9，3．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
三．解答题（共10小题，满分52分）
17．（5分）（2023春 罗源县期末）计算：．
【考点】实数的运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】．
【分析】直接利用立方根以及算术平方根的定义、绝对值的性质先分别进行化简，然后再按顺序进行计算即可．
【解答】解：
．
【点评】本题考查的是实数的运算，涉及到绝对值、算术平方根和立方根的定义，熟练掌握基本知识是解题的关键．
18．（5分）（2023春 湛江校级期末）解方程组：．
【考点】解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】．
【分析】利用加减消元法进行计算，即可解答．
【解答】解：，
①+②得：3x＝9，
解得：x＝3，
把x＝3代入②得：3﹣y＝4，
解得：y＝﹣1，
∴原方程组的解为：．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．
19．（5分）（2024秋 天水校级期中）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，求证：DE∥BC．
在下列横线上添加恰当的内容
证明：∵∠1+∠4＝180°（邻补角定义），
∠1+∠2＝180°（已知），
∴∠2＝∠4（　同角的补角相等　 ），
∴EF∥AB（　内错角相等，两直线平行　 ），
∴∠3＝∠ADE（　两直线平行，内错角相等　 ），
又∵∠3＝∠B，
∴∠ADE＝∠B（　等量代换　 ），
∴DE∥BC（　同位角相等，两直线平行　 ）．
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行．
【分析】由邻补角的定义和已知条件可证明∠2＝∠4，则可证明EF∥AB得到∠3＝∠ADE，再证明∠ADE＝∠B，即可证明DE∥BC．
【解答】证明：由条件可知：∠1+∠2＝180°已知），
∴∠2＝∠4（同角的补角相等），
∴EF∥AB（内错角相等，两直线平行），
∴∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等），
又∵∠3＝∠B（已知），
∴∠ADE＝∠B（等量代换），
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行．
【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，关键是平行线判定定理和性质的熟练掌握．
20．（5分）（2025秋 罗湖区校级期中）我们知道，是一个无理数，将这个数减去它的整数部分，差就是该数的小数部分，即的整数部分是1，小数部分是1．
（1）的整数部分是　5　 ，的小数部分是　5　 ；
（2）数学中常用“比差法”比较两个数大小的方法，即：．
例如：比较2与2的大小．
∵2﹣24，又∵45，
∴2﹣24＞0，∴2＞2．
请利用上述“比差法”，比较8与3的大小．
【考点】估算无理数的大小．
【专题】实数；数感；运算能力．
【答案】（1）5，5；
（2）83．
【分析】（1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可；
（2）估算8与3的差的大小即可．
【解答】解：（1）∵52＝25，62＝36，而25＜29＜36，
∴56，
∴的整数部分是5，小数部分为5，
故答案为：5，5；
（2）83，理由：
∵45，
∴﹣54，
∴0＜51，
∵83＝50，
∴83．
【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键．
21．（5分）（2023春 裕华区校级期中）已知：如图，CF⊥AB，DE⊥AB．∠1＝∠2，
（1）对FG∥BC说明理由．
（2）若∠B＝47°，求∠2的度数．
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）理由见解答；
（2）∠2＝43°．
【分析】（1）根据同位角相等两直线平行，可知DE∥FC，故∠1＝∠DCF＝∠2，根据内错角相等，两直线平行可知，FG∥BC；
（2）根据两直角互余可得∠1＝43°，从而可得答案．
【解答】证明：（1）∵CF⊥AB，DE⊥AB，
∴∠BED＝90°，∠BFC＝90°，
∴∠BED＝∠BFC，
∴ED∥FC，
∴∠1＝∠BCF，
∵∠2＝∠1，
∴∠2＝∠BCF，
∴FG∥BC；
（2）∵∠B＝47°，∠BED＝90°，
∴∠1＝90°﹣47°＝43°，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝43°．
【点评】本题考查平行线的判定和性质，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
22．（5分）（2025秋 鼓楼区校级月考）如图，在8×8的网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度．
（1）建立适当的平面直角坐标系后，若点B的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（3，0），则点A的坐标为　（﹣1，2）　 ；
（2）将△ABC向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，画出平移后的△A′B′C′；
（3）在（1），（2）的条件下，若线段AC上有一点P（m，n），则平移后的对应点P′的坐标为　（m+2，n﹣3）　 ．
【考点】作图﹣平移变换．
【专题】作图题；平移、旋转与对称；几何直观；应用意识．
【答案】（1）（﹣1，2）；
（2）见解析；
（3）（m+2，n﹣3）．
【分析】（1）根据点B的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（3，0），建立平面直角坐标系，进而可得点A的坐标；
（2）根据平移的性质即可将△ABC向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，进而画出平移后的△A′B′C′；
（3）结合（2）根据点P（m，n），可得平移后的对应点P′的坐标．
【解答】解：（1）如图所示的平面直角坐标系即为所求，点A的坐标为（﹣1，2），
故答案为：（﹣1，2）；
（2）将△ABC向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，画出平移后的△A′B′C′如图所示；
（3）∵点P（m，n），
∴平移后的对应点P′的坐标为（m+2，n﹣3），
故答案为：（m+2，n﹣3）．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，解决本题的关键是掌握平移的性质．
23．（5分）（2023 前郭县四模）《九章算术》中记载：“今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？”其大意是：今有好田1亩，价值300钱；坏田7亩，价值500钱．今共买好、坏田1顷（1顷＝100亩），价钱10000钱．问好、坏田各买了多少亩？
【考点】二元一次方程组的应用；数学常识；一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】好田买了12.5亩，坏田买了87.5亩．
【分析】设好田买了x亩，坏田买了y亩，根据题意列出方程组并解之即可．
【解答】解：设好田买了x亩，坏田买了y亩，
根据题意，得，
解得
答：好田买了12.5亩，坏田买了87.5亩．
【点评】本题是古代问题，考查了二元一次方程组的应用，由题意找到等量关系并正确列出方程组是解题的关键．
24．（5分）（2025春 西城区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，对于点A（x1，y1），B（x2，y2），记dx＝|x1﹣x2|，dy＝|y1﹣y2|，将|dx﹣dy|称为点A，B的横纵偏差，记为μ（A，B），即μ（A，B）＝|dx﹣dy|．若点B在线段PQ上，将μ（A，B）的最大值称为线段PQ关于点A的横纵偏差，记为μ（A，PQ）．
（1）A（﹣1，0），B（4，2），
①μ（A，B）的值是 　3　 ；
②点K在y轴上，若μ（B，K）＝0，则点K的坐标是 　（0，﹣2）或（0，6）　 ．
（2）点P，Q在x轴上，点P在点Q的左侧，PQ＝5，点M的坐标为（0，﹣4）．
①当点P的坐标为（1，0）时，求μ（M、PQ）的值；
②当线段PQ在x轴上运动时，直接写出μ（M，PQ）的最小值及此时点P的坐标．
【考点】坐标与图形性质．
【专题】阅读型；应用意识；创新意识．
【答案】（1）①3；②（0，﹣2）或（0，6）；（2）①3；②最小值为，点P的坐标（，0）或（，0）．
【分析】（1）①根据μ（A，B）＝|dx﹣dy|的定义即可求得；
②设K（0，y），则可得dx＝4，dy＝2，由μ（B，K）＝0得到关于y的方程，解方程即可；
（2）①由题干条件推出Q（6，0），得到1≤t≤6，从而得到μ（M，T）＝|dx﹣dy|＝|t﹣4|的范围，即可求出最大值；
②根据题意可得μ（M，PQ）＝μ（M，P）或μ（M，Q），再进行分来讨论列出方程求解即可．
【解答】（1）①∵A（﹣1，0），B（4，2），
∴dx＝|x1﹣x2|＝|﹣1﹣4|＝5，dy＝|y1﹣y2|＝|0﹣2|＝2，
则μ（A，B）＝|dx﹣dy|＝3，
故答案为：3．
②∵B（4，2），点K在y轴上，设K（0，y），
∴dx＝|x1﹣x2|＝|4﹣0|＝4，dy＝|y1﹣y2|＝|2﹣y|，
∵μ（B，K）＝0，
∴μ（B，K）＝|dx﹣dy|＝|4﹣|2﹣y||＝0，
∴2﹣y＝4或2﹣y＝﹣4，
解得y＝﹣2或6，
∴K的坐标（0，﹣2）或（0，6），
故答案为：（0，﹣2）或（0，6）．
（2）①点P、Q在x轴上，点P在点Q得左侧，PQ＝5，点P的坐标为（1，0），
∴Q（6，0），
设T（t，0）为线段PQ上任意一点，则1≤t≤6，
∵点M的坐标为（0，﹣4），
∴dx＝t，dy＝4，
∴μ（M，T）＝|dx﹣dy|＝|t﹣4|，
由1≤t≤6，可得0≤|t﹣4|≤3，
∴μ（M，T）的最大值是3，
∴μ（M，T）＝3；
②∵μ（M，PQ）＝μ（M，P）或μ（M，Q），
设点P（a，0），则Q（a+5，0），
∵M（0，﹣4），
∴μ（M，Q）＝||a+5|﹣4|，μ（M，P）＝||a|﹣4|，
当μ（M，Q）＝μ（M，P）时，μ（M，PQ）有最小值，即||a+5|﹣4|＝||a|﹣4|时，有最小值，
∴a或，则有最小值为，点P的坐标为（，0）或（，0）．
【点评】本题主要考查三角形综合，以平面直角坐标系为知识基础，考查学生的阅读素养，创新应用能力，知识内容本身不难．
25．（6分）（2025春 南山区校级期中）如图，点C为线段AB上的一点，点D为线段AB外的一点，连接CD，CE平分∠DCB．
（1）尺规作图：过点A作AM∥CE，交射线CD于点M（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若∠BCD＝50°，求∠AMD的度数．
【考点】作图—复杂作图；平行线的判定与性质．
【专题】作图题；线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）
（2）∠AMD＝155°．
【分析】（1）以点C为圆心，以任意长为半径作弧，分别交CB、CE于点G、H；再以点A为圆心，以CG为半径作弧，交直线AC于点P，以点P为圆心，以GH为半径作弧，与以点A为圆心，以CG为半径所作弧交于点Q，作射线AQ交CD于M，即可完成所需图形；
（2）结合角平分线的定义证明AM∥CE，易得∠AMC＝∠MCE＝25°，然后根据∠AMD＝180°﹣∠AMC求解即可．
【解答】解：（1）如图所示，射线AM即为所求作；
（2）由条件可知，
∵∠CAM＝∠BCE，
∴AM∥CE，
∴∠AMC＝∠MCE＝25°，
∴∠AMD＝180°﹣∠AMC＝180°﹣25°＝155°．
【点评】本题主要考查了尺规作图﹣作角等于已知角、角平分线、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握尺规作图的方法是解题关键．
26．（6分）（2025春 永春县期中）数学实践：探究用标准卡纸制作礼盒个数最多．
素材1：如图1，每张标准卡纸可以剪裁成6张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形．
素材2：如图2，可以用小长方形和小正方形制作横式叠盖和竖式叠盖纸盒，如图3是横式叠盖和竖式叠盖纸盒的平面展开图．
素材3：数学实践小组一共有33张标准卡纸通过剪裁一共得到m张小长方形和n张小正方形，做成x个横式叠盖纸盒和y个竖式叠盖纸盒，恰好使剪裁后的小长方形和正方形用完．
【任务1】若m＝158，求n，x，y的值；
【任务2】求x+y的最大值．
【考点】几何体的展开图；列代数式；代数式求值．
【专题】运算能力．
【答案】[任务1]n＝80，x＝22，y＝12；
[任务2]35．
【分析】任务1：33张标准卡纸通过剪裁得到158张小长方形，而一张可以剪裁6个小长方形，先算出总的小长方形，减去158，即为剩余的小长方形，一个小长方形可剪裁两个小正方形，再乘以2即可求解n，根据1个竖式叠盖纸盒可以需要4个小长方形和3个正方形，1个横式叠盖纸盒5个小长方形和2个小正方形，即可建立二元一次方程组求解；
任务2：由题意得，每个竖式叠盖纸盒需要5.5个小长方形，每个横式叠盖纸盒需要6个小长方形，则6x+5.5y＝33×6，求其整数解，判断x+y的最大值即可．
【解答】解：任务1：由题意得，n＝（33×6﹣158）×2＝80，
根据题意得：，
解得：，
∴n的值为80，x的值为22，y的值为12；
任务2：由题意得，每个竖式叠盖纸盒需要5.5个小长方形，每个横式叠盖纸盒需要6个小长方形，
∴6x+5.5y＝33×6，
∴整数解为：或，
∵11+24＝35，22+12＝34，
∴35＞34，
∴x+y的最大值为35．
【点评】本题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键．

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