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2026年上海市静安区高考数学二模试卷
一、填空题（共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）.
1．直径为的球的表面积为　　．（计算结果保留
2．设是虚数单位，计算：　　 ．
3．在的二项展开式中，的系数为　　 ．（用数字作答）
4．双曲线的渐近线夹角大小为 　　．
5．若，则　　 ．
6．某汽车制造厂生产一种用于发动机的活塞销，其设计标准直径为，根据长期生产数据，该活塞销的实际直径服从正态分布，标准差为，规定：活塞销的直径在到之间为合格品．随机抽取一个活塞销，其为合格品的概率是　　 ．（结果保留三位小数）
参考数据：若随机变量，则，，．
7．现有两个罐子，都放有3个球，这些球除颜色外，大小与质地都相同，罐中放有2个红球，1个白球，罐中放有3个红球，从两个罐子中各摸出1个球并交换，这样交换2次后，白球还在罐子中的概率是　　 ．
8．已知定义在上的偶函数的最小正周期为2，当时，，则当时，　　 ．
9．在代表我国古代数学成就的经典著作《九章算术》中，称如图中的多面体为“刍甍”．若底面是边长为4的正方形，，且，△和△是等腰直角三角形，，则与底面所成角的正弦值为　　 ．
10．如图所示，在△中，，，，为边的中点，在边上，且，交于点，则　　 ．
11．若满足，且的复数有两个，分别设为、，则　　 ．
12．设，函数，给出下列三个结论：
①在区间上单调递减；
②当时，存在最大值；
③设，，，，则．
其中所存正确结论的序号是　　 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置上，将代表正确选项的小方格涂黑。
13．函数的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
14．已知集合，，则（　　）
A．， B． C． D．
15．袋子里装有四枚围棋子，其中两枚黑色棋子、两枚白色棋子，从中随机取出两枚棋子，那么互斥而不对立的事件是（　　）
A．“至多有一枚白色棋子”与“至多有一枚黑色棋子”
B．“至多有一枚白色棋子”与“都是黑色棋子”
C．“恰好有一枚白色棋子”与“都是黑色棋子”
D．“至多有一枚白色棋子”与“都是白色棋子”
16．设、分别是棱长为1的正方体的两个不同顶点，点在该正方体的表面上（含棱和顶点）运动，且不与、两点重合．关于，给出下列两个结论：
①存在最小值，且最小值小于零；
②存在最大值，且最大值大于零．
则下列判断正确的选项是（　　）
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①和②都错误 D．①和②都正确
三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。
17．如表是某品牌净化器的年销售量与年份的统计表．
年份 2021 2022 2023 2024 2025
年份代码 1 2 3 4 5
年销售量（万台） 2 3.5 2.5 8 9
（1）用计算器计算净化器的年销售量关于年份代码的线性回归方程；（回归系数计算结果保留两位小数）
（2）为了调查、两地区人群对该品牌净化器的了解情况，调查机构在、两地区的人群中分别进行品牌知晓情况的问卷调查．统计知晓与不知晓的人数，得到如下列联表．
知晓 不知晓 合计
地区 80 20 100
地区 40 60 100
合计 120 80 200
试根据表中数据判断、两地区的人群对该品牌净化器的知晓情况是否有显著差异．（规定显著水平
附：关于回归方程，回归系数的计算公式
，其中为样本点的中心；
的计算公式；
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
18．已知等差数列的首项，公差为2，等比数列的首项，公比为2，数列满足为正整数）．
（1）依次写出数列的前6项；
（2）设数列的前项和为，求．
19．如图，在长方体中，，，，是的中点．
（1）求四棱锥的体积；
（2）求平面与平面所成的锐二面角的大小．（结果用反三角函数值表示）
20．（18分）在平面直角坐标系中，为坐标原点．设椭圆，的左、右焦点分别为、，，的离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过原点作两条相互垂直的射线，与椭圆分别交于、两点，证明：原点到直线的距离为定值；
（3）过椭圆的右焦点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于、两点，点是点关于轴的对称点．在轴上是否存在一个定点，使得、、三点始终共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
21．（18分）已知函数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）若直线是曲线的切线，求实数的值及切点坐标；
（3）若函数的图象与的图象有两个不同的交点，求实数的取值范围．
参考答案
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果。
1．直径为的球的表面积为 ．（计算结果保留
解：根据题意知球的半径，
因此球的表面积．
故答案为：．
2．设是虚数单位，计算： ．
解：，
所以．
故答案为：．
3．在的二项展开式中，的系数为　15　 ．（用数字作答）
解：二项展开式的通项公式为．
令，解得，则．
故在的二项展开式中，的系数为15．
故答案为：15．
4．双曲线的渐近线夹角大小为 　　．
解：因为双曲线，
所以渐近线方程为和，
设两条渐近线的夹角为锐角，
则，所以夹角为．
故答案为：．
5．若，则 ．
解：因为，
所以，
故．
故答案为：．
6．某汽车制造厂生产一种用于发动机的活塞销，其设计标准直径为，根据长期生产数据，该活塞销的实际直径服从正态分布，标准差为，规定：活塞销的直径在到之间为合格品．随机抽取一个活塞销，其为合格品的概率是　0.954　 ．（结果保留三位小数）
参考数据：若随机变量，则，，．
解：由题可得，，
故．
故答案为：0.954．
7．现有两个罐子，都放有3个球，这些球除颜色外，大小与质地都相同，罐中放有2个红球，1个白球，罐中放有3个红球，从两个罐子中各摸出1个球并交换，这样交换2次后，白球还在罐子中的概率是 ．
解：用，分别表示交换1次，2次后白球还在罐中的事件，
则，，
由全概率公式得．
故答案为：．
8．已知定义在上的偶函数的最小正周期为2，当时，，则当时， ．
解：当时，所以，
所以，
又因为的最小正周期为2，又是在上的偶函数，
所以，
所以．
故答案为：．
9．在代表我国古代数学成就的经典著作《九章算术》中，称如图中的多面体为“刍甍”．若底面是边长为4的正方形，，且，△和△是等腰直角三角形，，则与底面所成角的正弦值为 ．
解：在多面体中，
设、的中点为、，、在底面的投影为、，
如图，由对称性可知、在上，
所以就是与底面所成角，
又因为，
所以，，
又△是等腰直角三角形，，
所以，，
所以．
故答案为：．
10．如图所示，在△中，，，，为边的中点，在边上，且，交于点，则 ．
解：易知，建立平面直角坐标系，如图所示，
，，，，，
直线，即．
直线，即．
联立，解得，即．
故．
故答案为：．
11．若满足，且的复数有两个，分别设为、，则 ．
解：设，，，，
由，得，可知点的轨迹是以为圆心，半径为5的圆，即；
又，则，可知点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，
则，，，可得，
联立方程和，解得，，
且，则，，可得，，
所以．
故答案为：．
12．设，函数，给出下列三个结论：
①在区间上单调递减；
②当时，存在最大值；
③设，，，，则．
其中所存正确结论的序号是　②③　 ．
解：对①：若，即时，有，，
则 在区间 上单调递增，故①错误；
对②：由，则当时，单调递增，
当时，单调递增，当时，单调递减，
当时，单调递减，则时，，
当时，，
当时，，
要使得存在最大值，则，解得，故②正确；
对③：由题意可得，若，则在上，
则，
由，则；
若，则，
有，
故．
综上可得：恒成立，故③正确．
故答案为：②③．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置上，将代表正确选项的小方格涂黑。
13．函数的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
解：，
函数为偶函数，
图象关于轴对称，故排除，，
，
当时，的变化是越来越快，故排除
故选：．
14．已知集合，，则（　　）
A．， B． C． D．
解：集合，，；
所以．
故选：．
15．袋子里装有四枚围棋子，其中两枚黑色棋子、两枚白色棋子，从中随机取出两枚棋子，那么互斥而不对立的事件是（　　）
A．“至多有一枚白色棋子”与“至多有一枚黑色棋子”
B．“至多有一枚白色棋子”与“都是黑色棋子”
C．“恰好有一枚白色棋子”与“都是黑色棋子”
D．“至多有一枚白色棋子”与“都是白色棋子”
解：记随机取出两枚棋子，均为黑色棋子是事件，一枚黑色棋子、一枚白色棋子是事件，均为白色棋子是事件；
对于，“至多有一枚白色棋子”包含事件和事件，“至多有一枚黑色棋子”包含事件和事件，
两个事件都包含事件，能同时发生，不是互斥事件；
对于，“至多有一枚白色棋子”包含事件和事件，“都是黑色棋子”是事件，
两个事件都包含事件，能同时发生，不是互斥事件；
对于，“恰好有一枚白色棋子”是事件，“都是黑色棋子”是事件，
两个事件不能同时发生，且并集不是全集（缺少事件，是互斥而不对立事件；
对于，“至多有一枚白色棋子”包含事件和事件，“都是白色棋子”是事件，
两个事件不能同时发生，且并集是全集，是对立事件．
故选：．
16．设、分别是棱长为1的正方体的两个不同顶点，点在该正方体的表面上（含棱和顶点）运动，且不与、两点重合．关于，给出下列两个结论：
①存在最小值，且最小值小于零；
②存在最大值，且最大值大于零．
则下列判断正确的选项是（　　）
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①和②都错误 D．①和②都正确
解：因为、分别是棱长为1的正方体的两个不同顶点，设中点为，
当、为同一平面的相邻顶点，则，
所以，所以，
所以，
此时存在最小值，且最小值小于零，存在最大值，且最大值大于零；
当、为同一平面的不相邻顶点，则，
所以，所以，
，
此时存在最小值，且最小值小于零，存在最大值，且最大值大于零；
当、为体对角线上两顶点，则，
所以，所以，
则，
此时存在最小值，且最小值小于零，存在最大值，最大值等于零；
综上可得：①正确；②错误．
故选：．
三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。
17．如表是某品牌净化器的年销售量与年份的统计表．
年份 2021 2022 2023 2024 2025
年份代码 1 2 3 4 5
年销售量（万台） 2 3.5 2.5 8 9
（1）用计算器计算净化器的年销售量关于年份代码的线性回归方程；（回归系数计算结果保留两位小数）
（2）为了调查、两地区人群对该品牌净化器的了解情况，调查机构在、两地区的人群中分别进行品牌知晓情况的问卷调查．统计知晓与不知晓的人数，得到如下列联表．
知晓 不知晓 合计
地区 80 20 100
地区 40 60 100
合计 120 80 200
试根据表中数据判断、两地区的人群对该品牌净化器的知晓情况是否有显著差异．（规定显著水平
附：关于回归方程，回归系数的计算公式
，其中为样本点的中心；
的计算公式；
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
解：（1）由表知，，，
，
，
所以，，
所以净化器的年销售量关于年份代码的线性回归方程．
（2），
故依据的独立性检验，判断、两地区的人群对该品牌净化器的知晓情况有显著差异．
18．已知等差数列的首项，公差为2，等比数列的首项，公比为2，数列满足为正整数）．
（1）依次写出数列的前6项；
（2）设数列的前项和为，求．
解：（1）已知等差数列的首项，公差为2，等比数列的首项，公比为2，
根据等差数列和等比数列的通项公式可得，，
又数列满足为正整数），
所以，，，
，，，
所以数列的前6项依次为1，2，5，8，9，32；
（2）设数列的前项和为，
则
．
19．如图，在长方体中，，，，是的中点．
（1）求四棱锥的体积；
（2）求平面与平面所成的锐二面角的大小．（结果用反三角函数值表示）
解：（1）底面是直角梯形，上底，下底，高，
梯形面积，
四棱锥的高为到底面的距离，即，
体积．
（2）以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，
，0，，，2，，，4，，，0，，
平面的一个法向量为，
在平面中，向量，，
设平面的法向量为，则，
令，得，，即．
设锐二面角为，则，
锐二面角大小为．
20．（18分）在平面直角坐标系中，为坐标原点．设椭圆，的左、右焦点分别为、，，的离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过原点作两条相互垂直的射线，与椭圆分别交于、两点，证明：原点到直线的距离为定值；
（3）过椭圆的右焦点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于、两点，点是点关于轴的对称点．在轴上是否存在一个定点，使得、、三点始终共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】（1）解：由题意得，即，椭圆的离心率，可得，
所以，可得椭圆的方程为．
（2）证明：设，，，，根据，可得，
设直线的方程为，联立方程组，消去得，
可得，，
结合，
可得，化简得，
根据原点到直线的距离，可得，即，
综上所述，原点到直线的距离为定值．
（3）解：存在定点，使、、三点共线，理由如下：
设直线的方程为，，，，，则，，
联立方程组，消去，可得，
可得，，
设，若、、三点共线，则，即，
整理得，即，化简得，
所以，
结合，化简得，解得，故存在定点，使、、三点共线．
21．（18分）已知函数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）若直线是曲线的切线，求实数的值及切点坐标；
（3）若函数的图象与的图象有两个不同的交点，求实数的取值范围．
解：（1）由得，
当时，时，，即在上单调递增，
同理，在上单调递减，
则函数的极大值为，无极小值；
（2）设切点为，则切线方程为，即，
故，
消去得，
记，则，
记，则，即在上递减，
又（1），
则当时，，即在上递增，同理在上递减，
故当且仅当时取到最大值（1），
有唯一解，
此时，切点为；
（3）由题意得，在上有两个不同的解，即在上有两个不同的解，
记，则，
①当时，恒成立，函数在上递增，
函数至多有一个零点，不合题意，舍去；
②当时，由得，由得，
函数在上递减，在上递增，
的最小值，即，
，故得，
又，
在内有一个零点，
又，设，则，
故在上为增函数，在上为减函数，
故（1），即，
则，即，
在内有一个零点，
故实数的取值范围为．

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