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2026年上海市黄浦区高考数学二模试卷
一、填空题（共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）.
1．若，，，则　　 ．
2．若直线与垂直，则的值为　　 ．
3．底面半径为1、母线长为3的圆锥的侧面展开图中扇形的中心角为　　 ．
4．在公比为正数的等比数列中，，，则的值为　　 ．
5．在的展开式中，含项的系数为　　．
6．如图是某班级30名学生某次数学测验的得分茎叶图（茎为十位，叶为个位），则这些测验分数的第80百分位数是　　 ．
7．已知，且，则的值为　　 ．
8．在复平面内，点，，分别表示复数，，0，已知，，，且，则向量与的夹角为　　 ．
9．某体育社团共有10名成员，其中社长与副社长各一人，现随机抽取4人组成代表队参加校际联谊活动，则社长与副社长两人至少有一人参加联谊活动的概率为　　 ．
10．已知曲线与曲线交于两点，，点是的焦点，点是坐标原点．若，则的离心率为　　 ．
11．在空间直角坐标系中，将点集，，，，所表示的立方体的表面满足的部分记为，同时满足“”与“，，或”的点的集合所表示几何体的体积为　　 ．
12．如图所示，某圆形游乐园的半径为140米，其圆心在点处，游乐园内有一圆形广场，其半径为20米，圆心在与点相距60米的点处，游客中心位于圆形广场的边界线与，连线的交点处．现打算在游乐园的边界线与圆形广场的边界线上各选一点，，在这两处各建一座游乐设施（其占地大小忽略不计），将△的内部区域作为游客的休闲区并使其面积最大，则此最大面积为　　 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分.其中第13、14题每题满分18分，第15、16题每题满分18分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分。
13．若，是空间中的两条直线，则“”是“存在平面，使，”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
14．变量，之间的一组相关数据如右表所示：若，之间的线性回归方程为，则的值为
4 5 6 7 8
8.2 7.8 6.6 5.4 4.5
A． B． C． D．
15．设函数的定义域为，则下列结论：
①若是奇函数或偶函数，且在区间，上严格增，则对任意的，，或；
②若对任意的，，，则是奇函数或偶函数．
其中正确的说法是（　　）
A．①和②均正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①和②均错误
16．若无穷数列的首项为1，且对任意的，的前项和都可以表示成的两项之差，则称为数列，所有数列组成的集合为集．下列结论正确的是（　　）
A．任意一个数列均不是等差数列
B．任意一个数列均不是等比数列
C．集中含有且仅含有有限个等差数列
D．集中含有无穷多个等比数列
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。
17．小明每天上学出发时会选择是否骑共享单车．根据平台统计和他的使用习惯：若出发时不下雨，他选择骑共享单车的概率为0.8；若出发时下雨，他选择骑共享单车的概率为0.4．假设本周小明每天上学出发时下雨的概率均为0.25，且出发地共享单车供应充足．
（1）求本周某天小明上学出发时选择骑共享单车去学校的概率；
（2）已知本周某天小明选择了骑共享单车去学校，求该天小明出发时不下雨的概率；
（3）设小明在本周的前三天中选择骑共享单车去学校的天数为，且这三天中每天的骑行选择相互独立，求随机变量的分布，并计算其数学期望和方差．
18．如图，在直三棱柱中，点，分别是棱，上的点（点异于点，且．
（1）求证：平面平面；
（2）若△是正三角形，，且三棱柱的体积是三棱锥的体积的12倍，求与平面所成的角的大小．
19．已知．
（1）求函数的最小正周期与单调增区间；
（2）将函数的图像上的所有点沿向量平移，得到的图像．若同时满足：①图像关于点对称；②有且仅有2个极大值点在区间，上．求的取值范围．
20．（18分）已知点，分别是曲线的左、右焦点，动直线过点且不过点，它与交于点，．
（1）求点，的坐标；
（2）若，求直线的方程；
（3）设直线过点且与垂直，直线与的交点为，求证：存在唯一的常数，使得点与的中心的连线平分线段，并求此时的最大值．
21．（18分）对于公共定义域为的函数与，定义集合，．
（1）若，，求；
（2）若，，，且，，求的最小值；
（3）已知是定义在上的增函数，其图像是连续曲线，且存在正数，使得．若，，且，求证：．
参考答案
一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1～6题每题满分54分，第7～12题每题满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果。
1．若，，，则， ．
解：，，，
则，．
故答案为：，．
2．若直线与垂直，则的值为　3　 ．
解：因为直线与垂直，
所以，所以．
故答案为：3．
3．底面半径为1、母线长为3的圆锥的侧面展开图中扇形的中心角为 ．
解：由题意知扇形的弧长为圆锥底面周长，半径为圆锥的母线长为3，
由弧长公式有圆心角，
故所求扇形的圆心角为．
故答案为：．
4．在公比为正数的等比数列中，，，则的值为 ．
解：因为，，
所以，
即，
因为，
所以．
故答案为：．
5．在的展开式中，含项的系数为　60　．
解：展开式的通项为，
令，可得，
含的项的系数是．
故答案为：60．
6．如图是某班级30名学生某次数学测验的得分茎叶图（茎为十位，叶为个位），则这些测验分数的第80百分位数是　76　 ．
解：因为，
故这些测验分数的第80百分位数是第24与25个数据的平均数，
即．
故答案为：76．
7．已知，且，则的值为 ．
解：因为，
所以，
又，可得，
所以．
故答案为：．
8．在复平面内，点，，分别表示复数，，0，已知，，，且，则向量与的夹角为 ．
解：已知，，，
可得（其中为向量与的夹角），
代入公式得：，
即，
化简得，
解得，
在范围内，时，．
故答案为：．
9．某体育社团共有10名成员，其中社长与副社长各一人，现随机抽取4人组成代表队参加校际联谊活动，则社长与副社长两人至少有一人参加联谊活动的概率为 ．
解：从10名成员中随机抽取4人，共有，
社长与副社长两人至少有一人参加共有，
所以所求的概率为．
故答案为：．
10．已知曲线与曲线交于两点，，点是的焦点，点是坐标原点．若，则的离心率为 ．
解：曲线与曲线交于两点，，，，点是的焦点，，点是坐标原点．
，可得，即，
抛物线方程代入双曲线方程，可得，
可得，即，
可得．
故答案为：．
11．在空间直角坐标系中，将点集，，，，所表示的立方体的表面满足的部分记为，同时满足“”与“，，或”的点的集合所表示几何体的体积为 ．
解：点集，，，，表示的是以原点为中心的棱长为2的正方体，
为满足的部分即除去了后剩余的部分，也就是除了上底面以外的五个面，
条件“表示点在以原点为球心的半径为的球体内，因为，
所以这个球刚好也是正方体的外接球，，， 即为线段，
条件“，，或表示线段与要么没有交点，要么交点就是，
考虑从点出发的线段，射向上底面的线可以到达球面，这一部分构成个球体，
射向包含的五个面可以到达正方体的表面，这一部分构成五个四棱锥，每个四棱锥都是正方体的，
所以所求几何体的体积为．
故答案为：．
12．如图所示，某圆形游乐园的半径为140米，其圆心在点处，游乐园内有一圆形广场，其半径为20米，圆心在与点相距60米的点处，游客中心位于圆形广场的边界线与，连线的交点处．现打算在游乐园的边界线与圆形广场的边界线上各选一点，，在这两处各建一座游乐设施（其占地大小忽略不计），将△的内部区域作为游客的休闲区并使其面积最大，则此最大面积为平方米　 ．
解：由题意知，，，，，所以，
过点作，垂足为，
则，
记点到直线的距离为，则点到直线的距离的最大值为，
如图所示，以为坐标原点，直线为轴，过垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，
则，，，
易知，直线的斜率存在，设直线的方程为，即，
则，，所以，
△的最大面积为，
由圆的对称性，不妨令，设，，
则，
令，
则恒成立，所以在，上单调递减，
令，得，即，
化简得，
因为，所以，所以，
所以当时，，；当时，，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，即最大值，最大值为，
所以△的最大面积为平方米．
故答案为：平方米．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分.其中第13、14题每题满分18分，第15、16题每题满分18分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分。
13．若，是空间中的两条直线，则“”是“存在平面，使，”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
解：由，可得和共面，故存在平面，使，；
但存在平面，使，，和可以平行，也可以相交．
故“”是“存在平面，使，”的充分不必要条件．
故选：．
14．变量，之间的一组相关数据如右表所示：若，之间的线性回归方程为，则的值为
4 5 6 7 8
8.2 7.8 6.6 5.4 4.5
A． B． C． D．
解：由题意，，，
因为线性回归方程恒过样本中心点，，
所以，
所以．
故选：．
15．设函数的定义域为，则下列结论：
①若是奇函数或偶函数，且在区间，上严格增，则对任意的，，或；
②若对任意的，，，则是奇函数或偶函数．
其中正确的说法是（　　）
A．①和②均正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①和②均错误
解：若 是奇函数，根据奇函数的性质，且在，上严格增，
那么在，上也严格增，所以在上严格增．
若是偶函数，根据偶函数的性质，且在，上严格增，
那么在，上严格减．
当时，若是奇函数，因为在上严格增，所以，则．
若是偶函数，因为在，上严格增，在，上严格减，且，所以，即，
所以对任意的，，或，故①正确；
令，对于任意的，，若，则．
当，时，，；
当，时，，；
当，时，，，；
当，时，，，．
满足，但既不是奇函数也不是偶函数，故②错误．
故选：．
16．若无穷数列的首项为1，且对任意的，的前项和都可以表示成的两项之差，则称为数列，所有数列组成的集合为集．下列结论正确的是（　　）
A．任意一个数列均不是等差数列
B．任意一个数列均不是等比数列
C．集中含有且仅含有有限个等差数列
D．集中含有无穷多个等比数列
解：对于选项：例如等差数列的公差为，，
则，，
注意到能表示大于的所有正整数，
且为整数，必能用两个大于的整数之差表示，
所以等差数列为数列，且有无数个，故错误；
对于选项：设等比数列的公比为，则，
对于确定的，令，，
令，
因为，则，可知函数在内单调递增，
且（1），（2），可知函数在内有且仅有一个零点，
即存在使得，即，
此时，
对于不同的，的零点可以看出方程的解，
即与在交点的横坐标，
当变化时，由幂函数的图像可得交点的横坐标相异，故等比数列有无数个，
所以集中含有无穷多个等比数列，故错误，正确．
故选：．
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。
17．小明每天上学出发时会选择是否骑共享单车．根据平台统计和他的使用习惯：若出发时不下雨，他选择骑共享单车的概率为0.8；若出发时下雨，他选择骑共享单车的概率为0.4．假设本周小明每天上学出发时下雨的概率均为0.25，且出发地共享单车供应充足．
（1）求本周某天小明上学出发时选择骑共享单车去学校的概率；
（2）已知本周某天小明选择了骑共享单车去学校，求该天小明出发时不下雨的概率；
（3）设小明在本周的前三天中选择骑共享单车去学校的天数为，且这三天中每天的骑行选择相互独立，求随机变量的分布，并计算其数学期望和方差．
解：（1）设“小明上学出发时下雨”为事件，“小明选择骑共享单车去学校”为事件，
由题意可知：，，（A），，
由全概率公式可得（B）（A），
所以小明在本周某天选择骑共享单车去学校的概率为0.7；
（2）由题意可知：，
所以小明出发时不下雨的概率为；
（3）由题意可知：，
，
，
，
，
的分布列为：
0 1 2 3
0.027 0.189 0.441 0.343
所以的数学期望，方差．
18．如图，在直三棱柱中，点，分别是棱，上的点（点异于点，且．
（1）求证：平面平面；
（2）若△是正三角形，，且三棱柱的体积是三棱锥的体积的12倍，求与平面所成的角的大小．
【解答】（1）证明：三棱柱是直三棱柱，平面，
平面，，
点，分别是棱，上的点（点异于点，且，
又，，平面，
可得平面，
而平面，
平面平面；
（2）解：取的中点，连接，由（1）及题意以为坐标原点，
以，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图，
△是正三角形，，三棱柱的体积是三棱锥的体积的12倍，
设三棱柱的体积为，三棱锥的体积为，
设，则，，
可得，令，则，0，，，，，，0，，，，，
设平面的法向量为，可得，，，，0，，
，不妨，0，，，，，
与平面所成的角为，．
．
19．已知．
（1）求函数的最小正周期与单调增区间；
（2）将函数的图像上的所有点沿向量平移，得到的图像．若同时满足：①图像关于点对称；②有且仅有2个极大值点在区间，上．求的取值范围．
解：（1）由题意得：，
所以函数的最小正周期，
由，解得，
所以函数的单调增区间为．
（2）将函数的图像上的所有点沿向量平移，
得到：，
因为的图像关于点对称，所以，
即，
所以，解得，
又因为，所以取，得，此时，
令，解得，
所以的极大值点为，
在区间，上，极大值点依次为：，，，
要使区间，上恰好有2个极大值点，
则需满足：，
所以的取值范围是．
20．（18分）已知点，分别是曲线的左、右焦点，动直线过点且不过点，它与交于点，．
（1）求点，的坐标；
（2）若，求直线的方程；
（3）设直线过点且与垂直，直线与的交点为，求证：存在唯一的常数，使得点与的中心的连线平分线段，并求此时的最大值．
解：（1）的半焦距，
故点，的坐标分别为，，
（2）设直线的方程为，它与的交点为，，，，
将，代入，
得，
故，，
又，，
所以，
，
解得，
所以直线的方程为或；
（3）设直线的方程为，它与的交点为，，，，
中点为，，
由（2）知，，
的斜率，
将代入的方程，
可得，，的斜率，
故平分线段对任意的实数恒成立，
故存在唯一的常数，使得平分线段，
此时，，
所以，
令，则，，
故（当且仅当时，，
所以的最大值为．
21．（18分）对于公共定义域为的函数与，定义集合，．
（1）若，，求；
（2）若，，，且，，求的最小值；
（3）已知是定义在上的增函数，其图像是连续曲线，且存在正数，使得．若，，且，求证：．
【解答】（1）解：；
（2）解：由，，可知 的值域为，，
故存在，使得即
可得
由，可得，故．
又（当且仅当，即 时取等号），
若，则，，
当时，，它的最小值为0，且该函数图像是连续曲线，可得，，
所以 的最小值为2；
（3）证明：由，可知对一切 都成立，
故对任意的都成立，
令，则是常量函数，
故，即．
对任意的，必存在，使，
故，从而；
对任意的，由可知必存在，且，使得，
令，由在区间上的图像是连续曲线，
且，
故在区间内至少存在一个，使得，即．
综上可知的值域为，故，．

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