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2026年上海市杨浦区高考数学二模试卷
一.填空题（共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）.
1．设全集，，，，用列举法表示　　 ．
2．计算　　 ．
3．若幂函数的图像经过点，则实数　　 ．
4．在的二项展开式中，常数项是 　　 （用数字作答）．
5．设正实数，满足，则的最小值为　　 ．
6．不等式的解集为　　 ．
7．已知圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥的侧面积为　　 ．
8．直线的一个法向量是，则实数　　 ．
9．已知随机变量服从二项分布，若，则　　 ．
10．设集合，，，，若，则实数的取值范围是　　 ．
11．掷实心球时，将轨迹视为抛物线的一部分，设实心球离手位置在起掷点正上方2米，出手角度即抛物线在该处切线与水平地面所成角，如图所示．已知实心球轨迹最高点距离地面3米，若要成绩不小于10米（实心球落地点到起掷点的距离），则出手角度的最大值为　　 （精确到．
12．记是空间中的个不同的非零向量，满足：①其中任意向量在其它向量方向上的投影均为其本身或零向量；②其中任意三个向量均不能使成立，则的最大值为　　 ．
二、选择题（本题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。
13．若，则下列不等式成立的是（　　）
A． B． C． D．
14．事件、相互独立，若，，则与同时发生的概率为（　　）
A．0 B． C． D．
15．已知函数和的定义域都为且都存在导函数．若和的零点均有且仅有，且当时恒有，则下列情形中不可能的是（　　）
A．0是的极大值点，也是的极大值点
B．0是的极小值点，也是的极小值点
C．0是的极大值点，也是的极小值点
D．0是的极小值点，也是的极大值点
16．已知数列，给出以下定义：若存在常数，对于任意的，都有，则称数列为“加速数列”，现给出下列命题：
①若，则对任意，数列都不是“加速数列”；
②若数列是“加速数列”，且，，则数列存在最小项；
③若数列是“加速数列”，且，，则存在，使得；
④正数列是等比数列且公比，则是“加速数列”的充要条件是．
其中正确的命题是（　　）
A．①②③ B．② C．②④ D．③④
三、解答题（本大题满分78分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。
17．一次考试后，数学兴趣小组分析某班级考试成绩．该班级共40人，将得分由高到低平均分为四组，第一组（均分最高的一组）的数据为141、140、138、134、133、133、133、132、132、132．
（1）求第一组的得分的均值与中位数；
（2）若从第一组中等可能的选取2名学生，求2人得分都在135分以上的概率；
（3）兴趣小组考察某客观题的得分情况．将前15名学生作为高分组，后25名学生作为非高分组；前15名学生中13人答对该题，后25名学生中16人答对该题．据此，填写表格，并判断是否有的把握认为答对该题与进入高分组有关？
附：，，，，．
高分组 非高分组 总计
某客观题答对
某客观题答错
总计
18．如图，在直四棱柱中，，，，，．
（1）设是的中点，求证：平面；
（2）若直四棱柱的体积为36，求平面与平面所成的锐二面角的大小．
19．已知函数（常数．
（1）若，在△中，角、、的对边分别为、、．若，，求角的大小；
（2）若的最小正周期为，将其图像向左平移个单位，再向上平移个单位得到函数的图像．当时恒有，求的取值范围．
20．（18分）已知、分别是双曲线（常数的右顶点和右焦点，记过一、三象限的渐近线为．
（1）求双曲线的离心率和渐近线的方程；
（2）设，是上一点，若线段的中点在双曲线上，求点的坐标；
（3）设，过作两条相互垂直的直线与双曲线交于、两点在第一象限），若直线、分别与交于、两点，且△与△的面积之比为2，求直线的方程．
21．（18分）设函数的定义域为，值域，．若，且满足，则称与构成“函数的线性对”．
（1）若，判断与是否构成函数的线性对，并说明理由；
（2）若，．若对于任意（常数，都存在，使得与构成函数的线性对，求的取值范围；
（3）函数是定义在上的奇函数，且满足：若与构成函数的线性对，则与也构成函数的线性对．求证：对任意，．
参考答案
一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果
1．设全集，，，，用列举法表示，4，5， ．
解：全集，，2，3，4，5，，
，，则，4，5，．
故答案为：，4，5，．
2．计算 ．
解：根据题意，．
故答案为：．
3．若幂函数的图像经过点，则实数　3　 ．
解：因为点在幂函数的图象上，即，解得．
故答案为：3．
4．在的二项展开式中，常数项是 　160　 （用数字作答）．
解：二项式展开式的通项为且，
令，解得，所以．
即展开式的常数项为160．
故答案为：160．
5．设正实数，满足，则的最小值为 ．
解：因为正实数，满足，
所以，
当且仅当，
因为，所以时，等号成立，所以的最小值为．
故答案为：．
6．不等式的解集为 ．
解：令，定义域为，
因为函数和在上均为增函数，
所以函数在上为增函数，
又因为（1），
所以不等式可化为：（1），
解得，
即不等式的解集为．
故答案为：．
7．已知圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥的侧面积为 ．
解：设圆锥的高为，
因为圆锥的底面半径，体积．
所以，解得，
所以母线长，
故圆锥侧面积为．
故答案为：．
8．直线的一个法向量是，则实数 ．
解：由题意直线的一个法向量是，
又直线的一个法向量可以表示为，
所以两向量共线，
根据向量共线的坐标表示得，解得．
故答案为：．
9．已知随机变量服从二项分布，若，则　20　 ．
解：因为，
所以，
所以．
故答案为：20．
10．设集合，，，，若，则实数的取值范围是， ．
解：集合，，由，即到与距离相等，
即的轨迹为与两点连线的垂直平分线，
设，所以，所以，化简得，
若，则，即的轨迹为直线，，表示的为圆：，
即直线与圆有交点，所以，解得，故；
若，等式化为，任何都满足，此时为整个复平面，满足；
所以实数的取值范围是，．
故答案为：，．
11．掷实心球时，将轨迹视为抛物线的一部分，设实心球离手位置在起掷点正上方2米，出手角度即抛物线在该处切线与水平地面所成角，如图所示．已知实心球轨迹最高点距离地面3米，若要成绩不小于10米（实心球落地点到起掷点的距离），则出手角度的最大值为 （精确到．
解：不妨以最高点为坐标原点，以水平向右为轴正方向，以竖直向下为轴正方向，建立平面直角坐标系，
设抛物线方程为．
此时，．
若要成绩不小于10米，
此时，
即，
所以，
取，
易知，
所以，
易知为锐角，
所以，
所以，
则出手角度的最大值为．
故答案为：．
12．记是空间中的个不同的非零向量，满足：①其中任意向量在其它向量方向上的投影均为其本身或零向量；②其中任意三个向量均不能使成立，则的最大值为　12　 ．
解：分析条件①：设个向量中的任意两个向量为、，
所以向量在向量方向上的投影为，
由条件①可知，或，
若，则与共线；
若，则，即与垂直．
分析条件②：设表示三个单位向量，
当、不同向时，，
则，
则，
又因为，故不符合，则、同向，
则由，可得，同向，
由其中任意三个向量均不能使成立，
则其中任意三个向量不同向，即同一方向最多两个不等向量；
故结合①②可得：这些向量中任意两个向量要么共线，要么垂直，且同一方向最多两个不等向量，
例如可取空间中三个两两互相垂直的单位向量及其相反向量，
再取，这12个不同向量满足条件①②；
若存在第13个向量，则必须与另外12个向量中的任一共线或垂直，
由于已有的向量中包含三个互相垂直的方向，则必须与其中一个向量共线才能符合要求，
但此时任一方向都有两不同向量，故不存在符合题意，所以满足条件的的最大值为12．
故答案为：12．
二、选择题（本题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。
13．若，则下列不等式成立的是（　　）
A． B． C． D．
解：由，取，，则可排除．
故选：．
14．事件、相互独立，若，，则与同时发生的概率为（　　）
A．0 B． C． D．
解：因为事件与事件相互独立，所以事件与事件也相互独立，
所以事件发生的概率为（B）．
所以与同时发生的概率为（A）．
故选：．
15．已知函数和的定义域都为且都存在导函数．若和的零点均有且仅有，且当时恒有，则下列情形中不可能的是（　　）
A．0是的极大值点，也是的极大值点
B．0是的极小值点，也是的极小值点
C．0是的极大值点，也是的极小值点
D．0是的极小值点，也是的极大值点
解：对，取，，两个函数的零点只有，
当时，恒有，且根据函数图象，
可知是两个函数的极大值点，故可能；
对，若取，，两个函数的零点只有，
当时，，且根据函数图象，
可知是两个函数的极小值点，故可能；
对，取，，两个函数的零点只有，
当时，，且根据含糊图象，
可知是的极大值点，也是的极小值点，故可能；
对，又若是的极大值点，结合且只有是零点，
可知对任意，；
若是的极小值点，结合且只有是零点，
可知对任意，；
此时必有，即，
与题设时不符，故不可能．
故选：．
16．已知数列，给出以下定义：若存在常数，对于任意的，都有，则称数列为“加速数列”，现给出下列命题：
①若，则对任意，数列都不是“加速数列”；
②若数列是“加速数列”，且，，则数列存在最小项；
③若数列是“加速数列”，且，，则存在，使得；
④正数列是等比数列且公比，则是“加速数列”的充要条件是．
其中正确的命题是（　　）
A．①②③ B．② C．②④ D．③④
解：因为若存在常数，对于任意的，都有，则称数列为“加速数列”，
所以设，对于任意的，都有成立，，
对于①，，
，
因为，所以，
所以成立，即，
因为，
所以存在，使得成立，即数列都是“加速数列”，故①错误；
对于②，若数列是“加速数列”，则，
所以数列是常数列或单调递增数列，
因为，
若，满足题意，即数列是常数列，，
若数列单调递增，则必有，，
即数列先单调递减，后单调递增，故数列存在最小项，故②正确；
对于③，若数列是“加速数列”，则，且，
则，
所以，即，
当时，，所以不存在，使得，故③错误；
对于④，若正数列是等比数列，则，
若，则，不等式，等价于，
只要，数列是“加速数列”；
若，则，不等式，等价于，
只要，数列是“加速数列”；
所以是“加速数列”的充要条件不是，故④错误；
综上所述：正确的命题是②．
故选：．
三、解答题（本大题满分78分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。
17．一次考试后，数学兴趣小组分析某班级考试成绩．该班级共40人，将得分由高到低平均分为四组，第一组（均分最高的一组）的数据为141、140、138、134、133、133、133、132、132、132．
（1）求第一组的得分的均值与中位数；
（2）若从第一组中等可能的选取2名学生，求2人得分都在135分以上的概率；
（3）兴趣小组考察某客观题的得分情况．将前15名学生作为高分组，后25名学生作为非高分组；前15名学生中13人答对该题，后25名学生中16人答对该题．据此，填写表格，并判断是否有的把握认为答对该题与进入高分组有关？
附：，，，，．
高分组 非高分组 总计
某客观题答对
某客观题答错
总计
解：（1），
排序：132、132、132、133、133、133、134、138、140、141，
中位数，
则第一组的得分均值为134.8，中位数为133；
（2）总选法数：，
两人都在135分以上的选法数：，
所以2人得分都在135分以上的概率为：；
（3）根据题意填写列联表：
高分组 非高分组 总计
答对 13 16 29
答错 2 9 11
总计 15 25 40
零假设：认为答对该题与进入高分组无关，
，
可知没有的把握认为答对该题与进入高分组有关．
18．如图，在直四棱柱中，，，，，．
（1）设是的中点，求证：平面；
（2）若直四棱柱的体积为36，求平面与平面所成的锐二面角的大小．
解：（1）证明：因为在直四棱柱中，，，，，，
所以连接，则，，
又是的中点，，
所以，所以为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面；
（2）若直四棱柱的体积为36，
则梯形的面积，
所以，所以，
过作，交于，连接，
直四棱柱中，平面，则为在平面内的射影，
由，有，所以即为所求，
△中，，，有，又，则，
，
所以锐角．
19．已知函数（常数．
（1）若，在△中，角、、的对边分别为、、．若，，求角的大小；
（2）若的最小正周期为，将其图像向左平移个单位，再向上平移个单位得到函数的图像．当时恒有，求的取值范围．
解：（1）时，，，
则，，所以，
因为，可得，所以，
由，所以．
（2）函数的最小正周期为，
所以，，
所以，
时，，则有，此时，，
当时恒有，则有，解得，
所以的取值范围为．
20．（18分）已知、分别是双曲线（常数的右顶点和右焦点，记过一、三象限的渐近线为．
（1）求双曲线的离心率和渐近线的方程；
（2）设，是上一点，若线段的中点在双曲线上，求点的坐标；
（3）设，过作两条相互垂直的直线与双曲线交于、两点在第一象限），若直线、分别与交于、两点，且△与△的面积之比为2，求直线的方程．
解：（1）因为双曲线的方程为，
即，
所以，
可得，
所以双曲线的离心率，渐近线的方程为；
（2）若，
此时双曲线方程为，，
设，
所以线段的中点的坐标为，
因为点在双曲线上，
所以，
解得，
则点的坐标为；
（3）若，
所以双曲线方程为，、，
易知直线斜率存在且不为0，
设直线的方程为，
所以直线的方程为，
联立，
解得或，
即，
因为点在第一象限，
所以，
解得，
联立，
解得，
即，
则，
即，
，
即，
所以
，
即，
解得，
因为，
所以，
则直线的方程为．
即．
21．（18分）设函数的定义域为，值域，．若，且满足，则称与构成“函数的线性对”．
（1）若，判断与是否构成函数的线性对，并说明理由；
（2）若，．若对于任意（常数，都存在，使得与构成函数的线性对，求的取值范围；
（3）函数是定义在上的奇函数，且满足：若与构成函数的线性对，则与也构成函数的线性对．求证：对任意，．
解：（1）由于，，
因此，满足值域，且，
即与是构成的线性对；
（2）根据题意，，，需满足，
代入，整理得：，
由于，因此要求，
又因为，因此，根据等式可得：，
对任意都存在满足条件的，故，
因此，；
（3）证明：根据函数是上奇函数，那么可得，；
那么，即，是线性对，
根据，是线性对，那么，也是线性对，那么可得，也是线性对，
因此有，
由于函数定义在上，因此通过迭代可得：，
又根据题设大前提，的值域，，
若值域内存在负数，必存在，使得，
此时，而，，显然，
即值域不存在负数；
若值域内存在正数，必存在，使得，
此时，而，，显然，
即值域内不存在正数，
因此对任意，，问题得证．

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