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2026年北京市丰台区中考数学一模试卷
一、选择题（共8小题，每小题2分，共16分）.
1．某几何体的三视图如图所示，该几何体是（　　）
A．长方体 B．球 C．圆锥 D．圆柱
2．六边形的外角和为（　　）
A． B． C． D．
3．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．2025年我国新能源汽车年产量约为辆，比2024年年产量增长约，若按照这个速度增长，则2026年新能源汽车年产量为（　　）
A．辆 B．辆 C．辆 D．辆
5．若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的值是（　　）
A． B． C．2 D．4
6．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚正面向上，另一枚反面向上的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，，分别以点，为圆心，长为半径画弧，在两侧交于点，，连接，则的长为（　　）
A．1 B． C．2 D．
8．如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数的图象上的动点，过点作轴、轴的平行线与反比例函数的图象分别交于点，，与交于点．给出下面四个结论：
①与可能相等；
②与一定不相等；
③△与△的面积一定相等；
④△与△的面积可能相等．
上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
二、填空题（共16分，每题2分）
9．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 　　 ．
10．分解因式：　　 ．
11．方程的解是　　 ．
12．如图，将一个直角三角板的直角顶点放在直尺一边上．若，则的度数为　　 ．
13．能说明命题“若，则”是假命题的一个实数的值为　　 ．
14．某校九年级共有300名女生．为了解她们800米成绩分布情况，从中随机抽取了30名女生的800米成绩，并根据《国家学生体质健康标准》整理如下：
等级 优秀 良好 及格 不及格
人数 8 15 4 3
根据以上信息，估计该校九年级300名女生中成绩达到良好及以上的人数是　　 ．
15．如图，在正方形中，为的中点，，垂足为．若，则△的面积为　　 ．
16．某校游泳馆有三条用来练习的泳道，其中两条是浅水泳道，一条是深水泳道．游泳社团对社团学员练习游泳的每次用时和泳道进行了调研，信息如下：
学员
每次用时 2 2.5 1.5 3 4 2.5 3.5 5
学员，，只能在浅水泳道练习，其他学员三条泳道都可以练习．每条泳道同一时段内只能供一位学员练习．一位学员的等待时间是指从其所在泳道第一位学员开始练习到这位学员开始练习的时间间隔（不考虑其他因素）．
（1）若只开放一条浅水泳道供学员，，各完成一次练习，且他们等待时间之和最少，则这三位学员练习的先后顺序依次是　　 ；
（2）若三条泳道同时开放练习，八位学员各完成一次练习，则他们等待时间之和最少为　　．
三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
17．计算：．
18．解不等式组：．
19．已知，求代数式的值．
20．如图，在菱形中，延长至点使，延长至点使，连接，，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，，求的长．
21．在平面直角坐标系中，函数的图象交轴于点，函数的图象经过点与点．
（1）求，的值；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出的取值范围．
22．用一张长为，宽为的矩形纸板制作长方体包装盒（纸板厚度忽略不计），图1为包装盒裁剪设计图，包含盒体、带有插舌的盒盖、翼盖，以及用于粘贴的粘口，其中插舌宽和粘口宽相等．沿图中实线剪开，按虚线折叠，经过粘贴制成如图2所示的包装盒，其上下底面均为正方形，高与底面边长的比为．求包装盒的高．
23．某学习小组为了研究不同经度、不同纬度地区的白昼时长变化规律，收集了北京及国内其他四个城市2025年二十四节气日白昼时长（单位：的数据，并进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
．北京及国内其他四个城市的地理经纬度：
．北京和武汉二十四节气日白昼时长的折线图：
．喀什二十四节气日白昼时长：
9.5 9.8 10.3 10.9 11.5 12.2 12.8 13.5 14.0 14.5 14.8 15.0
14.8 14.5 14.0 13.4 12.8 12.1 11.5 10.9 10.3 9.8 9.5 9.4
．北京及国内其他四个城市二十四节气日白昼时长的平均数、中位数和方差：
北京 敦煌 喀什 武汉 广州
平均数 12.16 12.15 12.16 12.14 12.14
中位数 12.10 12.15 12.10 12.10
方差 3.89 3.66 1.84 0.96
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中的值为　　 ；
（2）表中　　 1.84（填“”“ ”或“” ；
（3）下列推断正确的是　　 （填写序号）；
①北京全年白昼时长中，夏至最长，冬至最短，春分和秋分昼夜大致平分；
②敦煌二十四节气日白昼时长的平均数和中位数均为，所以全年白昼时长在至之间的天数一定比其他时长天数多；
③在经度相近的情况下，纬度越高的地区白昼时长的季节性变化越明显．
（4）手机的夜间护眼模式可以通过网络、卡获取位置信息，再接入专业网站获得所在地的日出、日落时刻数据，实现日落自动开启，日出自动关闭．若某学生利用假期从北京出发去广州旅游，到达广州后他的手机夜间护眼模式开启时间延后，关闭时间提前．据此判断该学生此次旅游在　　 期间（填“寒假”或“暑假” ．
24．如图，为的直径，点，在上，，过点作，交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）连接交于点．若，求的长．
25．某校兴趣小组在研究防水剂用量对某种材质的一次性餐具降解的影响时，查阅资料后选择降解失重率（单位：作为降解评价指标，，其中（单位：为餐具未降解时的质量，（单位：为餐具降解天数为时的质量．在实验过程中除防水剂用量外其余实验条件均相同．在降解温度为的条件下，记餐具降解天数为时，未添加防水剂的餐具降解失重率为，防水剂用量的餐具降解失重率为，防水剂用量的餐具降解失重率为．该小组记录的前16天的部分数据如下：
天 0 1 2 6 8 10 12 16
0 7.6 8.8 11.5 12.9 13.6 14.0 14.5
0 5.9 6.5 8.8 9.9 10.7 11.2 11.4
0 5.5 7.0 7.9 8.3 8.9 9.9
（1）实验测得防水剂用量的餐具在未降解时质量为，降解天数为1时质量为，直接写出表格中的值；
（2）在平面直角坐标系中，描出了各数对，所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接得到曲线，，请补全数对所对应的点，并画出对应曲线；
（3）根据以上实验数据和结果，回答下列问题：①防水剂用量和的餐具同时开始降解，在前16天内降解失重率的差持续超过的天数为　　 （结果保留整数）；
②小组成员在老师帮助下，进一步实验获得了当降解天数为4时，添加防水剂用量一定的该餐具在不同温度下的降解失重率：
温度 100 120 140 160
6.2 7.9 10.2 12.6
判断上面实验所用餐具的防水剂用量为　　 （填“”或“” ．当降解天数为4时，该餐具降解失重率要达到条件下未添加防水剂的降解失重率，温度至少是　　．
26．在平面直角坐标系中，抛物线经过点．
（1）用含的式子表示；
（2）已知点，点，点在线段上，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交抛物线于点，点与点不重合．
①当时，直接写出的长的最小值；
②已知在点从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而减小，求的取值范围．
27．如图，在△中，，，为的中点，过点作，交于点，点在线段上，且，连接．
（1）求证：平分；
（2）连接，将射线绕点顺时针旋转，交的延长线于点．
①依题意补全图形；
②用等式表示，与之间的数量关系，并证明．
28．在平面直角坐标系中，的半径为2，且与轴的正半轴交于点，对于的弦和弦外一点，给出如下定义：对于给定的角度，若在弦上存在两个不同的点，，使得，则称点是弦的关联点，称的长的最大值为点与弦的关联值．
（1）若与轴的正半轴交于点，在点，，中，点　　 是弦的关联点，该点与弦的关联值为　　 ；
（2）当弦的长为2时，若直线上存在弦的关联点，直接写出的取值范围；
（3）设弦的长为．对于每一个的值，点是弦的关联点，且点与弦的关联值为，记此时满足条件的所有点到弦中点的距离的最大值为．当点在上运动时，直接写出的取值范围．
参考答案
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1．某几何体的三视图如图所示，该几何体是（　　）
A．长方体 B．球 C．圆锥 D．圆柱
解：主视图和左视图是长方形，
几何体是柱体，
俯视图是圆，
该几何体是圆柱．
故选：．
2．六边形的外角和为（　　）
A． B． C． D．
解：多边形的外角和等于，
六边形的外角和为．
故选：．
3．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　）
A． B． C． D．
解：观察数轴可知：，
，，，，
，，选项的结论错误，选项的结论正确，
故选：．
4．2025年我国新能源汽车年产量约为辆，比2024年年产量增长约，若按照这个速度增长，则2026年新能源汽车年产量为（　　）
A．辆 B．辆 C．辆 D．辆
解：（辆，
故选：．
5．若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的值是（　　）
A． B． C．2 D．4
解：由题意，关于的方程有两个相等的实数根，
△．
．
故选：．
6．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚正面向上，另一枚反面向上的概率是（　　）
A． B． C． D．
解：列表如下：
正 反
正 （正，正） （正，反）
反 （反，正） （反，反）
共有4种等可能的结果，其中一枚正面向上，另一枚反面向上的结果有：（正，反），（反，正），共2种，
一枚正面向上，另一枚反面向上的概率为．
故选：．
7．如图，，分别以点，为圆心，长为半径画弧，在两侧交于点，，连接，则的长为（　　）
A．1 B． C．2 D．
解：连接，，
由作图过程可知，，为线段的垂直平分线，
，，
，，
．
故选：．
8．如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数的图象上的动点，过点作轴、轴的平行线与反比例函数的图象分别交于点，，与交于点．给出下面四个结论：
①与可能相等；
②与一定不相等；
③△与△的面积一定相等；
④△与△的面积可能相等．
上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
解：由题意，反比例函数的图象关于对称，且点是反比例函数的图象上的动点，
当在上时，，故①正确，可排除、选项，
对于③如图，分别延长、交轴于，交轴于，作轴于，
由反比例函数的几何意义，，，
，，
，故③正确，
综上，正确的是①③．
故选：．
二、填空题（共16分，每题2分）
9．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ．
解：式子在实数范围内有意义，则，
故实数的取值范围是：．
故答案为：．
10．分解因式： ．
解：，
，
．
故答案为：．
11．方程的解是 ．
解：方程两边同时乘，得，
去括号，得，
解得：，
检验：把代入，
分式方程的解为．
故答案为：．
12．如图，将一个直角三角板的直角顶点放在直尺一边上．若，则的度数为 ．
解：如图，
，
，
．
故答案为：．
13．能说明命题“若，则”是假命题的一个实数的值为（答案不唯一）　 ．
解：当时，，而，
说明命题“若，则”是假命题，
故答案为：（答案不唯一）．
14．某校九年级共有300名女生．为了解她们800米成绩分布情况，从中随机抽取了30名女生的800米成绩，并根据《国家学生体质健康标准》整理如下：
等级 优秀 良好 及格 不及格
人数 8 15 4 3
根据以上信息，估计该校九年级300名女生中成绩达到良好及以上的人数是　230　 ．
解：估计该校九年级300名女生中成绩达到良好及以上的人数是．
故答案为：230．
15．如图，在正方形中，为的中点，，垂足为．若，则△的面积为 ．
解：过作于，
在正方形中，，
，，
为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
在△与△中，
，
△△，
，
△的面积．
故答案为：．
16．某校游泳馆有三条用来练习的泳道，其中两条是浅水泳道，一条是深水泳道．游泳社团对社团学员练习游泳的每次用时和泳道进行了调研，信息如下：
学员
每次用时 2 2.5 1.5 3 4 2.5 3.5 5
学员，，只能在浅水泳道练习，其他学员三条泳道都可以练习．每条泳道同一时段内只能供一位学员练习．一位学员的等待时间是指从其所在泳道第一位学员开始练习到这位学员开始练习的时间间隔（不考虑其他因素）．
（1）若只开放一条浅水泳道供学员，，各完成一次练习，且他们等待时间之和最少，则这三位学员练习的先后顺序依次是，， ；
（2）若三条泳道同时开放练习，八位学员各完成一次练习，则他们等待时间之和最少为　　．
解：（1）若只开放一条浅水泳道供学员，，各完成一次练习，且他们等待时间之和最少，
越小的用时排在越靠前的位置，
顺序为，，；
故答案为：，，；
（2）等待时间之和最少，
越小的用时排在越靠前的位置，
规定前两条泳道为浅水泳道，
，
名学员可分为三排，
，用时最长，
，在前两条泳道第三排，
，，只能分配在两条浅水泳道，
在前两条泳道第二排其中一排，
越小的用时排在越靠前的位置，
剩余5名非受限学员用时从小到大排列为：1.5，2，2.5，2.5，3，
浅水泳道1依次安排学员、、；
浅水泳道2依次安排学员、、；
深水泳道依次安排学员、；
总等待时间为后位学员等待时间的总和，即：．
故答案为：15.5．
三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
17．计算：．
解：原式
．
18．解不等式组：．
解：由得，
，
由得，
，
所以不等式组的解集为．
19．已知，求代数式的值．
解：由得，，
则原式
．
20．如图，在菱形中，延长至点使，延长至点使，连接，，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，，求的长．
【解答】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形为菱形，
，
，
四边形是矩形；
（2）解：连接交于，延长交于，
四边形是菱形，
，
，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，，
△△，
，
．
21．在平面直角坐标系中，函数的图象交轴于点，函数的图象经过点与点．
（1）求，的值；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出的取值范围．
解：（1）当时，代入，得，
，
过、，
代入，得
，
解得，
故，；
（2）由（1）得：，
根据题意：时，，
①，
解得；
②即，
时，，
得，
综上：且．
22．用一张长为，宽为的矩形纸板制作长方体包装盒（纸板厚度忽略不计），图1为包装盒裁剪设计图，包含盒体、带有插舌的盒盖、翼盖，以及用于粘贴的粘口，其中插舌宽和粘口宽相等．沿图中实线剪开，按虚线折叠，经过粘贴制成如图2所示的包装盒，其上下底面均为正方形，高与底面边长的比为．求包装盒的高．
解：高与底面边长的比为，
设包装盒高为，底面边长为．
由图可得，，
，
，
，
解得，
．
答：包装盒的高为．
23．某学习小组为了研究不同经度、不同纬度地区的白昼时长变化规律，收集了北京及国内其他四个城市2025年二十四节气日白昼时长（单位：的数据，并进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
．北京及国内其他四个城市的地理经纬度：
．北京和武汉二十四节气日白昼时长的折线图：
．喀什二十四节气日白昼时长：
9.5 9.8 10.3 10.9 11.5 12.2 12.8 13.5 14.0 14.5 14.8 15.0
14.8 14.5 14.0 13.4 12.8 12.1 11.5 10.9 10.3 9.8 9.5 9.4
．北京及国内其他四个城市二十四节气日白昼时长的平均数、中位数和方差：
北京 敦煌 喀什 武汉 广州
平均数 12.16 12.15 12.16 12.14 12.14
中位数 12.10 12.15 12.10 12.10
方差 3.89 3.66 1.84 0.96
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中的值为　12.15　 ；
（2）表中　　 1.84（填“”“ ”或“” ；
（3）下列推断正确的是　　 （填写序号）；
①北京全年白昼时长中，夏至最长，冬至最短，春分和秋分昼夜大致平分；
②敦煌二十四节气日白昼时长的平均数和中位数均为，所以全年白昼时长在至之间的天数一定比其他时长天数多；
③在经度相近的情况下，纬度越高的地区白昼时长的季节性变化越明显．
（4）手机的夜间护眼模式可以通过网络、卡获取位置信息，再接入专业网站获得所在地的日出、日落时刻数据，实现日落自动开启，日出自动关闭．若某学生利用假期从北京出发去广州旅游，到达广州后他的手机夜间护眼模式开启时间延后，关闭时间提前．据此判断该学生此次旅游在　　 期间（填“寒假”或“暑假” ．
解：（1）喀什二十四节气日白昼时长的数据排序后，第12个和第13个数据分别为12.1和12.2，
，
故答案为：12.15；
（2）由折线图可知，北京的数据波动比武汉的大，故北京的二十四节气日白昼时长的方差比武汉的大，
故，
故答案为：；
（3）由折线图可知：北京全年白昼时长中，夏至最长，冬至最短，春分和秋分昼夜大致平分；故①正确；
平均数受极端值影响较大，中位数只能表示中间水平，故平均数和中位数相同不能说明全年白昼时长在至之间的天数一定比其他时长天数多；故②错误；
由经纬度图和折线图可知，在经度相近的情况下，纬度越高的地区白昼时长的季节性变化越明显；故③正确，
故答案为：①③；
（4）由题意，可知，广州的白昼时长比北京的长，结合广州和北京的经度相近，且北京的纬度高于广州，可知北京的白昼时长的季节性变化越明显，
故该学生此次旅游在“寒假”期间，
故答案为：寒假．
24．如图，为的直径，点，在上，，过点作，交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）连接交于点．若，求的长．
【解答】（1）证明：连接，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：，
设，，
，
，
，
△△，
，
，
，
，，
△△，
，
，
，
．
25．某校兴趣小组在研究防水剂用量对某种材质的一次性餐具降解的影响时，查阅资料后选择降解失重率（单位：作为降解评价指标，，其中（单位：为餐具未降解时的质量，（单位：为餐具降解天数为时的质量．在实验过程中除防水剂用量外其余实验条件均相同．在降解温度为的条件下，记餐具降解天数为时，未添加防水剂的餐具降解失重率为，防水剂用量的餐具降解失重率为，防水剂用量的餐具降解失重率为．该小组记录的前16天的部分数据如下：
天 0 1 2 6 8 10 12 16
0 7.6 8.8 11.5 12.9 13.6 14.0 14.5
0 5.9 6.5 8.8 9.9 10.7 11.2 11.4
0 5.5 7.0 7.9 8.3 8.9 9.9
（1）实验测得防水剂用量的餐具在未降解时质量为，降解天数为1时质量为，直接写出表格中的值；
（2）在平面直角坐标系中，描出了各数对，所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接得到曲线，，请补全数对所对应的点，并画出对应曲线；
（3）根据以上实验数据和结果，回答下列问题：①防水剂用量和的餐具同时开始降解，在前16天内降解失重率的差持续超过的天数为　6　 （结果保留整数）；
②小组成员在老师帮助下，进一步实验获得了当降解天数为4时，添加防水剂用量一定的该餐具在不同温度下的降解失重率：
温度 100 120 140 160
6.2 7.9 10.2 12.6
判断上面实验所用餐具的防水剂用量为　　 （填“”或“” ．当降解天数为4时，该餐具降解失重率要达到条件下未添加防水剂的降解失重率，温度至少是　　．
解：（1）实验测得防水剂用量的餐具在未降解时质量为，降解天数为1时质量为，
，
；
（2）如图，即为所求；
（3）①结合表格与图象，可知，从第8天开始，到第13天，降解失重率的差持续超过，
故在前16天内降解失重率的差持续超过的天数为（天，
故答案为：6；
②从图象可知，降解天数为4时，不添加防水剂时，该餐具降解失重率在，所用餐具的防水剂用量为时，该餐具降解失重率在之间，而所用餐具的防水剂用量为时，该餐具降解失重率在之间，
从实验数据，时，该餐的降解失重率为6.2，
判断上面实验所用餐具的防水剂用量为，
降解天数为4时，不添加防水剂时，该餐具降解失重率在，
当降解天数为4时，该餐具降解失重率要达到条件下未添加防水剂的降解失重率，温度至少是，
故答案为：，140．
26．在平面直角坐标系中，抛物线经过点．
（1）用含的式子表示；
（2）已知点，点，点在线段上，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交抛物线于点，点与点不重合．
①当时，直接写出的长的最小值；
②已知在点从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而减小，求的取值范围．
解：（1）将代入得，
，
解得；
（2）①由（1）知，
，
当时，，，
抛物线为和，
设点，，则，
则，，
，
，
，
此时开口向下对称轴为直线，
当时距离对称轴最远，此时为最小值，
即最小值为8；
②设点，，
则，．
，
点与点不重合，
，
且．
当时，
当或时，．
，
函数的图象开口向上，对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
当时，的长随的增大而减小，即的长随的长的增大而减小．
当时，的长随的增大而增大，即的长随的长的增大而增大．
．
，
．
当时，．
，
函数的图象开口向下，对称轴为直线，
当时，随的增大而增大，当，随的增大而减小，
当时，的长随的增大而增大，即的长随的长的增大而增大．
当时，的长随的增大而减小，即的长随的长的增大而减小．
．
，
，不合题意舍去．
当时，
当时，．
，
函数的图象开口向下，对称轴为，
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
当时，的长随的增大而增大，即的长随的长的增大而增大．
当时，的长随的增大而减小，即的长随的长的增大而减小．
．
，
；
当或时，．
，
函数的图象开口向上，对称轴为，
当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
当时，的长随的增大而减小，即的长随的长的增大而减小，
当时，的长随的增大而增大，即的长随的长的增大而增大．
．
．
，不合题意舍去．
综上所述：或．
27．如图，在△中，，，为的中点，过点作，交于点，点在线段上，且，连接．
（1）求证：平分；
（2）连接，将射线绕点顺时针旋转，交的延长线于点．
①依题意补全图形；
②用等式表示，与之间的数量关系，并证明．
【解答】（1）证明：点为的中点，
．
，
．
，
，
，
，
，
．
平分．
（2）解：①如图，
②数量关系：．
证明：连接并延长交于点．
点为的中点，，
，．
，
．
在△中，根据勾股定理，．
，
．
．
．
，
，．
是△ 的中位线．
．
，
．
，，
，
．
即．
，，
．
△△，
．
．
，
．
28．在平面直角坐标系中，的半径为2，且与轴的正半轴交于点，对于的弦和弦外一点，给出如下定义：对于给定的角度，若在弦上存在两个不同的点，，使得，则称点是弦的关联点，称的长的最大值为点与弦的关联值．
（1）若与轴的正半轴交于点，在点，，中，点 是弦的关联点，该点与弦的关联值为　　 ；
（2）当弦的长为2时，若直线上存在弦的关联点，直接写出的取值范围；
（3）设弦的长为．对于每一个的值，点是弦的关联点，且点与弦的关联值为，记此时满足条件的所有点到弦中点的距离的最大值为．当点在上运动时，直接写出的取值范围．
解：（1）如图1，
以为直径作，点在上（不包括，两点），
可得，不在上，在上，
，
故答案为：；
（2）如图2，
当点在第四象限处时，△是等边三角形，以为边作等边三角形，作△和△的外接圆，
除点和外，圆上的点是的关联点，
同样当点在第一象限的处时，作等边三角形和等边三角形的外接圆，
除点和外，圆上的点是的关联点，
当直线和圆切于点处时，
，，
，
此时，
当直线和圆切于点处时，
，
此时，
；
（3）如图3，
设的中点为，在上截取，作等边三角形和等边三角形，并作它们的外接圆，两圆交于点，
则，
设△的外接圆为，作于，连接，作，连接，
在△中，，，
，，
，
四边形是矩形，
，，
在△中，，
，
，
，
．

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