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福建泉州市晋江市侨声中学等校2025-2026学年高二下学期第二次教学质量监测数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.对两个变量x和y进行回归分析，得到一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，下列统计量的数值能够刻画其经验回归方程的拟合效果的是（ ）　　　　　　　　　　　
A. 平均数 B. 相关系数r C. 决定系数R2 D. 方差
2.函数y=f（x）的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A. 3是f（x）的极小值
B. f（x）的极值点有3个
C. f（x）在区间（-∞，3）上单调递减
D. 曲线y=f（x）在x=1处的切线斜率小于零
3.的展开式中的常数项为（ ）
A. B. C. D.
4.已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
5.连续抛掷一枚质地均匀的硬币4次，每次正面向上得2分，反面向上得分，记总得分为，则（ ）
A. B. C. D.
6.已知x=2026是函数f（x）=（x-2025）（x-2026）（x-m）的一个极值点，则f（2027）=（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
7.我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”．后人称其为“赵爽弦图”．如图，现提供5种颜色给图中的5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同．记事件A：“区域2和区域4颜色不同”，事件B：“所有区域颜色均不相同”，则P(B|A)＝（ ）
A. B. C. D.
8.设函数f（x）=（x-a）（ex-b）（a,b∈R），若f（x）≥0恒成立，则的最大值为（　　）
A. -1 B. C. 1 D. e
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列结论正确的有（）
A. 5名工人各自在3天中选择一天休息，不同方法种数是
B.
C. 一批零件共有10个，有4个不合格，从中随机抽取3个零件进行检测，恰好有1个不合格的概率是
D. 若随机变量，则时，概率最大
10.市物价部门对5家商场的某商品一天的线上销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x（元）和销售量y（件）之间的一组数据如表所示：
价格x 9 9.5 10 10.5 11
销售量y 11 10 8 6 5
按公式计算，y与x的回归直线方程是：，相关系数，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 变量x，y线性负相关且相关性较强
C. 相应于点(9.5,10)的残差约为-0.4 D. 当x=8时，y的估计值为14.4
11.若函数f(x)=(1+x)-(1-x)+,则（）
A. f(x)的图象是中心对称图形 B. f(x)在(0,)上单调递减
C. f(x)的极小值点为 D. f(x)有两个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，则曲线在处的切线斜率为 .
13.将甲,乙,丙,丁,戊五名志愿者分配到四个特殊家庭开展帮扶,每个家庭至少安排一名志愿者,则志愿者甲恰好被安排在A家庭的不同安排方法数有 种.
14.，若不等式在上恒成立，则正数的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某机构为了解科技工作者对deepseek的使用情况与年龄是否有关，从甲市科技工作者中抽取了200人进行调查，得到下表.
使用 deepseek 不使用 deepseek 总计
年轻人（40周岁及40周岁以下） 100
中老年人（40周岁以上） 30 80
总计 200
(1)补全表中数据，根据小概率值的独立性检验，是否可以认为科技工作者对deepseek的使用情况与年龄有关联？
(2)将样本中使用deepseek的频率作为甲市科技工作者中使用该软件的概率，从甲市科技工作者中随机抽取3人，记为这3人中使用deepseek的人数，求的分布列和数学期望.
附：，其中.
0.010 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
16.(本小题15分)
已知函数，其中．
(1)当时，求函数的极小值；
(2)当时，恒成立，求的取值范围．
17.(本小题15分)
随着中美关税战的不断升级，某企业大大加强科技研发投入的力度，为确定下一年对某产品进行科技升级的研发费用，需了解该产品年研发费用（单位：千万元）对年销售量（单位：千万件）的影响.根据市场调研与模拟，对收集的数据进行初步处理，得到散点图及一些统计量的值如
30.5 15 15 46.5
表中，.
(1)根据散点图判断，与哪一个更适合作为年销售量关于年研发费用的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由）；
(2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程，并估计年研发费用为27千万元时年销售量的值；
(3)科技升级后，该产品的效率大幅提高，经试验统计得大致服从正态分布.企业对科技升级团队的奖励方案如下：若不超过50%，不予奖励；若超过50%，但不超过53%，每件产品奖励2元；若超过53%，每件产品奖励4元.记为每件产品获得的奖励，求（精确到0.01）.
附：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
②若随机变量，则，.
③.
18.(本小题17分)
已知在点处与轴相切.
(1)求的值；
(2)求的单调区间；
(3)若，求证.
19.(本小题17分)
在全球化的现代社会中，物流网络已成为支撑经济发展、促进区域协同的关键基础设施.物流能否准时送达，将影响到消费者的购物体验，而物流提前送达往往能够超越客户预期，显著提升满意度.某物流公司每天需要从干线枢纽发送包裹至目的地城市.从干线枢纽到目的地城市，有三种方案供选择：
方案A：选择高速支线，物流提前送达的概率为；
方案B：选择高速干线，物流提前送达的概率为；
方案C：选择国道线路，物流提前送达的概率为.
(1)物流公司每次随机选择一种方案，求物流提前送达的概率；
(2)物流公司研发了一套智能自适应调度系统，这套系统的核心算法如下：
①第1次，随机选择一种方案；
②从第2次起，若前一次物流提前送达，则沿用此方案；若前一次未提前送达，则在三种方案中随机选择一种.
记第n次选择方案A，B，C的概率分别为，，.
（i）求，，并证明：数列为等比数列；
（ii）判断智能自适应调度系统能否提高物流提前送达的概率.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】ACD
10.【答案】BD
11.【答案】ABC
12.【答案】 /
13.【答案】60
14.【答案】
15.【答案】解：（1）依题意，补全列联表如下：
使用deepseek 不使用deepseek 总计
年轻人（40周岁及40周岁以下） 100 20 120
中老年人（40周岁以上） 50 30 80
总计 150 50 200
零假设为：科技工作者对deepseek的使用情况与年龄无关联，
由列联表中的数据，得.
根据小概率值的独立性检验，可以推出不成立，即可以认为科技工作者对deepseek的使用情况与年龄有关联.
（2）样本中使用deepseek的频率为，由题意可知，
的可能取值为，
，，
，.
所以的分布列为：
0 1 2 3
或.

16.【答案】解：（1）当时，函数，求导得：
，
令，解得或，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
是极小值点，代入函数得．
（2）恒成立，
，不等式化为，
整理得，，问题转化为，
令，则，
，令分子为0，化简得
，整理得，
，，故，解得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
在处取得最大值：，
当时，，时，
且对所有，成立；
当时，处，不满足条件，
的取值范围为．

17.【答案】解：（1）根据散点图可判断，更适合作为关于的回归方程模型.
（2）由得：，即，
由表中数据得：，
所以，
所以，所以，
所以关于的回归方程为.
当时，，即年研发费用为27千万元时年销售量为8.1千万件.
（3）因为，，
所以
，
所以，
所以（元）.

18.【答案】解：（1）因为在点处与轴相切，，
所以，，解得.
（2）由（1）得，，定义域为，，
令，则，
令，则，
当时，，单调递增，所以，所以单调递减，
当时，，单调递减，，所以单调递减，
所以的单调递减区间为，无单调递增区间.
（3）因为，则，要证，
即证，
即证，
设，则，
即证，
即证，
令，，
又，
所以在上单调递增，，
即，故不等式成立.

19.【答案】解：（1）设选择方案A，B，C分别为事件A，B，C，物流提前送达为事件Z，
则，，，，
P（Z）=P（A）P（Z|A）+P（B）P（Z|B）+P（C）P（Z|C）=；
（2）（i）由①知道，
由②根据全概率公式，．
设第n次物流选择方案A，B，C为事件An，Bn，Cn第n次物流提前送达为事件乙，
则an=P（An），bn=P（Bn），cn=P（Cn），因为an+bn+cn=1，所以cn=1-an-bn，
所以．
由②根据全概率公式，P（An+1）=P（An）P（An+1|An）+P（Bn）P（An+1|Bn）+P（Cn）P（An+1|Cn），
注意到，，
而，
所以，
同理=．
注意到
=，
且，所以，
故为定值，即是以为首项，为公比的等比数列；
（ii）由（i）可求，
同理=，
所以，
联立解得，，
所以．
随着n的增大，P（Zn）增大，注意到，
所以当n≥2时，，
因此从第2次起，智能自适应调度系统能逐步提高物流提前送达的概率．
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