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浙江省杭州市2025-2026学年七年级下学期期末模拟自测数学试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a3 a2＝a6 B．（a3）2＝a5 C．（a2）3＝a6 D．a2+a3＝a5
2．（3分）（2024春 岳塘区期中）下列方程中，是二元一次方程的是（　　）
A．x﹣1＝0 B．x﹣y＝2 C．xy＝3 D．x2﹣2＝0
3．（3分）（2025春 南岸区校级期中）若（x﹣3）（2x2﹣ax﹣1）的展开式中不含x的一次项，则a的值为（　　）
A．﹣1 B． C．0 D．
4．（3分）如图，∠B的同位角是（　　）
A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4
5．（3分）（2024春 庄河市期末）如图，不能判定AB∥EC的条件是（　　）
A．∠B+∠BCE＝180° B．∠B＝∠ECD
C．∠B＝∠ACB D．∠A＝∠ACE
6．（3分）（2025秋 如皋市期中）计算a2 a3，正确的结果等于（　　）
A．a B．a3 C．a5 D．a6
7．（3分）（2024秋 重庆期中）对x、y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝axy+bx﹣4（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：T（0，1）＝a×0×1+b×0﹣4＝﹣4，若T（3，1）＝11，T（﹣1，3）＝﹣13，则下列结论正确的有（　　）
①a＝2，b＝3；
②若，则；
③若T（m，n）＝0，则m、n有且仅有2组整数解；
④若无论k取何值时，T（kx，y）的值均不变，则；
⑤若T（kx，y）＝T（ky，x）对任意有理数x、y都成立，则k＝0．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．（3分）利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（　　）
A．要消去y，可以将①×5+②×2
B．要消去x，可以将①×5+②×2
C．要消去y，可以将①×5+②×3
D．要消去x，可以将①×（﹣5）+②×2
9．（3分）（2023 朝阳区校级开学）（x﹣2）（2x+p）的展开式中，不含x的一次项，则p值是（　　）
A．﹣1 B．﹣4 C．1 D．4
10．（3分）（2025 琼中县三模）如图，直线m∥n，含45°的直角三角板的顶点C在直线n上，AB交直线m于点D，若∠1＝15°，则∠2等于（　　）
A．30° B．35° C．40° D．45°
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2022春 南岗区校级期末）已知x﹣3y＝3，用x表示y，得y＝　 　 ．
12．（3分）（2023秋 江阳区校级期中）已知a+2b＝﹣3，则2a+4b+5的值为 　 　 ．
13．（3分）（2024秋 鼓楼区校级期末）若（x+a）（x﹣2）的计算结果中不含x的一次项，则a的值是　 　 ．
14．（3分）（2025春 芝罘区期中）已知是方程2x+y＝5的一个解，则a的值为　 　 ．
15．（3分）（2023春 道里区校级月考）一副直角三角尺如图放置，已知AE∥BC，则∠AFC的度数是 　 　 ．
16．（3分）（2025秋 青羊区校级期末）在综合实践活动中，数学兴趣小组对1～n这n个自然数中，任取两数之和大于n的取法种数k进行了探究．发现：当n＝2时，只有{1，2}一种取法，即k＝1；当n＝3时，有{1，3}和{2，3}两种取法，即k＝2；当n＝4时，可得k＝4；…．若n＝5，则k的值为　 　 ；若n＝2m+1时，则k的值为　 　 （用含m的式子表示）．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）（2023秋 林州市月考）计算：
（1）2b（9b2﹣2b+3）﹣（3b）2 （2b﹣1）；
（2）a3 （﹣b3）2+（﹣2ab2）3．
18．（8分）（2024春 峄城区校级月考）先化简，再求值：（2x+y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）﹣2y（x+y），其中x，y＝22024．
19．（8分）（2024秋 碑林区校级月考）解方程组：
（1）；
（2）．
20．（8分）（2025春 秦都区期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE是AB上方的一条射线，OE⊥AB，∠BOC＝145°，求∠DOE的度数．
21．（8分）（2024春 江汉区期末）如图，在△ABC中，D是AB上一点，DF⊥AC于点F，BE⊥AC于点E，G是BC上一点，且满足∠BEG+∠BDF＝180°．
（1）求证：AB∥EG；
（2）若BE平分∠ABC，∠EGC＝56°，求∠GEC的度数．
22．（10分）（2023秋 宜宾期末）乘网约车是种便捷的出行方式，某网约车计价规则如表：
里程费 时长费 远途费
单价 1.8元/公里 0.45元/分钟 0.4元/公里
注：车费由里程费、时长费、远途费三部分的和构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程10公里以内（含10公里）不收远途费，超过10公里的，超出部分每公里收0.4元．
（1）若小东乘网约车，行车里程为20公里，行车时间为30分钟，则需付车费 　 　 元；
（2）若小明乘网约车，行车里程为a公里，行车时间为b分钟．用含a、b的代数式表示，并化简：当a≤10时，小明应付费 　 　 元；当a＞10时，小明应付费 　 　 元；
（3）小王与小张各自乘网约车，行车里程分别为9.5公里与14.5公里，受路况情况影响，小王反而比小张乘车多用24分钟，请问谁所付车费多？
23．（10分）（2025春 思明区校级期中）商场计划拨款9万元，从厂家购进50台电视机．已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元．
（1）若商场同时购进甲、乙两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你求出购进甲、乙两种不同型号的电视机各多少台．
（2）若商场用9万元同时购进三种不同型号的电视机50台，请你研究一下是否可行？若可行，请给出设计方案；若不可行，请说明理由．
24．（12分）（2024春 廊坊期中）如图，AB∥CD，直线EF交AB于点G交CD于点H点P在射线GE上，过点P作射线PM、PN，PM交AB于点M，PN交CD于点N，且M，N两点在直线EF的两侧．
（1）如图1，当∠MPN＝80°时，求∠PNC+∠PMB的度数和．
（2）如图2，PH平分∠MPN，过点N作NO平分∠PNC，设∠PMB＝α，请用含α的式子表示∠PON的度数．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a3 a2＝a6 B．（a3）2＝a5 C．（a2）3＝a6 D．a2+a3＝a5
【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】根据同底数幂相乘、幂的乘方及合并同类项法则逐一判断即可得．
【解答】解：A、a3 a2＝a5，选项计算错误，不符合题意；
B、（a3）2＝a6，选项计算错误，不符合题意；
C、（a2）3＝a6，选项计算正确，符合题意；
D、a2、a3，不是同类项，不能合并，选项计算错误，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，我相应的运算法则是关键．
2．（3分）（2024春 岳塘区期中）下列方程中，是二元一次方程的是（　　）
A．x﹣1＝0 B．x﹣y＝2 C．xy＝3 D．x2﹣2＝0
【考点】二元一次方程的定义．
【专题】一次方程（组）及应用；模型思想．
【答案】B
【分析】二元一次方程的定义，含有两个未知数，且未知数的次数为1的整式方程是二元一次方程．
【解答】解：A、x﹣1＝0是一元一次方程，故该选项不符合题意；
B、x﹣y＝2是二元一次方程，故该选项符合题意；
C、xy＝3是二元二次方程，故该选项不符合题意；
D、x2﹣2＝0是一元二次方程，故该选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握二元一次方程的定义，含有两个未知数，且未知数的次数为1的整式方程是二元一次方程．
3．（3分）（2025春 南岸区校级期中）若（x﹣3）（2x2﹣ax﹣1）的展开式中不含x的一次项，则a的值为（　　）
A．﹣1 B． C．0 D．
【考点】多项式乘多项式．
【专题】计算题；方程思想；整式；运算能力．
【答案】D．
【分析】先把多项式展开后合并，然后令x的一次项系数等于0，再解方程即可．
【解答】解：∵多项式（x﹣3）（2x2﹣ax﹣1）＝2x3+（﹣a﹣6）x2+（3a﹣1）x+3不含x的一次项，
∴3a﹣1＝0，
解得a．
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项法则及对多项式“项”的概念的理解，要知道多项式中的每个单项式叫做多项式的项，题目设计精巧，有利于培养学生灵活运用知识的能力．
4．（3分）如图，∠B的同位角是（　　）
A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4
【考点】同位角、内错角、同旁内角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】B
【分析】应用同位角的概念进行求解即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得，∠B的同位角可以是∠2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了同位角的概念，熟练应用同位角的概念进行求解是解决本题的关键．
5．（3分）（2024春 庄河市期末）如图，不能判定AB∥EC的条件是（　　）
A．∠B+∠BCE＝180° B．∠B＝∠ECD
C．∠B＝∠ACB D．∠A＝∠ACE
【考点】平行线的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】C
【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A、∵∠B+∠BCE＝180°，
∴AB∥CE，故本选项不符合题意；
B、∵∠B＝∠ECD，
∴AB∥CE，故本选项不符合题意；
C、∵∠B＝∠ACB，
∴AB与CE的关系无法确定，故本选项符合题意；
D、∵∠A＝∠ACE，
∴AB∥CE，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
6．（3分）（2025秋 如皋市期中）计算a2 a3，正确的结果等于（　　）
A．a B．a3 C．a5 D．a6
【考点】同底数幂的乘法．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】C
【分析】根据同底数幂的乘法运算法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝a5．
故选：C．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法运算法则是解题的关键．
7．（3分）（2024秋 重庆期中）对x、y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝axy+bx﹣4（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：T（0，1）＝a×0×1+b×0﹣4＝﹣4，若T（3，1）＝11，T（﹣1，3）＝﹣13，则下列结论正确的有（　　）
①a＝2，b＝3；
②若，则；
③若T（m，n）＝0，则m、n有且仅有2组整数解；
④若无论k取何值时，T（kx，y）的值均不变，则；
⑤若T（kx，y）＝T（ky，x）对任意有理数x、y都成立，则k＝0．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点】解二元一次方程组；有理数的混合运算．
【专题】新定义；实数；一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】根据题目中的新定义，运用二元一次方程组和有理数的运算能力进行计算、求解．
【解答】解：由题意，得
，
解得，
故①正确；
由a＝2，b＝3，
可得T（x，y）＝2xy+3x﹣4，
∵T（m，n）＝0，
∴2mn+3m﹣4＝0，
解得，
∵，
故②正确；
∵T（m，n）＝0，
则，
∴当m为整数时，
2n+3＝±1，±2，±4，
当2n+3＝﹣1时，
解得n＝﹣2，
∴m4，
符合题意；
当2n+3＝﹣2时，
解得，
不合题意；
当2n+3＝﹣4时，
解得，
不合题意；
当2n+3＝1时，
解得n＝﹣1，
∴m4，
符合题意；
当2n+3＝2时，
解得，
不合题意；
当2n+3＝4时，
解得，
不合题意，
∴此时有两组整数解，故③正确；
T（kx，y）＝2kxy+3kx﹣4＝kx（2y+3）﹣4，
∵无论k取何值时，T（kx，y）的值均不变，
∴x＝0或2y+3＝0，
解得x＝0或，
故④错误；
当T（k x，y）＝T（k y，x）时，
则2kxy+3kx﹣4＝2kxy+3ky﹣4，
∴2kxy+3kx﹣2kxy﹣3ky＝0，
∴3kx﹣3ky＝0，
即3k（x﹣y）＝0，
∵T（k x，y）＝T（k y，x）对任意有理数x、y都成立，
∴k＝0，故⑤正确；
∴结论①②③⑤正确，
∴结论正确的共4个，
故选：A．
【点评】此题考查了有理数运算方面新定义问题的解决能力，关键是能准确理解并运用该定义和解二元一次方程组、有理数的运算知识进行计算、讨论、辨别．
8．（3分）利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（　　）
A．要消去y，可以将①×5+②×2
B．要消去x，可以将①×5+②×2
C．要消去y，可以将①×5+②×3
D．要消去x，可以将①×（﹣5）+②×2
【考点】解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据加减消元法判断即可．
【解答】解：A．要消去y，可以将①×5+②×3，故此选项不符合题意；
B．要消去x，可以将①×3+②×（﹣2），故此选项不符合题意；
C．要消去y，可以将①×5+②×3，故此选项符合题意；
D．要消去x，可以将①×（﹣3）+②×2，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．
9．（3分）（2023 朝阳区校级开学）（x﹣2）（2x+p）的展开式中，不含x的一次项，则p值是（　　）
A．﹣1 B．﹣4 C．1 D．4
【考点】多项式乘多项式．
【专题】计算题；方程思想；整式；运算能力．
【答案】D
【分析】先把多项式展开后合并，然后令x的一次项系数等于0，再解方程即可．
【解答】解：∵多项式（x﹣2）（2x+p）＝2x2+（p﹣4）x﹣2p不含x的一次项，
∴p﹣4＝0，
解得p＝4．
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项法则及对多项式“项”的概念的理解，要知道多项式中的每个单项式叫做多项式的项，题目设计精巧，有利于培养学生灵活运用知识的能力．
10．（3分）（2025 琼中县三模）如图，直线m∥n，含45°的直角三角板的顶点C在直线n上，AB交直线m于点D，若∠1＝15°，则∠2等于（　　）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】A
【分析】过点B作直线k∥m，则k∥m∥n，由平行线的性质得出∠3＝∠2，∠4＝∠1＝15°，由题意可知∠ABC＝45°即∠3+∠4＝45°，进而可求出∠2＝∠3．
【解答】解：过点B作直线k∥m，
∵直线m∥n，
∴k∥m∥n，
∴∠3＝∠2，∠4＝∠1＝15°，
∵含45°的直角三角板的顶点C在直线n上，
∴∠ABC＝45°，
∴∠3+∠4＝45°，
∴∠2＝∠3＝45°﹣∠4＝45°﹣15°＝30°，
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2022春 南岗区校级期末）已知x﹣3y＝3，用x表示y，得y＝　　 ．
【考点】解二元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】．
【分析】把x看作已知量，把y看作未知量，根据等式的基本性质求解即可．
【解答】解：x﹣3y＝3，
3y＝x﹣3，
解得y．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了解二元一次方程，掌握等式的基本性质是解答本题的关键．
12．（3分）（2023秋 江阳区校级期中）已知a+2b＝﹣3，则2a+4b+5的值为 　﹣1　 ．
【考点】代数式求值．
【专题】整式；运算能力．
【答案】﹣1．
【分析】将2a+4b+5变形为2（a+2b）+5，然后再整体代入求值即可．
【解答】解：∵a+2b＝﹣3，
∴2a+4b+5＝2（a+2b）+5＝2×（﹣3）+5＝﹣6+5＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了代数式求值，熟练掌握整体代入求值思想是解题的关键．
13．（3分）（2024秋 鼓楼区校级期末）若（x+a）（x﹣2）的计算结果中不含x的一次项，则a的值是　2　 ．
【考点】多项式乘多项式．
【专题】计算题；方程思想；整式；运算能力．
【答案】2．
【分析】先把多项式合并，然后令x的一次项系数等于0，再解方程即可．
【解答】解：∵多项式（x+a）（x﹣2）＝x2+（a﹣2）x﹣2a不含x的一次项，
∴a﹣2＝0，
解得a＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了合并同类项法则及对多项式“项”的概念的理解，要知道多项式中的每个单项式叫做多项式的项，题目设计精巧，有利于培养学生灵活运用知识的能力．
14．（3分）（2025春 芝罘区期中）已知是方程2x+y＝5的一个解，则a的值为　1　 ．
【考点】二元一次方程的解．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】1．
【分析】根据二元一次方程的解的定义把代入方程2x+y＝5中即可求出a的值．
【解答】解：把代入方程2x+y＝5中，得4+a＝5，
解得a＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键．
15．（3分）（2023春 道里区校级月考）一副直角三角尺如图放置，已知AE∥BC，则∠AFC的度数是 　75°　 ．
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】75°．
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠ECD＝∠E，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【解答】解：∵AE∥BC，∠E＝45°，
∴∠ECD＝∠E＝45°，
∵∠D＝30°，
∴∠AFC＝∠D+∠ECD＝30°+45°＝75°．
故答案为：75°．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角板的知识，是基础题，熟记性质是解题的关键．
16．（3分）（2025秋 青羊区校级期末）在综合实践活动中，数学兴趣小组对1～n这n个自然数中，任取两数之和大于n的取法种数k进行了探究．发现：当n＝2时，只有{1，2}一种取法，即k＝1；当n＝3时，有{1，3}和{2，3}两种取法，即k＝2；当n＝4时，可得k＝4；…．若n＝5，则k的值为　6　 ；若n＝2m+1时，则k的值为m（m+1）　 （用含m的式子表示）．
【考点】规律型：数字的变化类；列代数式．
【专题】猜想归纳；运算能力；推理能力．
【答案】6，m（m+1）．
【分析】根据题意，依次求出n＝3，5，7，…，时k的值，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
当n＝3时，k＝2；
当n＝5时，
取法有{5，4}，{5，3}，{5，2}，{5，1}，{4，3}，{4，2}，共计6种，
所以k＝6＝2+4；
当n＝7时，
取法有{7，6}，{7，5}，{7，4}，{7，3}，{7，2}，{7，1}，{6，5}，{6，4}，{6，3}，{6，2}，{5，4}，{5，3}，共计12种，
所以k＝12＝2+4+6，
…，
所以当n＝2m+1时，k＝2+4+6+…+2m＝m（m+1）．
故答案为：6，m（m+1）．
【点评】本题主要考查了数字变化的规律及列代数式，能根据题意依次求出n＝3，5，7，…，时k的值，并据此发现规律是解题的关键．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）（2023秋 林州市月考）计算：
（1）2b（9b2﹣2b+3）﹣（3b）2 （2b﹣1）；
（2）a3 （﹣b3）2+（﹣2ab2）3．
【考点】单项式乘多项式；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）5b2+6b；
（2）﹣7a3b6．
【分析】（1）单项式乘多项式的运算法则即可求解；
（2）根据积的乘方、幂的乘方，结合整式的合并同类项则即可求解．
【解答】解：（1）原式＝18b3﹣4b2+6b﹣9b2（2b﹣1）
＝18b3﹣4b2+6b﹣18b3+9b2
＝5b2+6b；
（2）原式＝a3b6﹣8a3b6
＝﹣7a3b6．
【点评】本题考查了积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法、单项式乘多项式及整式的合并同类项，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
18．（8分）（2024春 峄城区校级月考）先化简，再求值：（2x+y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）﹣2y（x+y），其中x，y＝22024．
【考点】整式的混合运算—化简求值；完全平方公式；平方差公式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】2xy，原式＝4．
【分析】先利用平方差公式，完全平方公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解答】解：（2x+y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）﹣2y（x+y）
＝4x2+4xy+y2﹣（4x2﹣y2）﹣2xy﹣2y2
＝4x2+4xy+y2﹣4x2+y2﹣2xy﹣2y2
＝2xy，
当x＝（）2 023，y＝22 024时，原式＝2×（）2 023×22 024
＝2×（2）2 023×2
＝2×12 023×2
＝2×1×2
＝4．
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，平方差公式，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19．（8分）（2024秋 碑林区校级月考）解方程组：
（1）；
（2）．
【考点】解二元一次方程组．
【专题】计算题；一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）利用加减消元法求解比较简便；
（2）先化简组中的两个方程，再求解方程组得结论．
【解答】解：（1），
①×2+②，得9x＝9，
∴x＝1．
把x＝1代入①，得2﹣y＝1，
∴y＝1．
∴原方程组的解为；
（2），
原方程组化简为，
①×5﹣②，得22x＝176，
∴x＝8．
把x＝8代入①，得5×8+y＝36，
∴y＝﹣4，
∴原方程组的解为．
【点评】本题考查了解方程组，掌握求解方程组的加减消元法和代入消元法是解决本题的关键．
20．（8分）（2025春 秦都区期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE是AB上方的一条射线，OE⊥AB，∠BOC＝145°，求∠DOE的度数．
【考点】垂线；对顶角、邻补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】55°．
【分析】根据垂直的定义可知∠AOE＝90°，根据对顶角相等可知∠AOD＝145°，根据角之间的关系可得：∠DOE＝∠AOD﹣∠AOE＝55°．
【解答】解：由条件可知∠AOE＝90°，
∵∠BOC＝145°，
∴∠AOD＝∠BOC＝145°，
∴∠DOE＝55°．
【点评】本题主要考查了垂直的定义、对顶角相等，熟练掌握以上知识点是关键．
21．（8分）（2024春 江汉区期末）如图，在△ABC中，D是AB上一点，DF⊥AC于点F，BE⊥AC于点E，G是BC上一点，且满足∠BEG+∠BDF＝180°．
（1）求证：AB∥EG；
（2）若BE平分∠ABC，∠EGC＝56°，求∠GEC的度数．
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）62°．
【分析】（1）根据平行线的判定与性质求证即可；
（2）根据平行线的性质及角平分线定义求出∠BEG＝∠ABE＝28°，再根据垂直定义求解即可．
【解答】（1）证明：∵DF⊥AC，BE⊥AC，
∴∠AFD＝∠AEB＝90°，
∴DF∥BE，
∴∠ABE+∠BDF＝180°，
∵∠BEG+∠BDF＝180°，
∴∠BEG＝∠ABE，
∴AB∥EG；
（2）解：∵AB∥EG，∠EGC＝56°，
∴∠ABC＝∠EGC＝56°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE∠ABC＝28°，
∴∠BEG＝∠ABE＝28°，
∵BE⊥AC，
∴∠BEC＝∠BEG+∠GEC＝90°，
∴∠GEC＝62°．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
22．（10分）（2023秋 宜宾期末）乘网约车是种便捷的出行方式，某网约车计价规则如表：
里程费 时长费 远途费
单价 1.8元/公里 0.45元/分钟 0.4元/公里
注：车费由里程费、时长费、远途费三部分的和构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程10公里以内（含10公里）不收远途费，超过10公里的，超出部分每公里收0.4元．
（1）若小东乘网约车，行车里程为20公里，行车时间为30分钟，则需付车费 　53.5　 元；
（2）若小明乘网约车，行车里程为a公里，行车时间为b分钟．用含a、b的代数式表示，并化简：当a≤10时，小明应付费 　（1.8a+0.45b）　 元；当a＞10时，小明应付费 　（2.2a+0.45b﹣4）　 元；
（3）小王与小张各自乘网约车，行车里程分别为9.5公里与14.5公里，受路况情况影响，小王反而比小张乘车多用24分钟，请问谁所付车费多？
【考点】列代数式．
【专题】计算题；整式；运算能力．
【答案】（1）53.5；
（2）（1.8a+0.45b），（2.2a+0.45b﹣4）；
（3）两人所付费用一样多．
【分析】（1）根据网约车计算得到得到所求即可；
（2）根据a的值在10公里以内还是超过10公里，分别写出小明应付费即可；
（3）根据题意计算出两人的车费即可．
【解答】解：（1）1.8×20+0.45×30+0.4×（20﹣10）＝53.5（元）．
故需付车费53.5元．
故答案为：53.5；
（2）当a≤10 时，小明应付费（1.8a+0.45b）元；
当a＞10时，小明应付费（2.2a+0.45b﹣4）元．
故答案为：（1.8a+0.45b），（2.2a+0.45b﹣4）；
（3）设小张乘车为x分钟，则小王乘车为（x+24）分钟，
小王费用：1.8×9.5+0.45（x+24）＝（27.9+0.45x）元；
小张费用：1.8×14.5+0.45x+0.4（14.5﹣10）＝（27.9+0.45x）元；
故两人所付费用一样多．
【点评】此题考查了代数式求值，以及列代数式，弄清题意是解本题的关键．
23．（10分）（2025春 思明区校级期中）商场计划拨款9万元，从厂家购进50台电视机．已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元．
（1）若商场同时购进甲、乙两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你求出购进甲、乙两种不同型号的电视机各多少台．
（2）若商场用9万元同时购进三种不同型号的电视机50台，请你研究一下是否可行？若可行，请给出设计方案；若不可行，请说明理由．
【考点】二元一次方程组的应用；二元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）购进甲种电视机25台，乙种电视机25台；
（2）可行，有4种购买方案，①购进甲种电视机33台，乙种电视机5台，丙种电视机12台；②购进甲种电视机31台，乙种电视机10台，丙种电视机9台；③购进甲种电视机29台，乙种电视机15台，丙种电视机6台；④购进甲种电视机27台，乙种电视机20台，丙种电视机3台．
【分析】（1）设购进甲种电视机x台，乙种电视机y台，根据商场同时购进甲、乙两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购进甲种电视机m台，乙种电视机n台，则购进丙种电视机（50﹣m﹣n）台，根据商场用9万元同时购进三种不同型号的电视机50台，列出二元一次方程，求出符合题意的正整数解，即可得出结论．
【解答】解：（1）设购进甲种电视机x台，乙种电视机y台，
根据题意得：，
解得：，
答：购进甲种电视机25台，乙种电视机25台；
（2）可行，理由如下：
设购进甲种电视机m台，乙种电视机n台，则购进丙种电视机（50﹣m﹣n）台，
根据题意得：1500m+2100n+2500（50﹣m﹣n）＝90000，
整理得：m＝35n，
∵m、n、50﹣m﹣n均为正整数，
∴或或或，
∴有4种购买方案：
①购进甲种电视机33台，乙种电视机5台，丙种电视机12台；
②购进甲种电视机31台，乙种电视机10台，丙种电视机9台；
③购进甲种电视机29台，乙种电视机15台，丙种电视机6台；
④购进甲种电视机27台，乙种电视机20台，丙种电视机3台．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
24．（12分）（2024春 廊坊期中）如图，AB∥CD，直线EF交AB于点G交CD于点H点P在射线GE上，过点P作射线PM、PN，PM交AB于点M，PN交CD于点N，且M，N两点在直线EF的两侧．
（1）如图1，当∠MPN＝80°时，求∠PNC+∠PMB的度数和．
（2）如图2，PH平分∠MPN，过点N作NO平分∠PNC，设∠PMB＝α，请用含α的式子表示∠PON的度数．
【考点】一元一次方程的应用；角平分线的定义；平行线的性质；列代数式．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】（1）100°；
（2）．
【分析】（1）由题意，作 PQ∥CD，得到AB∥PQ，利用平行线的性质和已知条件，可得到结果；
（2）根据题意，作 PQ∥CD，OT∥CD，根据平行线的性质，和角平分线的定义，可得到结果．
【解答】解：（1）如图1，过点P作 PQ∥CD，且点Q在点P的右侧，
∴∠NPQ＝∠PNC，
∵AB∥CD，
∴AB∥PQ，
∴∠MPQ+∠PMB＝180°，
∴∠NPQ+∠MPN+∠PMB＝180°，
即∠PNC+∠MPN+∠PMB＝180°，
∴∠PNC+∠PMB＝180°﹣∠MPN，
∵∠MPN＝80°，
∴∠PMB+∠PNC＝100°；
（2）如图2，过点P作 PQ∥CD，过点O作OT∥CD，且点Q、点T都在EF的右侧，
∵PH平分∠MPN，
∴∠OPN∠MPN，
∴∠QPO∠MPN+∠NPQ，
∵NO平分∠PNC，
∴∠ONC∠PNC，
∵OT∥CD，
∴∠TON＝∠ONC∠PNC，
∵OT∥CD，PQ∥CD，
∴∠QPO+∠POT＝180°，
∴，
∴，
由（1）可得∠NPQ＝∠PNC，
∴，
由（1）可得∠PNC+∠PMB＝180°﹣∠MPN，
∴∠PNC+∠MPN＝180°﹣∠PMB，
∴∠PON＝180°∠MPN∠PNC＝180°（180°﹣∠PMB）＝90°∠PMB＝90°α．
【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质的应用，熟练掌握平行线的性质，正确进行角的计算是解题的关键．

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