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2026年上海市长宁区高考数学二模试卷
一、填空题（共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）.
1．已知集合，2，，，则　　 ．
2．已知正实数、满足，则的最小值等于 　　．
3．已知向量，，若，则实数　　 ．
4．的展开式中的系数为 　　（用数字作答）．
5．函数，的值域为　　 ．
6．已知随机变量的分布为，则的期望为　　 ．
7．设等比数列的前项和为．若，，则　 　．
8．在△中，是的中点，，，则　　 ．
9．将4个不同的小球依次随机投入3个篮子中，每个篮子不空的概率为　　 （用分数表示）．
10．已知复数满足：，且，则的最小值为　　 ．
11．如图，某画框内摆放着三个矩形工艺品，它们的长均为，宽均为．点、、、在同一条直线上，点在边上，点在边上，测得、两点间距离为．为了使，则、两点间距离为　　．（精确到
12．等腰△的三个顶点均在椭圆上，且、、中有且仅有两个点是椭圆的顶点，则满足条件的△共有　　 个．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。
13．下列函数中既是奇函数又是增函数的是（　　）
A． B． C． D．
14．对于随机事件、，“（A）”是“、互相独立”的条件．
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要
15．将下列平面图形沿等边三角形的边折起，不能折成右图所示几何体的是（　　）
A．
B．
C．
D．
16．已知．
①存在，使得函数在上严格增；
②对于任意，直线与曲线都相切且有无数个切点，每个切点的横坐标都不是函数的极大值点．
对于以上两个结论，下列判断正确的是（　　）
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①正确，②正确 D．①错误，②错误
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。
17．一次校内常规体检后，数学建模活动小组学生随机抽取了10名学生体重数据（单位：，58，62，74，88，68，54，52，56，86．
（1）求该组数据的极差和第25百分位数；
（2）依据体检数据，求得这10名学生体重（单位：关于身高（单位：的回归方程为，已知这10名学生身高（单位：的平均数为176.3，求的值（精确到
（3）体重与身高平方的比称为体重指标，体重指标不低于28.0称为肥胖，为了解该校学生肥胖是否与性别有关，从已获得数据中随机抽样得到了如下列联表．
男生 女生 总计
观察值 预期值 观察值 预期值
不肥胖 99 168
肥胖
总计 120 200
求表中的值．已知零假设为：肥胖与性别无关．计算男生肥胖人数的预期值（精确到．
18．如图，是圆锥顶点，是底面圆心，点、在底面圆周上，，．
（1）若圆锥的侧面积为，求圆锥的体积；
（2）若直线与平面所成角为，求二面角的平面角的正切值．
19．已知（其中，．
（1）若函数的图像过点，求不等式的解集；
（2）若恰有两个不同的实数，使得，，（4）成等差数列，求实数的取值范围．
20．（18分）双曲线Γ：＝1（b＞0）经过点P（2，1），不垂直x轴的直线与Γ交于不同于P的A、B两点，直线 PA、PB分别与y轴交于点M、N．
（1）求Γ的离心率；
（2）设直线PA与x轴交于点Q，且，求点A的横坐标；
（3）若M、N关于原点对称，证明：直线AB经过定点．
21．（18分）设函数定义域为，区间，记函数在区间上的最大值为（D），最小值为（D）．
（1）设，，若（D），求实数的值；
（2）设，，，若（D）（D），且，求的值；
（3）已知，（1），且对任意闭区间，，（D）与（D）均存在．求证：“在区间，上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间、，，当，且时，均有．”
参考答案
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。
1．已知集合，2，，，则 ．
解：集合，2，，，
则．
故答案为：．
2．已知正实数、满足，则的最小值等于 　4　．
解：，当，即，时等号成立，
故的最小值为4．
故答案为：4．
3．已知向量，，若，则实数 ．
解：因为向量，，
若，则，即．
故答案为：．
4．的展开式中的系数为 　20　（用数字作答）．
解：根据二项式的展开式：，1，2，3，4，5，，
当时，的系数为．
故答案为：20．
5．函数，的值域为， ．
解：当时，，．
故答案为：，．
6．已知随机变量的分布为，则的期望为　1　 ．
解：根据题意可得．
故答案为：1．
7．设等比数列的前项和为．若，，则　63　．
解：等比数列的前项和为．若，，
所以，，，也是等比数列，，
即，
解得
故答案为：63．
8．在△中，是的中点，，，则　7　 ．
解：作出示意图，如图所示：
则，，
则．
故答案为：7．
9．将4个不同的小球依次随机投入3个篮子中，每个篮子不空的概率为 （用分数表示）．
解：4个不同的小球依次随机投入3个篮子中，每个小球都有3种放法，
所以共有种放法，
其中每个篮子不空的放法有种放法，
所以所求概率为．
故答案为：．
10．已知复数满足：，且，则的最小值为 ．
解：根据，设，
则，即，可得，
即，化简得，解得，
，
因为，，
所以，，可得时，即时，取得最小值3，
相应地，取得最小值．
故答案为：．
11．如图，某画框内摆放着三个矩形工艺品，它们的长均为，宽均为．点、、、在同一条直线上，点在边上，点在边上，测得、两点间距离为．为了使，则、两点间距离为　20.4　 ．（精确到
解：由题意，在△中，，，所以，
所以，，
延长，交于点，
则△与△相似，所以，
所以，所以，
所以，
在△中，由正弦定理得，
即，
所以，
所以，
即、两点间距离为．
故答案为：20.4．
12．等腰△的三个顶点均在椭圆上，且、、中有且仅有两个点是椭圆的顶点，则满足条件的△共有　12　 个．
解：根据题意，椭圆，是焦点在轴上的椭圆，
设该椭圆长轴的端点为、，的中垂线与椭圆有2个交点，此时组成等腰△有2个，共有8个．
如图短轴的一个端点为顶点的等腰三角形有2个，为顶点的等腰三角形有2个．
满足题意的三角形共有12个．
故答案为：12．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。
13．下列函数中既是奇函数又是增函数的是（　　）
A． B． C． D．
解：．，则是偶函数，不满足条件．
．，则是奇函数，且函数为增函数，满足条件，
．为增函数，为非奇非偶函数，不满足条件．
．函数的定义域为，为非奇非偶函数，不满足条件．
故选：．
14．对于随机事件、，“（A）”是“、互相独立”的条件．
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要
解：因为（A），
所以（A）（B），此时与相互独立，充分性成立；
但与相互独立且（B），此时（A）不成立，必要性不成立．
故选：．
15．将下列平面图形沿等边三角形的边折起，不能折成右图所示几何体的是（　　）
A．
B．
C．
D．
解：将平面图形沿等边三角形的边折起后，形成如图所示的几何体，
其中点的位置不改变，四个选项中的点分别对应，，，，
由图可知，只有选项对应的点不可能满足题意．
故选：．
16．已知．
①存在，使得函数在上严格增；
②对于任意，直线与曲线都相切且有无数个切点，每个切点的横坐标都不是函数的极大值点．
对于以上两个结论，下列判断正确的是（　　）
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①正确，②正确 D．①错误，②错误
解：结论①：对求导，可得，
因为，所以，，则，，
当时，，且可能小于0，
若函数在上严格增，则在上恒成立，
当，即时，的最小值，
不满足在上恒成立；
当，即时，的最小值，
满足在上恒成立，此时函数在上严格增，
所以存在，使得函数在上严格增，故①正确；
结论②：设切点为，，由导数的几何意义可知，
曲线在点，处的切线斜率，
已知直线的斜率为，则，即，
因为，所以，解得，，
当，时，，
当为偶数时，；
当为奇数时，；
而直线在，时，，
所以直线与曲线都相切且有无数个切点，
对求导，可得，
当，时，，
所以每个切点的横坐标都不是函数的极值点，更不是极大值点，故②正确；
综上，①正确，②正确．
故选：．
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。
17．一次校内常规体检后，数学建模活动小组学生随机抽取了10名学生体重数据（单位：，58，62，74，88，68，54，52，56，86．
（1）求该组数据的极差和第25百分位数；
（2）依据体检数据，求得这10名学生体重（单位：关于身高（单位：的回归方程为，已知这10名学生身高（单位：的平均数为176.3，求的值（精确到
（3）体重与身高平方的比称为体重指标，体重指标不低于28.0称为肥胖，为了解该校学生肥胖是否与性别有关，从已获得数据中随机抽样得到了如下列联表．
男生 女生 总计
观察值 预期值 观察值 预期值
不肥胖 99 168
肥胖
总计 120 200
求表中的值．已知零假设为：肥胖与性别无关．计算男生肥胖人数的预期值（精确到．
解：（1）把这组数据从小到大排列为：52，54，55，56，58，62，68，74，86，88；极差为，因为，所以第25百分位数是第3个数，为55；
（2）依据体检数据，计算这10名学生体重平均数为，
由回归方程为过样本中心点，，且，
所以；
（3）由列联表知，肥胖总人数为，其中男生肥胖人数（观测值）为，
因为，所以；
在零假设：肥胖与性别无关的条件下，男生肥胖人数的预期值为：
．
18．如图，是圆锥顶点，是底面圆心，点、在底面圆周上，，．
（1）若圆锥的侧面积为，求圆锥的体积；
（2）若直线与平面所成角为，求二面角的平面角的正切值．
解：（1）因为是圆锥顶点，是底面圆心，
又点、在底面圆周上，，，
若圆锥的侧面积为，则圆锥的母线长为，
所以圆锥的高位，
所以圆锥的体积为；
（2）因为，又，，
所以平面，
所以直线与平面所成角为，又，
所以，
因为平面，过作于点，
则根据三垂线定理可得，
所以即为二面角的平面角，
又，，所以，又，
所以．
19．已知（其中，．
（1）若函数的图像过点，求不等式的解集；
（2）若恰有两个不同的实数，使得，，（4）成等差数列，求实数的取值范围．
解：（1）因为函数的图像过点，
所以，解得，所以，
因为底数，所以函数在定义域上单调递减，
由不等式，得，解得，
所以不等式的解集为；
（2）因为，，（4）成等差数列，
所以（4），即，
所以，整理得，
整理得关于的一元二次方程：．
由题意，方程有两个不相等的实数根，即△，解得，
要使，有意义，则需，
由韦达定理，，，当时，，
若，则，结合和为正，知两根均为正数，
此时若，方程为，根为0，4，舍去，仅一解，不合题意；
若，因为，且，可知一根大于，一根小于，仅一解满足，不合题意；
若，则为负数．此时，，故两根均为正数，
因为，且，所以且恒成立，此时恰有两个不同的实数满足条件．
综上所述，实数的取值范围为．
20．（18分）双曲线Γ：＝1（b＞0）经过点P（2，1），不垂直x轴的直线与Γ交于不同于P的A、B两点，直线 PA、PB分别与y轴交于点M、N．
（1）求Γ的离心率；
（2）设直线PA与x轴交于点Q，且，求点A的横坐标；
（3）若M、N关于原点对称，证明：直线AB经过定点．
解：（1）将P（2，1）代入双曲线方程可得：，
因为双曲线中a2＝3，所以c2＝a2+b2＝6，即离心率：；
（2）设A（x1，y1），直线PA方程为，
令x＝0，得，即可知，
令y＝0，得，即可知，
由，可得，
则由纵坐标对应相等可得，
由（1）知双曲线化简为x2﹣y2＝3，代入得，
解得或x1＝2（因为此时与点P重合故舍去），即；
（3）证明：设M（0，m），由M，N关于原点对称得N（0，﹣m），
计算得直线PA，PB的斜率可得，，
所以有，
设直线AB：y＝kx+s，联立x2﹣y2＝3，可得：x2﹣（kx+s）2＝3 （1﹣k2）x2﹣2ksx﹣s2﹣3＝0，
设A（xA，yA），B（xB，yB），
由韦达定理得，，
由kPA+kPB＝1，可得：，
整理得：（kxA+s﹣1）（xB﹣2）+（kxB+s﹣1）（xA﹣2）＝（xA﹣2）（xB﹣2），
所以2kxAxB+（s﹣1﹣2k）（xA+xB）﹣4（s﹣1）＝xAxB﹣2（xA+xB）+4，
所以（2k﹣1）xAxB+（s+1﹣2k）（xA+xB）﹣4s＝0，
代入韦达定理可得：，
所以﹣（2k﹣1）（s2+3）+（s+1﹣2k）2ks﹣4s（1﹣k2）＝0，
所以﹣2ks2﹣6k+s2+3+2ks2+2ks﹣4k2s﹣4s+4k2s＝0，
所以﹣6k+s2+3+2ks﹣4s＝0，
所以2k（s﹣3）+（s﹣3）（s﹣1）＝0 （s﹣3）（2k+s﹣1）＝0，则s＝3或s＝1﹣2k，
当s＝1﹣2k时，直线AB：y＝kx+1﹣2k＝k（x﹣2）+l恒过点P（2，1），不符合题意，
故s＝3，此时直线AB：y＝kx+3恒过点（0，3）．
21．（18分）设函数定义域为，区间，记函数在区间上的最大值为（D），最小值为（D）．
（1）设，，若（D），求实数的值；
（2）设，，，若（D）（D），且，求的值；
（3）已知，（1），且对任意闭区间，，（D）与（D）均存在．求证：“在区间，上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间、，，当，且时，均有．”
【解答】（1）解：对求导，可得．
因为（D），所以是函数在区间上的最小值，
所以在处取得极小值，所以，
所以，解得．
当时，．
令，即，解得．
当时，，则，单调递减；
当时，，则，单调递增，
所以在处取得最小值，满足（D）．
因此，实数的值为1；
（2）解：，
情况，时，函数在，递增，，递减，
所以最大值；最小值，．
由得，
解方程：，所以，所以（符合）；
，所以，所以（符合）．
情况，时，函数在，递减，，递增，
所以最小值（2）；最大值，．
由得，
解方程：（符合）；
，所以，所以（符合）．
综上所述，，0，1；
（3）证明：充分性：假设在区间，上不是严格增函数，
那么存在，，，且，使得．
取，，，，则．
因为，（1），所以，．
又因为，所以，，
但，这与已知条件矛盾，
所以假设不成立，
即在区间，上严格增．
必要性：
设，，，，其中，．
因为在区间，上严格增，
所以，，，．
由，且可得，．
又因为在区间，上严格增，所以，，即．
综上，“在区间，上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间、，，，且时，均有”．

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