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2026年上海市青浦区高考数学二模试卷
一.填空题（共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）.
1．已知集合，1，2，，集合，则　　 ．
2．抛物线的准线方程是　　 ．
3．在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合、始边与轴的正半轴重合，其终边经过点，则　　 ．
4．已知复数，则　　 ．
5．已知函数，则曲线在点，处的切线方程为　　 ．
6．某电子元件厂有甲、乙两条互不影响的生产线生产同型号元件，甲生产线的产量占全厂总产量的，其产品次品率为；乙生产线的产量占全厂总产量的，其产品次品率为．若从全厂产品中随机抽取1件，抽到次品的概率为　　 ．
7．已知，若，则　　 ．
8．若函数（常数在区间没有最值，则的取值范围是 　　．
9．已知△为等腰三角形，且，则 　　．
10．已知点是双曲线的左焦点，经过原点的直线与双曲线交于、两点，若且，则双曲线的离心率为　　 ．
11．若数列共10项，其中，，且，，，则这样的不同数列共有　　 个．（用数字作答）
12．已知平面内的三个非零向量、、满足：，，，则当取得最大值时，　　 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14每题4分，第15-16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。
（多选）13．下列说法中有哪些是错误的是　　
A．一组数据中比中位数大的数和比中位数小的数一样多
B．极差、方差、标准差都是描述一组数据的离散程度的统计量
C．平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的统计量
D．总体的数据都分布在样本的极差范围内
14．设是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（　　）
A． B．1 C．2 D．3
15．已知垂直竖在水平地面上相距20米的两根旗杆的高分别为10米和15米，地面上的动点到两旗杆顶点的仰角相等，则点的轨迹是（　　）
A．椭圆 B．圆 C．双曲线 D．抛物线
16．对于数列，若存在，使得对任意，有，则称为“有界变差数列”．有以下两个结论：
①若各项均为正数的等比数列为“有界变差数列”，则其公比的取值范围是；
②若数列、均为“有界变差数列”，且，则数列是“有界变差数列”．
则以下选项正确的是（　　）
A．①是假命题，②是真命题 B．①是假命题，②是假命题
C．①是真命题，②是假命题 D．①是真命题，②是真命题
三.解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤。
17．在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期．一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如表格：
潜伏期（单位：天） ， ， ， ， ， ， ，
人数 50 150 200 300 200 60 40
（1）求这1000名患者的潜伏期的样本平均数值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，结果四舍五入为整数）；
（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过8天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断，是否有的把握认为潜伏期与患者年龄有关？
潜伏期天 潜伏期天 总计
50岁以上（含 100
50岁以下 65
总计 200
附：
，，，．
19．如图，在三棱锥中，是外接圆的直径，是边长为2的等边三角形，，分别是，的中点，，．
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
20．（18分）已知椭圆与椭圆，椭圆的左、右焦点分别为、，点为椭圆上异于其左、右顶点的任一点，直线、均过点．
（1）求△面积的最大值．
（2）若过点且与交于、两点，过点且与交于、两点，当直线，的斜率，满足时，证明：为定值；
（3）是否存在点，满足、均与相切，且？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（18分）函数和有相同的定义域，导函数分别为，，若在定义域内均有，则称是的“函数”．
（1）判断是否为的“函数”，并说明理由；
（2）已知函数和都是定义域在上的偶函数，且是的“函数”，证明：为常数）；
（3）若，，，，证明：函数是函数的“函数”．
参考答案
一.填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6每题4分，第7-12每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。
1．已知集合，1，2，，集合，则 ．
解：因为集合，1，2，，集合，
所以．
故答案为：．
2．抛物线的准线方程是　　 ．
解：抛物线的方程为
抛物线以原点为顶点，开口向右．
由，可得，可得抛物线的焦点为，准线方程为
故答案为：
3．在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合、始边与轴的正半轴重合，其终边经过点，则 ．
解：因为角的顶点与坐标原点重合、始边与轴的正半轴重合，其终边经过点，
所以．
故答案为：．
4．已知复数，则 ．
解：复数，
则．
故答案为：．
5．已知函数，则曲线在点，处的切线方程为 ．
解：因为，所以，
所以，，
所以所求切线方程为，即．
故答案为：．
6．某电子元件厂有甲、乙两条互不影响的生产线生产同型号元件，甲生产线的产量占全厂总产量的，其产品次品率为；乙生产线的产量占全厂总产量的，其产品次品率为．若从全厂产品中随机抽取1件，抽到次品的概率为 ．
解：设抽到的产品来自甲生产线为事件，来自乙生产线为事件，抽到次品为事件，
因为甲生产线的产量占全厂总产量的，其产品次品率为；乙生产线的产量占全厂总产量的，其产品次品率为，
所以，
所以．
故答案为：．
7．已知，若，则 ．
解：，可得，
解得．
故答案为：．
8．若函数（常数在区间没有最值，则的取值范围是 　，　．
解：，，，
又函数在区间没有最值，
，解得，则的取值范围是，．
故答案为：，．
9．已知△为等腰三角形，且，则 　　．
解：设△三个内角，，所对的边分别为，，，
因为，则由正弦定理得，
因为△是等腰三角形，所以，
由余弦定理得：．
故答案为：．
10．已知点是双曲线的左焦点，经过原点的直线与双曲线交于、两点，若且，则双曲线的离心率为 ．
【解答】
设是右焦点，由双曲线的对称性得是平行四边形，，
所以，
又，即，，则，
因为，所以，
由余弦定理得，
即，
得，即
所以离心率．
故答案为：．
11．若数列共10项，其中，，且，，，则这样的不同数列共有　84　 个．（用数字作答）
解：数列共10项，因此共有9个相邻差，，
因为，，
所以每个只能取1或2，
由，，，，，
相加可得：，
因为，，
所以，
所以所有的总和为15．
设9个差中有个1，个2，由题意：，
解得，，
所以9个差中恰好有3个1、6个2，
不同的排列顺序对应不同的数列，问题等价于从9个位置中选3个位置放1，剩余放2，
因此不同数列个数为组合数：．
即这样的不同数列共有84个．
故答案为：84．
12．已知平面内的三个非零向量、、满足：，，，则当取得最大值时， ．
解：设，，，
，
，即，
所以，点在的中垂线上，
，
点在所对的圆弧上运动，圆心为，
即为△的外接圆，，
记中点为，
，
，
，
所以，
当取最小时，原式取最大，
如图，当与相切时，取最小，
．
故答案为：．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14每题4分，第15-16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。
（多选）13．下列说法中有哪些是错误的是　　
A．一组数据中比中位数大的数和比中位数小的数一样多
B．极差、方差、标准差都是描述一组数据的离散程度的统计量
C．平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的统计量
D．总体的数据都分布在样本的极差范围内
解：对于，中位数是一组数据按照从小到大的顺序排列，位于中间的那个数据（或中间两个数据的平均数），
但是也有一些特殊的，比如：1，2，3，4，4，6，7，8这组数据，中位数是4，而比4小的数据是3个，比4大的数据却是4个，
所以一组数据中比中位数大的数和比中位数小的数不一定一样多，故错误；
对于，极差反映的是一组数据最大值与最小值的差，方差和标准差反映了数据分散程度的大小，所以说极差、方差、标准差都是描述一组数据的离散程度的统计量，故正确；
对于，平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的量，所以说平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的统计量，故正确；
对于，样本的数据都分布在总体的极差范围内，错误．
故选：．
14．设是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（　　）
A． B．1 C．2 D．3
解：根据题意，因为是定义在上的奇函数，则，
又周期为2，则，
又，所以，
所以，所以．
故选：．
15．已知垂直竖在水平地面上相距20米的两根旗杆的高分别为10米和15米，地面上的动点到两旗杆顶点的仰角相等，则点的轨迹是（　　）
A．椭圆 B．圆 C．双曲线 D．抛物线
解：设两根旗杆、分别在地面、两处，不妨设，，地面上的动点到两旗杆顶点的仰角相等，
设满足条件的点为，则直角△直角△，因此；
在地面上以所在直线为轴，以的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，，，则：
化简整理得：
因此在、所在直线上距离点16米点36处的点为圆心，以24为半径画圆，则圆上的点到两旗杆顶点的仰角相等，
即：地面上的动点到两旗杆顶点的仰角相等的点的轨迹是在、所在直线上距离点16米（距离点36处）的点为圆心，以24为半径的圆
故选：．
16．对于数列，若存在，使得对任意，有，则称为“有界变差数列”．有以下两个结论：
①若各项均为正数的等比数列为“有界变差数列”，则其公比的取值范围是；
②若数列、均为“有界变差数列”，且，则数列是“有界变差数列”．
则以下选项正确的是（　　）
A．①是假命题，②是真命题 B．①是假命题，②是假命题
C．①是真命题，②是假命题 D．①是真命题，②是真命题
解：对于命题①，因为的各项均为正数，所以，，
又，
当时，，
任取即可，所以为有界变差数列，
当时，，
若，则，
令即可，所以为有界变差数列，
若，则，
当时，，
显然不存在符合条件的，故不是有界变差数列，
综上，的取值范围是，，故命题①是假命题；
对于命题②，因为，
因为，所以，所以，
又数列，为“有界变差数列”，则存在，使得对任意，有，
又，
所以，故命题②是真命题，
综上，①是假命题，②是真命题．
故选：．
三.解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤。
17．在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期．一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如表格：
潜伏期（单位：天） ， ， ， ， ， ， ，
人数 50 150 200 300 200 60 40
（1）求这1000名患者的潜伏期的样本平均数值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，结果四舍五入为整数）；
（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过8天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断，是否有的把握认为潜伏期与患者年龄有关？
潜伏期天 潜伏期天 总计
50岁以上（含 100
50岁以下 65
总计 200
附：
，，，．
解：（1）由题意知，这1000名患者的潜伏期的样本平均数值为：
；
（2）潜伏期天数在，的频率为，
潜伏期天数在，的频率为0.3，
所以200人中潜伏期在，的有人，在，的有60人，
将列联表补充完整如下：
潜伏期天 潜伏期天 总计
50岁以上（含 75 25 100
50岁以下 65 35 100
总计 140 60 200
计算，
对照附表知，没有的把握认为潜伏期与患者年龄有关．
19．如图，在三棱锥中，是外接圆的直径，是边长为2的等边三角形，，分别是，的中点，，．
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：由题意知，
则，所以，
又，，所以，所以，
又，所以平面，
又平面，所以平面平面；
（2）解：以为坐标原点，，在直线分别为轴，轴，
过且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，则，
则，取，得，
设直线与平面所成的角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
20．（18分）已知椭圆与椭圆，椭圆的左、右焦点分别为、，点为椭圆上异于其左、右顶点的任一点，直线、均过点．
（1）求△面积的最大值．
（2）若过点且与交于、两点，过点且与交于、两点，当直线，的斜率，满足时，证明：为定值；
（3）是否存在点，满足、均与相切，且？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）对于椭圆中，，，则，所以，
焦点，，，设点上，所以，
因为△的面积，
所以当时，面积取到最大值为1；
（2）证明：设直线，联立方程组，
整理得：，
其中，
设，，，，所以，，
所以，
同理，设，代入得：，
已知，所以，代入得：，
所以，
即为定值；
（3）假设存在，，若，则，此时直线，不垂直，
因此直线，的斜率存在，分别为，，由，得，
若直线，即，
联立方程组，整理得：，
若与相切，则△，
化简得：，
此方程的两根为，，且，
所以，由，得：，即，
又因为，在上，联立方程组，
解得或或或，
即存在点，，，，满足题意．
21．（18分）函数和有相同的定义域，导函数分别为，，若在定义域内均有，则称是的“函数”．
（1）判断是否为的“函数”，并说明理由；
（2）已知函数和都是定义域在上的偶函数，且是的“函数”，证明：为常数）；
（3）若，，，，证明：函数是函数的“函数”．
解：（1），．，．
，，，即，
是的“函数”；
（2）证明：设 则，
是的“函数”． ．，即．
已知和都是定义在上的偶函数，
，，，，
，，，
两边同乘，得到，由且，
得到，即．
，得证．
（3）证明：，，
，，
令，，
故，
令，
在 上单调递增，．
，
根据零点存在定理，可知存在使得，即，
当时，，单调递减，当时，，单调递增．
．
由，得，且，
代入上式得
，
因为，故，
而，故，而，故，
所以，即恒成立．
故是函数的“函数”．

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