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安徽蚌埠禹王学校等2025-2026学年高二下学期5月阶段学业检测数学试题（人教版）
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.一项工作可以用两种方法完成，有5人只会用第一种方法完成，另有10人只会用第二种方法完成，现从中选出1人来完成这项工作，则不同选法的种数为（）
A. 60 B. 50 C. 16 D. 15
2.直线与直线之间的距离为（ ）
A. B. C. D.
3.已知的图象在点处的切线与直线垂直，则实数（ ）
A. B. C. D.
4.若为定义在上的奇函数，且不等式中等号能取到，则（ ）
A. 的最小值为2 B. 的最小值为-2
C. 的最大值为2 D. 的最大值为-2
5.已知分别为椭圆的上顶点和右顶点，为的上焦点，若中，，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
6.若等比数列的公比为，前项和为（为常数），则（ ）
A. 0 B. 2 C. 4 D.
7.已知随机变量均服从两点分布，若，且，则（ ）
A. B. C. D.
8.2026 年世界拳联世界杯中国站将于6 月15 日至21 日在贵阳举办，贵阳某高校计划派6 名同学参加4 个比赛项目的志愿服务工作，每个项目至少派1 名同学，每名同学仅参加一个项目，则不同派法的种数为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.关于的二项展开式，下列结论正确的是（）
A. 各二项式系数的最大值是 B. 常数项是
C. 各项系数之和为 D. 展开式中不含的项
10.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为的右支上任意一点，点，则（ ）
A.
B. 双曲线的渐近线方程为
C. 过点且与双曲线只有一个公共点的直线有3条
D. 的最小值为
11.如图1是平行四边形，将沿着折起（如图2），点分别在和上移动，且，记二面角为，下列选项正确的是（ ）
A. 当时，直线与所成角的余弦值为
B. 当时，的最小值为
C. 三棱锥体积的最大值是
D. 当，且的长最小时，点到平面的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数（为虚数单位），则 ．
13.已知圆的圆心在轴上，若圆过点且与直线相切，则圆的半径为 ．
14.已知函数．若存在，使得成立，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数，数列满足，且，设.
(1) 求证：数列是等差数列；
(2) 求数列的前项和.
16.(本小题15分)
为推动制造业高端化、智能化、绿色化发展，某国家重点支持的高端装备制造企业对其核心零部件生产线进行智能化升级改造，全面提升产品质量稳定性和可靠性.
（1）升级改造前，该企业从一批库存零件中随机抽取8个进行质量检测，发现其中有3个零件不合格.现从这8个零件中不放回地随机抽取4个，已知取出的4个零件中至少有一个不合格，求恰好有2个不合格的概率；
（2）经过智能化升级改造后，生产线的质量稳定性显著提升，单件产品的合格率达到，且各零件是否合格相互独立.为评估改造效果，质检部门从新生产线上随机抽取4个零件进行检测，记为抽到的合格零件个数，求的分布列、期望与方差.
17.(本小题15分)
抛物线：的焦点为，为坐标原点，过点的直线交抛物线于两点，且到抛物线准线的距离是．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若直线与抛物线的准线交于点，证明：轴；
(3)已知点，抛物线的准线与轴的交点为，若的面积与的面积相等，求直线的方程．
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥中，底面为矩形，，侧棱底面，且，点为棱的中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)点为棱上的动点（不与端点重合），是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
已知函数，其中．
(1)讨论函数的单调区间；
(2)若有两个零点，求实数的取值范围；
(3)设是（2）中的两个零点，且，证明：．
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】A
9.【答案】ACD
10.【答案】BD
11.【答案】BCD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：(1) 证明:由题意得=,且,
==+,
-=,
{}是首项为=1,公差为的等差数列；
(2)解:由(1)知=1+(n-1)=,即=,
===9(-),
=9(-+-++-)
=9(-)=.。
16.【答案】解：(1)设X为取出的不合格零件个数,事件A:取出的4个零件中至少有一个不合格;
事件B:取出的4个零件中恰好有2个不合格.
P(B)=P(X=2)===.
P()=P(X=0)===,
所以P(A)=1-P(X=0)=1-=.
因此P(B|A)===.
故在已知取出的4个零件至少有一个不合格的条件下,恰好有2个不合格的概率为.
(2)由题意,每件产品合格的概率p=,不合格的概率为1-p=,抽取个数n=4,且各零件质量相互独立,
因此Y服从二项分布Y~B(4,).
Y的可能取值为0,1,2,3,4,
P(Y=0)==11=,
P(Y=1)==4=,
P(Y=2)==6=,
P(Y=3)==4=,
P(Y=4)==.
故 Y的分布列为
期望E(Y)=np=4=,
方差D(Y)=np(1-p)=4=.
17.【答案】解：（1）抛物线：的焦点为，准线为，
因为焦点到抛物线准线的距离是，所以，
所以抛物线的方程为．
(1)
(2)
由题意直线过焦点，
设的方程为，，，
由，得，
，
，，
直线的斜率，所以直线的方程为，
抛物线的准线方程为，代入得，即，
又，所以点的纵坐标，
所以，即与的纵坐标相等，
所以直线平行于轴，从而轴．
（3）由（2）知的方程为，即，
点，点，
因为的面积与的面积相等，
所以到直线的距离相等，即，解得，
所以直线的方程为．

18.【答案】解：(1)连接与交于点，连接．
因为底面为矩形，所以为的中点．
又为的中点，所以在中，．
因为平面平面，
所以平面．
（2）因为底面为矩形，侧棱底面，
所以以点为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
由已知可得．
因为为的中点，所以，则．
设平面的法向量为．
由，
得
取，则，所以．
设直线与平面所成角为，则
所以直线与平面所成角的正弦值为．
（3）因为点在线段上，设，其中．
由得．
所以点的坐标为，

设平面的法向量为．
由，得，
令，则．
故平面的一个法向量为．
假设存在点使得平面平面，
则，即，
解得，满足，
所以存在满足条件的点（线段上靠近的四等分点），．

19.【答案】解：（1）函数定义域为．
当时，恒成立，在上恒成立．
在上单调递增，无单调递减区间；
当时，令得．
当时，；
当时，．
所以在上单调递增，在上单调递减．
综上：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
时，的单调递增区间为，单调递减区间为
（2）由（1）知，当时，在上单调递增，至多一个零点，不可能有两个零点．
故必有，此时在处取得极大值（也是最大值）．

当时，；当时，．
因此，要使得有两个零点，必须极大值，即，
解得．即实数的取值范围是．
(3)由（2）知，且是的两个零点，
满足，即．
两式相减得．
要证，即证．
整理得．
令，则，代入得．
即只需证明当时，．
，设函数的导函数为，
则，
故在上单调递增．
又，所以对恒成立．
于是在上单调递增，且，因此对恒成立．
从而原不等式成立，即．

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