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江西重点中学2025-2026学年高一下学期5月学科素养阶段训练数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.复数的共轭复数为（ ）
A. B. C. D.
2.已知向量，若，则（ ）
A. -3 B. 0 C. 3 D. 4
3.（ ）
A. B. C. D.
4.已知函数的图象的两个相邻对称中心之间的距离为，则（ ）
A. 2 B. 4 C. 8 D. 12
5.已知，则（ ）
A. B. C. D.
6.若复数z满足（为虚数单位），则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7.如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，，则塔高为（ ）
A. B.
C. D.
8.对任意两个非零向量，，定义新运算：，表示向量，的夹角．若非零向量，满足，向量，的夹角，且是整数，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知为复数，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则或 D. 若，则
10.已知ABC中,角、B、C的对边分别为a,b,c,=+,则下列说法正确的是（）
A. a=4cB
B. B=4C
C. 若ABC是直角三角形,则b=c
D. 若ABC是锐角三角形,P是线段AC上一点,则的最小值为-A
11.已知，，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 的最小值为4
C. 的最小值为1 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.复数的虚部是 .
13.已知向量在向量上的投影向量为，若，则 .
14.已知函数在上单调递增，且在上有且仅有1个零点，则ω的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z=(-3m-2)+(-m-2)i,mR.
(1)若z在复平面内对应的点位于第四象限,求m的取值范围;
(2)当m=1时,z是关于x的方程+px+q=0的一个根,求实数p,q的值.
16.(本小题15分)
已知α为锐角，且tanα=2.
（1）求的值；
（2）求sin4α的值.
17.(本小题15分)
如图，在中，，，．点D，E分别为边AC上的三等分点，点M满足，设，．
(1)用，分别表示向量，；
(2)求；
(3)求的大小．
18.(本小题17分)
已知函数．
(1)求的最小正周期和单调递增区间；
(2)若任意的，均满足，求a的取值范围；
(3)设函数，求证：函数有且只有一个零点．
19.(本小题17分)
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，点P为的费马点．
(1)求证：是直角三角形；
(2)若的面积为，且，求的值；
(3)求的最小值．
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】BC
10.【答案】AC
11.【答案】ABD
12.【答案】
13.【答案】1
14.【答案】
15.【答案】解：(1)因为复数z在复平面内对应的点位于第四象限,
则，
解得-1< m<-,
即m的取值范围是(-1,-).
(2)当m=1时,z=-3-2i,
因为z是关于x的方程+px+q=0的一个根,
所以+pz+q=0,即+(-3-2i) p+q=0,
整理得(5-3p+q)+(-2p+12)i=0,
所以，解得.
16.【答案】
17.【答案】解：（1）因为，所以，，
因为点D，E分别为边AC上的三等分点，所以，，
所以，．
（2）由可知，的夹角为，
所以，
由（1）知，，
所以.
（3）由图形可知，的大小等于与的夹角，
由（1）（2）可得，，
，
所以，
又，则，故．

18.【答案】解：（1）由题意知
，
所以的最小正周期．
令，，
解得，，
即的单调递增区间为．
（2）因为，所以，
所以．
因为，所以，
所以，解得，
即a的取值范围是．
(3)，，
当时，单调递增，，，
所以在上有唯一零点；
当时，，，所以，无零点；
当时，，，所以，无零点．
综上，函数有且只有一个零点．

19.【答案】（1）因为，所以，即,
由正弦定理可得，故,即是直角三角形，
（2）的面积为则，
因为P为的费马点，所以，
设，所以，，
在中，由正弦定理可得，
在中，由正弦定理可得,
所以，所以即，
所以，即，
（3）因为P为的费马点，所以，
设所以，
在中，由余弦定理可得，
在中，由余弦定理可得,
在中，由余弦定理可得,
又，所以，
所以，
又所以即，
解得或（舍去），
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.

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