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2026年北京市东城区中考数学一模试卷
一、选择题（共8小题，每小题2分，共16分）.
1．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（　　）
A．圆柱 B．长方体 C．圆锥 D．球
2．在今年全国两会上，政府工作报告明确提出，2026年发展主要预期目标之一是：城镇新增就业1200万人以上．将数字12000000用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
3．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．若随机摸出一个小球然后放回，摇匀后再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号相同的概率是（　　）
A． B． C． D．
4．已知，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，直线，点，分别在直线，上，连接，以点为圆心，适当长为半径画弧，交射线于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部交于点，画射线交于点，若，则图中的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．人字梯为家庭常用工具．如图，若，的长都为，当时，人字梯顶端离地面的高度是（结果精确到，参考数据：，，（　　）
A． B． C． D．
7．把二次函数的图象向上平移1个单位长度．如果平移后所得抛物线与轴有且只有一个公共点，那么的值为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．如图，等边三角形的三个顶点都在边长为1的正方形的边上．对于这样的等边三角形，给出以下结论：
①等边三角形有无数个；
②等边三角形的周长的最小值为3；
③等边三角形的面积的最大值为．
上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题（共16分，每题2分）
9．若代数式有意义，则实数的取值范围是　　 ．
10．分解因式：　 　．
11．方程的解为　　 ．
12．若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是　　 ．
13．2025年6月5日是第11个中国环境日，某中学1200名学生积极参加了公益活动，为了解这些学生参加公益活动的时间（单位：，从中随机抽取了100名学生进行问卷调查，并将得到的数据整理如下：
活动时间 6 7 8 9 10
人数 10 15 30 25 20
根据以上信息，估计该中学1200名学生中参加公益活动时间是的人数是　　 ．
14．如图，，，是上的点，，垂足为点，且为的中点，若，则的长为　　 ．
15．如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，，，交于点，若是的中点，则的长为　　 ．
16．某新能源电池厂有40台专用设备，用于生产两种核心零件：正极片和负极片．按照每台设备每天生产的合格的正、负极片的效率分为以下三类：
类别 正极片（片台） 负极片（片台） 设备数量（台
甲类 20 200 15
乙类 12 100 15
丙类 8 70 10
每台设备每天只能生产一种零件．已知每1片正极片需要搭配4片负极片才能组装成一个完整电池．
（1）若只由甲类专用设备工作，则一天最多可生产　　 个电池；
（2）若40台专用设备都在工作，则一天最多可生产　　 个电池．
三、解答题（共68分，第17-22题每题5分，第23-26题每题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
17．计算：．
18．解不等式组：．
19．已知，求代数式的值．
20．如图，在中，对角线，交于点，点，分别是，的中点，连接交于点，延长与的延长线交于点，且．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
21．学校为庆祝第七个国际数学日，举办了主题为“数学与希望”的数学活动，决定购买圆规与笔记本作为奖品．已知圆规每个15元，笔记本每本6元，共花费1560元，它们的数量之比为．此时恰逢商家开展“店庆满送”优惠活动，每满180元送1张兑换券，满360元送2张兑换券，，以此类推．一张兑换券可兑换2个圆规或4个笔记本．学校花费1560元后，将兑换券也全部用于商品兑换，最终圆规与笔记本的数量相同．
（1）求兑换前购买的圆规和笔记本的数量；
（2）求用于兑换圆规的兑换券的张数．
22．在平面直角坐标系中，函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点．
（1）求，的值；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值小于的值，且大于的值，直接写出的取值范围．
23．某学校组织“数学传统文化知识”竞赛，分为团体赛和个人赛．九年级组建了，两个各20人的集训团队，经过阶段性训练后进行预赛，对选手成绩（百分制）进行整理分析，给出如下部分信息：
．队成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：，，，；
其中组的数据是：80，82，82，84，85，88．
．队成绩如下：
61，67，72，72，74，76，78，80，81，81，
83，83，83，83，85，85，87，92，93，95．
．，两队成绩的平均数、众数、中位数如表：
平均数 众数 中位数
队 81.55 76
队 80.55 82
根据以上信息，解答下列问题：
（1）　　 ，　　 ；
（2）若团队成绩按去掉一个最高分和一个最低分计算，则去掉后队的平均分　　 （填“增大”“不变”“减小” ，方差　　 （填“增大”“不变”“减小” ；
（3）为选拔个人赛种子选手，年级对本次预赛得分90分及以上的甲、乙、丙三名选手进行了5次附加测试，测试成绩如下：
测试1 测试2 测试3 测试4 测试5
甲 90 96 93 96 90
乙 93 94 94 94 95
丙 95 91 93 92
排名规则为：5次测试成绩的平均数高的选手排名靠前；若平均数相同，方差小的选手排名靠前．
若丙在甲、乙、丙三名选手中的排名居中，则表中整数的最小值为　　 ，最大值为　　 ．
24．如图，点在以为直径的上，且，点为上一点，过点作的切线交的延长线于点，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）连接交于点．若，求的长．
25．现有，两种算法，用来计算某项运动在特定条件下，经过不同的运动时间（分钟）时能量消耗值（千卡），某测试者进行测试，记录了部分数据如下：
（分钟） 0 10 20 30 40 50 60 70
算法（千卡） 0 50 100 150 200 250 300 350
算法（千卡） 0 52 95 138 172 200 220 230
（1）两种算法中，能量消耗值都可以看作关于运动时间的函数，观察数据，推测种算法中与的函数关系式为　　 ；
（2）在同一平面直角坐标系中绘制出两种算法对应的函数图象；
（3）某实验小组利用这两种算法，设计了一款测试运动能量消耗值的智能手环，其显示能量消耗值的规则为：
①若两种算法计算的能量消耗值之差的绝对值小于25千卡，则手环显示种算法的能量消耗值；
②若两种算法计算的能量消耗值之差的绝对值大于或等于25千卡，则动态算法开始计算，的平均数，如果所得的平均数与的差的绝对值大于或等于25千卡，那么动态算法再次计算上一次所得的平均数与的平均数，重复上述操作，直到所得的平均数与的差的绝对值小于25千卡时，手环上显示的能量消耗值是最后一次所得的平均数动态算法计算时间忽略不计）．
这次测试中，该测试者运动25分钟时，手环显示的能量消耗值是　　 千卡（保留整数）；运动60分钟时，手环显示的能量消耗值是　　 千卡．
26．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点．
（1）求的值，并用含的式子表示点的横坐标；
（2）过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点．
①若，，求的长；
②当时，的长随的增大而增大，直接写出的取值范围．
27．如图，在△中，，，将绕点逆时针旋转得到．过点作，交的延长线于点，点为中点．
（1）①补全图形；
②求证：；
（2）判断，之间的数量关系，并证明．
28．在平面直角坐标系中，对于的弦和点，给出如下定义：若△为锐角三角形，且直线，中有一条是的切线，则称点是的弦的“锐切点”．
（1）如图，的半径为1．
①点，，在点，中，点　　 是的弦的“锐切点”；
②若，点是的弦的“锐切点”，则弦的长的取值范围是　　 ；
（2）已知点，，经过点，若存在一条长为的线段，线段上的任意一点都是的长为的弦的“锐切点”，直接写出的取值范围．
参考答案
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（　　）
A．圆柱 B．长方体 C．圆锥 D．球
解：主视图和左视图均为矩形，说明该几何体是柱体（柱体的正视图和侧视图通常为矩形）；
俯视图为圆形，结合柱体的特征，圆形底面的柱体是圆柱；
故该几何体为圆柱．
故选：．
2．在今年全国两会上，政府工作报告明确提出，2026年发展主要预期目标之一是：城镇新增就业1200万人以上．将数字12000000用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
解：．
故选：．
3．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．若随机摸出一个小球然后放回，摇匀后再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号相同的概率是（　　）
A． B． C． D．
解：树状图如下所示，
由上可得，一共有16种等可能性，其中两次摸出的小球的标号相同的可能性有4种，
两次摸出的小球的标号相同的概率为，
故选：．
4．已知，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
解：，
，
，
．
故选：．
5．如图，直线，点，分别在直线，上，连接，以点为圆心，适当长为半径画弧，交射线于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部交于点，画射线交于点，若，则图中的度数为（　　）
A． B． C． D．
解：由作图可知，
，
，
，
（两直线平行，同旁内角互补），
故选：．
6．人字梯为家庭常用工具．如图，若，的长都为，当时，人字梯顶端离地面的高度是（结果精确到，参考数据：，，（　　）
A． B． C． D．
解：过点作于点，
，
，，
，
．
人字梯顶端离地面的高度是．
故选：．
7．把二次函数的图象向上平移1个单位长度．如果平移后所得抛物线与轴有且只有一个公共点，那么的值为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
解：根据二次函数图象平移规则，向上平移1个单位长度后，
所得抛物线的解析式为：，
平移后抛物线与轴有且只有一个公共点，
一元二次方程有两个相等的实数根，
△，
化简得，
解得，
故选：．
8．如图，等边三角形的三个顶点都在边长为1的正方形的边上．对于这样的等边三角形，给出以下结论：
①等边三角形有无数个；
②等边三角形的周长的最小值为3；
③等边三角形的面积的最大值为．
上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
解：如图所示，连接正方形对角交于点，以点为圆心，以为半径画圆，则点，，，在圆上，连接，，，并延长，交圆于点，，，
△是等边三角形，
，
，即△是等边三角形，
当点，，在圆上运动时，对应的△在正方形内部运动，
等边三角形有无数个，故①正确；
如图所示，过点作，则，
四边形是矩形，
，
，且等边三角形的周长，
最小值为1，
等边三角形的周长的最小值为3，故②正确；
如图所示，过点作，，
，
，
当最大时，等边三角形的面积最大，
如图所示，当三角形一个顶点与正方形的一个顶点重合时，
，
又，，
△△，
，
设，则，
在△中，，
在△中，，
，
，
整理得，，
解得，，（舍去），
，
，
根据上述计算可知，，
的最大值为，
，故③错误；
综上所述，正确的有①②，
故选：．
二、填空题（共16分，每题2分）
9．若代数式有意义，则实数的取值范围是 ．
解：根据题意得，
解得，
故答案为：．
10．分解因式：　　．
解：
．
故答案为：．
11．方程的解为 ．
解：，
方程两边同乘以最简公分母得，，
去括号得，
合并同类项得，
解得，
经检验，当时，，
所以是原方程的解，
故答案为：．
12．若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是 ．
解：由题知，
因为关于的一元二次方程有两个实数根，
所以△，
解得．
故答案为：．
13．2025年6月5日是第11个中国环境日，某中学1200名学生积极参加了公益活动，为了解这些学生参加公益活动的时间（单位：，从中随机抽取了100名学生进行问卷调查，并将得到的数据整理如下：
活动时间 6 7 8 9 10
人数 10 15 30 25 20
根据以上信息，估计该中学1200名学生中参加公益活动时间是的人数是　240　 ．
解：抽取的样本容量为100，其中参加公益活动时间为的人数为20，
则样本中参加公益活动时间为的频率为：，
估计人数为：．
故答案为：240．
14．如图，，，是上的点，，垂足为点，且为的中点，若，则的长为　5　 ．
解：连接，如图，
，，是上的点，，
，
，垂足为点，且为的中点，
是的垂直平分线，
，
．
故答案为：5．
15．如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，，，交于点，若是的中点，则的长为 ．
解：四边形是矩形，
，，，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
△△，
，
，
，
，
，
故答案为：．
16．某新能源电池厂有40台专用设备，用于生产两种核心零件：正极片和负极片．按照每台设备每天生产的合格的正、负极片的效率分为以下三类：
类别 正极片（片台） 负极片（片台） 设备数量（台
甲类 20 200 15
乙类 12 100 15
丙类 8 70 10
每台设备每天只能生产一种零件．已知每1片正极片需要搭配4片负极片才能组装成一个完整电池．
（1）若只由甲类专用设备工作，则一天最多可生产　200　 个电池；
（2）若40台专用设备都在工作，则一天最多可生产　　 个电池．
解：（1）甲设备有15台，
设甲设备有台生产正极片，则有台生产负极片，
正极片的数量为，负极片的数量为，
每1片正极片需要搭配4片负极片才能组装成一个完整电池
，
解得，，
当时，正极片的数量为，负极片的数量为，
个正极片与800个负极片可以组装成200个电池，此时负极片剩余200；
当时，正极片的数量为，负极片的数量为，
个正极片与800个负极片可以组装成200个电池，此时正极片剩余20；
若只由甲类专用设备工作，则一天最多可生产200个电池，
故答案为：200；
（2）若40台专用设备都在工作，
甲类、乙类、丙类生产正极片与负极片的比例分别为：，，，
甲类生产负极片效率最大，其次是丙类，最后是乙类，
生产时，尽量优先考虑甲类生产负极片，
情况一：若甲类15台生产负极片，乙类、丙类生产正极片，
正极片的数量，负极片的数量，
，
此时，能组装成一个完整电池的数量是260个，而负极片剩余1960个，
甲类的15台设备应该要分出一部分生产负极片，
设甲类生产正极片的有台，则生产负极片的有台，让乙类、丙类生产正极片，
生产正极片的有（台，生产负极片的有台，
正极片的数量为，负极片的数量为，
，
解得，
生产正极片的有台，则甲类生产负极片的有8台，
正极片的数量为，负极片的数量为，
此时，400个正极片与1600个负极片可以组装成400个电池．
故答案为：400．
三、解答题（共68分，第17-22题每题5分，第23-26题每题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
17．计算：．
解：原式
．
18．解不等式组：．
解：，
解不等式①得，
解不等式②，
原不等式组的解集为．
19．已知，求代数式的值．
解：原式
．
20．如图，在中，对角线，交于点，点，分别是，的中点，连接交于点，延长与的延长线交于点，且．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
【解答】（1）证明：，分别是，的中点，
为△的中位线，
，
△△，
，
，
，
四边形为平行四边形，
四边形是菱形；
（2）解：四边形是菱形，
，
，
，
，
，，
四边形为平行四边形，
，
，
，
在△中，，，
．
21．学校为庆祝第七个国际数学日，举办了主题为“数学与希望”的数学活动，决定购买圆规与笔记本作为奖品．已知圆规每个15元，笔记本每本6元，共花费1560元，它们的数量之比为．此时恰逢商家开展“店庆满送”优惠活动，每满180元送1张兑换券，满360元送2张兑换券，，以此类推．一张兑换券可兑换2个圆规或4个笔记本．学校花费1560元后，将兑换券也全部用于商品兑换，最终圆规与笔记本的数量相同．
（1）求兑换前购买的圆规和笔记本的数量；
（2）求用于兑换圆规的兑换券的张数．
解：（1）设兑换前购买圆规的数量为个，笔记本的数量为本，
由题意得，，
解得，
，．
答：兑换前购买圆规80个，笔记本60本．
（2）一张兑换券可兑换2个圆规或4个笔记本．
，
可获得8张兑换券，
设用于兑换圆规的兑换券的张数为张，
则兑换后圆规的数量为个，笔记本的数量为本，
由题意得，，
解得．
答：用于兑换圆规的兑换券为2张．
22．在平面直角坐标系中，函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点．
（1）求，的值；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值小于的值，且大于的值，直接写出的取值范围．
解：（1）函数的图象由平移得到，
．
将点代入
，
解得：，
，；
（2）由（1）知，，则：
，，
当时，恒成立，
①先解
整理得，
当时，不等式为，恒成立，
当时，，结合，得，
故，
②再解
整理得，
，两边除以负数，不等号方向改变，得，即；且当时，
，解得，
综上，的取值范围为且．
23．某学校组织“数学传统文化知识”竞赛，分为团体赛和个人赛．九年级组建了，两个各20人的集训团队，经过阶段性训练后进行预赛，对选手成绩（百分制）进行整理分析，给出如下部分信息：
．队成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：，，，；
其中组的数据是：80，82，82，84，85，88．
．队成绩如下：
61，67，72，72，74，76，78，80，81，81，
83，83，83，83，85，85，87，92，93，95．
．，两队成绩的平均数、众数、中位数如表：
平均数 众数 中位数
队 81.55 76
队 80.55 82
根据以上信息，解答下列问题：
（1）　81　 ，　　 ；
（2）若团队成绩按去掉一个最高分和一个最低分计算，则去掉后队的平均分　　 （填“增大”“不变”“减小” ，方差　　 （填“增大”“不变”“减小” ；
（3）为选拔个人赛种子选手，年级对本次预赛得分90分及以上的甲、乙、丙三名选手进行了5次附加测试，测试成绩如下：
测试1 测试2 测试3 测试4 测试5
甲 90 96 93 96 90
乙 93 94 94 94 95
丙 95 91 93 92
排名规则为：5次测试成绩的平均数高的选手排名靠前；若平均数相同，方差小的选手排名靠前．
若丙在甲、乙、丙三名选手中的排名居中，则表中整数的最小值为　　 ，最大值为　　 ．
解：（1）队成绩中的数据83出现的次数最多，故众数；
队中，两组的人数分别为2和7，而20个数据的中位数是第10，11个数据的平均数，那么第10，11个数据在这一组，是80，82，
因此中位数，
故答案为：81，83；
（2）队原来平均分为80.55，
则去掉一个最高分95和一个最低分61后平均数为，故平均数增大；
而方差反映的是数据波动程度，当去掉最高分和最低分两个极端值之后，数据更加集中，波动减小，故方差减小，
故答案为：增大，减小；
（3），；
，；
，
，，
丙在甲、乙、丙三名选手中的排名居中，即丙排第2名，
①，，
解得，
为整数，
可取95，96，97，98；
②，，
则，解得，
此时，
故符合题意；
③，，
则，解得，
则，
故符合题意，
综上：的取值为94，95，96，97，98，99，
故最小值为94，最大值为99，
挂安慰：94，99．
24．如图，点在以为直径的上，且，点为上一点，过点作的切线交的延长线于点，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）连接交于点．若，求的长．
【解答】（1）证明：连接，
的切线交的延长线于点，
，即，
，为半径，
，即，
，
；
（2）解：如图，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，，
由勾股定理得，
，
，，
，
，
△△，
，
．
25．现有，两种算法，用来计算某项运动在特定条件下，经过不同的运动时间（分钟）时能量消耗值（千卡），某测试者进行测试，记录了部分数据如下：
（分钟） 0 10 20 30 40 50 60 70
算法（千卡） 0 50 100 150 200 250 300 350
算法（千卡） 0 52 95 138 172 200 220 230
（1）两种算法中，能量消耗值都可以看作关于运动时间的函数，观察数据，推测种算法中与的函数关系式为 ；
（2）在同一平面直角坐标系中绘制出两种算法对应的函数图象；
（3）某实验小组利用这两种算法，设计了一款测试运动能量消耗值的智能手环，其显示能量消耗值的规则为：
①若两种算法计算的能量消耗值之差的绝对值小于25千卡，则手环显示种算法的能量消耗值；
②若两种算法计算的能量消耗值之差的绝对值大于或等于25千卡，则动态算法开始计算，的平均数，如果所得的平均数与的差的绝对值大于或等于25千卡，那么动态算法再次计算上一次所得的平均数与的平均数，重复上述操作，直到所得的平均数与的差的绝对值小于25千卡时，手环上显示的能量消耗值是最后一次所得的平均数动态算法计算时间忽略不计）．
这次测试中，该测试者运动25分钟时，手环显示的能量消耗值是　　 千卡（保留整数）；运动60分钟时，手环显示的能量消耗值是　　 千卡．
解：（1）观察表格得，；
故答案为：；
（2）重复上述操作，直到所得的平均数与的差的绝对值小于25千卡时，手环上显示的能量消耗值是最后一次所得的平均数动态算法计算时间忽略不计）．函数图象如图所示：
（3）根据图象得：当测试者运动25分钟时，两种算法计算的能量消耗值之差的绝对值小于25千卡，
手环显示种算法的能量消耗值为117千卡；
运动60分钟时，，，
，
第一次计算平均数为：，
，
第二次计算平均数为：，且，
手环显示的能量消耗值是280千卡．
故答案为：117；280．
26．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点．
（1）求的值，并用含的式子表示点的横坐标；
（2）过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点．
①若，，求的长；
②当时，的长随的增大而增大，直接写出的取值范围．
解：（1）抛物线与轴交于，两点，
，抛物线的对称轴直线为，
解得，，
点的横坐标为；
（2）①当，时，二次函数解析式为直线的解析式为，
当时，点的纵坐标为，点的纵坐标为，
；
②，
抛物线的图象开口向上，对称轴直线为，，
直线的图象经过第一、三象限，
当时，点的纵坐标为，点的纵坐标为，
，
，
，当时，
关于的二次函数图象开口向上，对称轴直线为，
当时，的长随的增大而增大，
，且，
；
当时，，
关于的二次函数图象开口向下，对称轴为直线，
当时，的长随的增大而增大，
；
综上所示，或．
27．如图，在△中，，，将绕点逆时针旋转得到．过点作，交的延长线于点，点为中点．
（1）①补全图形；
②求证：；
（2）判断，之间的数量关系，并证明．
【解答】（1）①解：将绕点逆时针旋转得到．过点作，交的延长线于点，点为中点．补全图形如图即为所求；
②证明：根据题意得：，
，
，
，
；
（2）解：．
证明：如图，延长到，使得，
绕点逆时针旋转得到，
，
由（1）得，
在△和△中，
，
△△，
，，
，
，
△为等边三角形，
，
点为中点，
，
即，
，
．
28．在平面直角坐标系中，对于的弦和点，给出如下定义：若△为锐角三角形，且直线，中有一条是的切线，则称点是的弦的“锐切点”．
（1）如图，的半径为1．
①点，，在点，中，点， 是的弦的“锐切点”；
②若，点是的弦的“锐切点”，则弦的长的取值范围是　　 ；
（2）已知点，，经过点，若存在一条长为的线段，线段上的任意一点都是的长为的弦的“锐切点”，直接写出的取值范围．
解：（1）①如图，
△为钝角三角形，则不符合题意；
△为锐角三角形，且是的切线，则符合题意；
△为锐角三角形，且是的切线，则符合题意，
故答案为：，；
②，
点在以点为圆心，2为半径的圆上，
设，，
则此时一定是的切线，只需满足△为锐角三角形，则△为直角三角形即可找到临界值，
如图，当时，
为圆的直径，即，
如图，当时，过点作于，
，
设，则，
，
，
，
，，
，
则，
解得，（不符题意，舍去），
则，
则当时，△为锐角三角形，即点是的弦的“锐切点”，
故答案为：；
（2）已知点，，经过点，则的半径为，
由题可知，，则△为等边三角形，
如图，过点分别作轴，交过点垂直于轴的直线于点，
连接，
，
，
，
则，，
当点位于，之间时，△为锐角三角形，此时，，
以点为圆心，分别以，为半径画圆，长为的线段在圆弧区域内时，线段上的任意一点都是的长为的弦的“锐切点”，
如图，与圆环内圆相切时，是线段在此范围内的最长状态，仅有此时存在使得条件成立时，圆的半径最小，连接；
，
，
在△ 中，，
解得（不符合题意，舍去），
即．

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