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2025-2026学年高二下学期期末模拟考试（一）
数　学（解析卷）
（考试时间：120分钟　试卷满分：150分）
答案速查表
1 2 3 4 5
D A B B B
6 7 8 9 10
D B D ACD BCD
11 12 13 14 15
ABD （1）列联表见解析， （2）有关
16 17 18 19
（1） （2）证明见解析 （1） （2）（i）证明见解析 （ii） （1） （2），证明见解析 （3）证明见解析 （1）见解析 （2） （3）证明见解析
第一部分 选择题（共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.　已知集合 ，，则 （ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由 ，，
又 ，
∴ .
【点拨】本题考查集合的交集运算，正确估算无理数的大小是解题的关键.
2.　复数 对应的点位于（ 　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】由题意，复数 ，∴复数对应的点 ，故选A.
【点拨】本题考查复数的除法运算及复数的几何意义，属于基础题.
3.　已知 ，若 的展开式中，常数项等于240，则 （ 　　）
A. 3 B. 2 C. 6 D. 4
【答案】B
【解析】由二项展开式的通项公式可得 ，
令 ，解得 ，
即常数项为 ，解得 .
故选：B
【点拨】本题考查二项式定理中特定项的求解，掌握通项公式是解题的关键.
4.　已知一道解答题共有两小问，某班50个人中有30个人能够解答出第一问．在第一问解答不出的情况下，解答出第二问的概率为0.1，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为0.7，则解答出第二问的概率为（ 　　）
A. 0.46 B. 0.22 C. 0.18 D. 0.04
【答案】B
【解析】设“解出第一问”为事件 ， “解出第二问”为事件 ，
由题意可得： ，
则 ，
∴ .
故选：B
【点拨】本题考查全概率公式的应用，正确识别事件并套用公式是解题的关键.
5.　已知点 在曲线 上，点 在直线 上，则 两点距离最小值为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 ，设 ，过 的切线斜率为 ，当且仅当切线与 平行时， 两点距离最小值为两平行线的距离. 由 ，解得 ，此时 ，最小距离为 ，故选B.
【点拨】本题考查利用导数求曲线上一点到直线距离的最小值，利用平行线间的距离求解是常用技巧.
6.　在一个具有五个行政区域的地图上，用6种颜色着色，若相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（ 　　）
A. 1450种 B. 1480种 C. 1520种 D. 1560种
【答案】D
【解析】先涂3区域，共有6种涂法，然后涂1区域，共有5种涂法，
然后涂5区域，若1和5区域同色，一共的涂法种数为 ；
若1和5区不同色，一共的涂法种数为 .
故一共的涂色总数为 .
故选：D.
【点拨】本题考查排列组合在涂色问题中的应用，采用分步与分类相结合的方法是解题的关键.
7.　等差数列 的前 项和为 ，且 ，则 为（ 　　）
A. 45 B. 81 C. 90 D. 162
【答案】B
【解析】∵等差数列 的前 项和为 ，
∴ 也成等差数列，即 成等差数列，
∴ ，
故选：B.
【点拨】本题考查等差数列前 项和的性质，利用片段和成等差数列可快速求解.
8.　已知 ，则 的大小关系为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵ ，
构造函数 ，，
令 ，则 ，
∴ 在 上单减，
∴ ，
故 ，∴ 在 上单减，
∴ ，
∵ ，
构造函数 ，，
令 ，则 ，
∴ 在 上单减，
∴ ，
故 ，∴ 在 上单减，
∴ ，
故 .
故选：D.
【点拨】本题考查利用导数构造函数比较大小，通过取对数并构造合适的函数是解决此类问题的通法.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错得0分.
9.　李明上学有时坐公交车，有时骑自行车.假设其坐公交车用时 和骑自行车用时 均服从正态分布，密度曲线如下图所示，则（ 　　）
A.
B.
C. 如果某天有34min可用，为了降低迟到的可能性，李明应选择坐公交车
D. 如果某天有38min可用，为了降低迟到的可能性，李明应选择骑自行车
【答案】ACD
【解析】对于A，，∴ ，故A正确；
对于B， 的密度曲线矮胖，数据分散， 的密度曲线瘦高，数据集中，∴ ，故B错误；
对于C，显然 ，则当有34min可用时，坐公交车不迟到的概率大，故C正确；
对于D，显然 ，则当有38min可用时，骑自行车不迟到的概率大，故D正确；
故选：ACD.
【点拨】本题考查正态分布密度曲线的性质，理解均值决定对称轴位置、方差决定曲线形状是解题的关键.
10.　已知函数 ，则下列结论正确的是（ 　　）
A. 函数 存在三个不同零点
B. 函数 既存在极大值又存在极小值
C. 若 时，，则 的最大值为2
D. 当 时，方程 有且只有两个实根
【答案】BCD
【解析】由函数 ，可得 ，
令 ，解得 或 ，
当 时，；当 时，；当 时，，
∴函数 在 单调递减，在 上单调递增，
当 ，函数 取得极小值 ；
当 ，函数 取得极大值 ，
当 时，，当 时，，
作出函数 的图象，结合图象得：
对于A中，函数 存在两个不同的零点，∴A不正确；
对于B中，函数 既存在极大值又存在极小值，∴B正确；
对于C中，当 时，，可得 ，∴ 的最大值为2，∴C正确；
对于D中，若方程 有且只有两个实根，
即 与 的图象有两个不同的交点，可得 ，∴D正确.
故选：BCD.
【点拨】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值与零点问题，数形结合是解决此类综合问题的有效方法.
11.　甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，并且每次传球时传球者都等可能传给另外三人中的任何一人，则（ 　　）
A. 第一次球传出后恰好传给丙的概率为
B. 第二次球传出后恰好传给丙的概率为
C. 第二次球传出后恰好传给丙，且此球是由乙传出的概率为
D. 球第 次传出后恰好传给丙的概率为
【答案】ABD
【解析】对于A，第一次球传出后恰好传给丙的概率为 ，故A正确；
对于B，第二次球传出后恰好传给丙，分为两种情况：甲传给乙，乙传给丙，概率为 ；甲传给丁，丁传给丙，概率为 ，∴第二次球传出后恰好传给丙的概率为 ，故B正确；
对于C，第二次球传出后恰好传给丙，且此球是由乙传出的概率为 ，故C错误；
对于D，设球第 次传出后恰好传给丙的概率为 ，则第 次传出后没有传给丙的概率为 ，
∵每次传球时传球者都等可能传给另外三人中的任何一人，
∴ ，
∴ ，
又 ，∴ ，
∴数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
∴ ，即 ，故D正确.
故选：ABD.
【点拨】本题考查离散型随机变量的概率及概率递推数列模型，构造等比数列求通项是解决递推概率问题的核心技巧.
第二部分 非选择题（共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.　曲线 在点 处的切线方程为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】由 ，得 ，
∴ ，又 ，
∴曲线在点 处的切线方程为 ，即 .
【点拨】本题考查利用导数求曲线的切线方程，熟练掌握导数的几何意义是解题的关键.
13.　若把满足 的正整数组 称为“勾股数组”，则在不大于14的正整数中，随机选取3个不同的数，能组成“勾股数组”的概率为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】由题意可知基本事件的总数为 ，
能组成“勾股数组”的有 ，共3个，
故所求概率为 .
【点拨】本题考查古典概型的概率计算，列举出符合条件的勾股数组是解题的关键.
14.　已知定义域为 的偶函数 满足 ，且当 时，，若将方程 实数解的个数记为 ，则 ＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】∵ ，∴ 关于直线 对称，
又 是偶函数，∴ ，
∴ ，
∴ 是以2为周期的周期函数，
当 时，，
∵ ，当 时，，
在 上， 的图象与 的图象有 个交点，
又 与 均为偶函数，图象关于 轴对称，
∴在 上也有 个交点，
∴实数解的个数 .
【点拨】本题考查函数的奇偶性、周期性及函数零点个数问题，利用数形结合思想画出草图是解题的关键.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.　某种传染性疾病的检测通过采集血样利用相关检测试剂盒进行检测，若呈阳性，则诊断为患病，若呈阴性，则诊断为不患病.某企业开发了一种新型检测试剂盒，现采用卡方检验的方法检验该试剂盒的检测效果，为此随机抽取了100份患病的血样和100份不患病的血样进行检验，试验结果显示，100份患病的血样中，检测出阳性血样90份，阴性血样10份；100份不患病的血样中，检测出5份阳性血样，95份阴性血样.
（1）填写下面列联表，记检测结果为阳性者患该疾病的概率为 ，求 的估计值；
检测结果 患病 不患病 合计
阳性 90 5 95
阴性 10 95 105
合计 100 100 200
………………………………………………………………………………………… 3 分
检测结果为阳性的共95人，其中患病的为90人，
∴ 的估计值为 …………………………………………………… 6 分
(2) 零假设为 ：某人血样经该检测试剂盒检测诊断结果是否为阳性与其是否患病无关，
………………………………………………………………………………………… 8 分
根据列联表数据计算得
………………………… 11 分
因为 …………………………………………………… 12 分
根据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，
即认为某人血样经该检测试剂盒检测诊断结果是否为阳性与其是否患病有关 …… 13 分
【点拨】本题考查列联表的完善及独立性检验，熟练套用卡方公式是解题的关键。
16.　已知数列 中，，且数列 为等差数列．
（1）求 的通项公式；
（2）记 为数列 的前 项和，证明：．
【答案】（1） （2） 证明见解析
【解析】解：（1） ∵ 数列 为等差数列，设该数列的公差为 ，
依题意则有 ………………………………………………………… 2 分
已知 ，解得 ………………………………………………… 4 分
∴ 数列 是以3为首项，公差为1的等差数列，
……………………………………… 6 分
即 …………………………………………………………………… 7 分
（2） 由（1）可得 ……………………………… 9 分
………… 11 分
……………………………………………… 13 分
………………………………………………………… 14 分
∵ ，∴ ，则 ……………………………… 15 分
【点拨】本题考查等差数列的通项公式及裂项相消法求和，掌握裂项技巧是解题的关键.
17.　已知椭圆 的离心率为 ， 分别为椭圆的左，右顶点， 为椭圆的上顶点，且 .
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点 作斜率不为0的直线交椭圆于 两点，直线 与 相交于点 .
（i）证明：点 在定直线上；
（ii）求 的最大值.
【答案】（1） （2） （i） 证明见解析 （ii）
【解析】解：（1） 由题意知，，
∴ ，即 ……………………………… 2 分
又 ，∴ ………………………………… 4 分
∴椭圆的标准方程为 ……………………………………………… 5 分
（2） （i） 由于直线 过点 且斜率不为0，∴可设直线 的方程为 … 6 分
由 ，得 ……………………………… 7 分
设 ，则 ，
∴ ………………………………………………………… 8 分
∵椭圆的左，右顶点分别为 ，
∴直线 的方程为 ，
直线 的方程为 …………………………………………… 9 分
∴ ……… 10 分
解得 ，∴点 在定直线 上 ………………………………………… 11 分
（ii） 设直线 的倾斜角分别为 ，则 ，
由（i）知 ……………………………………………… 13 分
∴ ，
∴ ……………… 15 分
………………………………………………… 16 分
当且仅当 时取等号，∴ 的最大值为 ………………… 17 分
【点拨】本题考查椭圆标准方程的求解及直线与椭圆的综合应用，利用韦达定理和斜率关系转化为定点定线问题是解题的关键.
18.　编号为 的小球随机放入编号为 的盒子中，记 表示 个盒子中空盒子的个数.
（1）当 时，求编号为1的盒子中有球的概率；
（2）求 并证明 关于 单调递增；
（3）求证：.
注：若随机变量 满足 ，则 .
【答案】（1） （2） ，证明见解析 （3） 证明见解析
【解析】解：（1） 设事件 表示编号为1的盒子中有球
则 ………………………………………… 3 分
（2） 设
……………………………… 5 分
∴ …………………………………… 6 分
∴
∴ …………… 8 分
∴ ，
即证：，即证： ……… 10 分
考虑函数 ，
先证：，∴
∴ 在 上单调递减 …………………………………………………… 11 分
∴ ，即 关于 单调递增 ………………………… 12 分
（3） 考虑函数
在 恒成立，∴ 在 上单调递增 …… 14 分
∴ ，即 ………………………… 15 分
取 得 ，即 …………………… 16 分
∴ ，∴
∴ …………………… 17 分
【点拨】本题考查离散型随机变量的期望及利用导数证明不等式，引入指示变量求期望并构造函数证明不等式是解题的关键.
19.　已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 ，求实数 的取值范围；
（3）若函数 有且仅有两个零点 ，且 ，证明：.
【答案】（1） 见解析 （2） （3） 证明见解析
【解析】解：（1） 由 ……………………………………………………… 1 分
①当 时，有 ，函数 单调递增 ……………………………… 2 分
②当 时，令 ，有 ，
可得函数 的减区间为 ，增区间为 ……………… 4 分
（2） ①当 时，由 ，符合题意 …………………………………… 5 分
②当 时，由 ，不合题意 ………… 6 分
③当 ，若 ，有 ，可得 ……… 8 分
由上知，若 ，则实数 的取值范围为 …………………………… 9 分
（3） 由（1）知，当 时，函数 单调递增，最多只有一个零点，可得 ，
又由 ，，有 …………………………………… 10 分
要证：，只需要证 ，
只需要证： ……………………………………………… 11 分
只需要证：，即 ，
令 ，上述不等式可化为 ………………………… 13 分
只需证： …………………………………………………… 14 分
令 ，有 ………… 15 分
令 ，有 ………………… 16 分
可得函数 单调递增，有 ，
可得函数 单调递增，有 （当且仅当 时取等号），
可得不等式 成立，由上知 ………………… 17 分
【点拨】本题考查利用导数研究函数的单调性及极值点偏移问题，通过比值代换构造单变量函数是解决极值点偏移问题的通法.
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数　学
（考试时间：120分钟　试卷满分：150分）
注意事项
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分 选择题（共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.　已知集合 ，，则 （ 　　）
A. B. C. D.
2.　复数 对应的点位于（ 　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.　已知 ，若 的展开式中，常数项等于240，则 （ 　　）
A. 3 B. 2 C. 6 D. 4
4.　已知一道解答题共有两小问，某班50个人中有30个人能够解答出第一问．在第一问解答不出的情况下，解答出第二问的概率为0.1，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为0.7，则解答出第二问的概率为（ 　　）
A. 0.46 B. 0.22 C. 0.18 D. 0.04
5.　已知点 在曲线 上，点 在直线 上，则 两点距离最小值为（ 　　）
A. B. C. D.
6.　在一个具有五个行政区域的地图上，用6种颜色着色，若相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（ 　　）
A. 1450种 B. 1480种 C. 1520种 D. 1560种
7.　等差数列 的前 项和为 ，且 ，则 为（ 　　）
A. 45 B. 81 C. 90 D. 162
8.　已知 ，则 的大小关系为（ 　　）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错得0分.
9.　李明上学有时坐公交车，有时骑自行车.假设其坐公交车用时 和骑自行车用时 均服从正态分布，密度曲线如下图所示，则（ 　　）
A.
B.
C. 如果某天有34min可用，为了降低迟到的可能性，李明应选择坐公交车
D. 如果某天有38min可用，为了降低迟到的可能性，李明应选择骑自行车
10.　已知函数 ，则下列结论正确的是（ 　　）
A. 函数 存在三个不同零点
B. 函数 既存在极大值又存在极小值
C. 若 时，，则 的最大值为2
D. 当 时，方程 有且只有两个实根
11.　甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，并且每次传球时传球者都等可能传给另外三人中的任何一人，则（ 　　）
A. 第一次球传出后恰好传给丙的概率为
B. 第二次球传出后恰好传给丙的概率为
C. 第二次球传出后恰好传给丙，且此球是由乙传出的概率为
D. 球第 次传出后恰好传给丙的概率为
第二部分 非选择题（共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.　曲线 在点 处的切线方程为＿＿＿＿＿＿.
13.　若把满足 的正整数组 称为“勾股数组”，则在不大于14的正整数中，随机选取3个不同的数，能组成“勾股数组”的概率为＿＿＿＿＿＿.
14.　已知定义域为 的偶函数 满足 ，且当 时，，若将方程 实数解的个数记为 ，则 ＿＿＿＿＿＿.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.　某种传染性疾病的检测通过采集血样利用相关检测试剂盒进行检测，若呈阳性，则诊断为患病，若呈阴性，则诊断为不患病.某企业开发了一种新型检测试剂盒，现采用卡方检验的方法检验该试剂盒的检测效果，为此随机抽取了100份患病的血样和100份不患病的血样进行检验，试验结果显示，100份患病的血样中，检测出阳性血样90份，阴性血样10份；100份不患病的血样中，检测出5份阳性血样，95份阴性血样.
（1）填写下面列联表，记检测结果为阳性者患该疾病的概率为 ，求 的估计值；
检测结果 患病 不患病 合计
阳性
阴性
合计
（2）根据小概率值 的独立性检验，判断某人血样经该检测试剂盒检测的诊断结果与其患病是否有关.
附：，其中 .
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
16.　已知数列 中，，且数列 为等差数列．
（1）求 的通项公式；
（2）记 为数列 的前 项和，证明：．
17.　已知椭圆 的离心率为 ， 分别为椭圆的左，右顶点， 为椭圆的上顶点，且 .
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点 作斜率不为0的直线交椭圆于 两点，直线 与 相交于点 .
（i）证明：点 在定直线上；
（ii）求 的最大值.
18.　编号为 的小球随机放入编号为 的盒子中，记 表示 个盒子中空盒子的个数.
（1）当 时，求编号为1的盒子中有球的概率；
（2）求 并证明 关于 单调递增；
（3）求证：.
注：若随机变量 满足 ，则 .
19.　已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 ，求实数 的取值范围；
（3）若函数 有且仅有两个零点 ，且 ，证明：.
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试卷说明
一、命题特色
（一）结构与教学范围契合度
本试卷严格遵循新高考“8单选+3多选+3填空+5解答”的19题制结构，总分150分.在知识模块的选取上，高度聚焦人教A版高二下学期的核心教学内容——选择性必修第二册（导数、数列）与选择性必修第三册（计数原理、随机变量及其分布列、成对数据的统计分析），同时辅以解析几何、集合、复数等必修与选修一册的基础内容.不仅可以精准诊断本学期的学习效果，也能为即将到来的高三一轮复习做铺垫.
（二）难度曲线设计
试卷整体难度呈现出平滑过渡与波浪式递进相结合的特点.在选择题和填空题的开篇阶段（如第1、2、3、12题），设置了难度系数在0.80以上的基础送分题，帮助学生快速进入考试状态并建立自信.随着题号的推进，难度逐渐攀升，在单选第8题、多选第11题、填空第14题形成了三个小题压轴的难度波峰.解答题部分则采用了“分层设问、步步深入”的策略，如第19题导数综合题，第（1）问考查基础的单调区间求法，第（2）问和第（3）问则深入考查极值点偏移和不等式证明，以区分不同思维层次的学生，保证了试卷的整体区分度.
（三）素养导向与思维考查
试卷注重对数学核心素养的全面考查，特别是逻辑推理、数学建模和直观想象能力.例如，第8题通过构造函数比较对数式的大小，不仅要求学生具备扎实的代数运算功底，更需要敏锐的转化与化归意识；第14题将函数的奇偶性、周期性与对数函数图象相结合，考查了学生数形结合解决方程根个数问题的能力；第17题解析几何解答题，通过引入斜率关系和三角函数，将复杂的代数计算转化为几何特征的分析，以考查学生直观想象和逻辑推理素养.
二、双向细目表
题号 题型 分值 知识模块 具体考点要求 目标难度系数 备注
1 单选 5 集合 集合的交并补运算与解不等式 0.85 基础送分
2 单选 5 复数 复数的四则运算与虚部概念 0.85 基础送分
3 单选 5 计数原理 二项式定理求展开式中的常数项 0.80 基础送分
4 单选 5 概率统计 条件概率的计算 0.65 常规考点
5 单选 5 解析几何 双曲线的渐近线与距离计算 0.60 常规考点
6 单选 5 计数原理 限制条件的排列组合（涂色问题） 0.60 情境建模
7 单选 5 数列 等差数列的性质与前n项和 0.55 常规考点
8 单选 5 导数 构造函数比较大小 0.30 小题压轴
9 多选 6 概率统计 正态分布的性质与概率比较 0.80 情境建模
10 多选 6 导数 导数与函数单调性、极值的关系 0.50 常规考点
11 多选 6 概率统计 概率递推模型/马尔可夫链 0.30 探究压轴
12 填空 5 导数 曲线的切线方程求解 0.85 基础送分
13 填空 5 计数原理 组合数计算与古典概型 0.60 常规考点
14 填空 5 函数与方程 函数方程实数解个数问题 0.35 小题压轴
15 解答 13 概率统计 （1）列联表与独立性检验(A)；（2）小概率事件推断(B) 0.65 情境建模
16 解答 15 数列 （1）等差数列通项公式(A)；（2）裂项相消法求和与不等式(B) 0.60 常规考点
17 解答 15 解析几何 （1）椭圆标准方程(A)；（2）直线与椭圆交点及面积最值(B) 0.50 常规考点
18 解答 17 概率统计 （1）古典概型(A)；（2）分布列与期望(B)；（3）概率递推证明(C) 0.35 探究压轴
19 解答 17 导数 （1）单调区间求法(B)；（2）极值点偏移或不等式证明(C) 0.20 探究压轴
第 2 页，共 17 页

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