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福建2025-2026学年下学期第二阶段质量检测试卷八年级数学
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）
A. B.
C. D.
2.对如图所示的变化顺序描述正确的是（）
A. 轴对称、旋转、平移 B. 旋转、轴对称、平移
C. 平移、轴对称、旋转 D. 轴对称、平移、旋转
3.下列说法中，正确的是（）
A. 是不等式的一个解 B. 是不等式的解集
C. 不等式的解集是 D. 是不等式的解集
4.“x的3倍与5的差不大于9”用不等式表示为( )
A. 3x-59 B. 3x-59 C. 3x-5<9 D. 3x-5>9
5.如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（）
A. 的三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点
C. 三条高所在直线的交点 D. 三边的中垂线的交点
6.在中，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
7.已知一个等腰三角形一底角的度数为，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ）
A. B. C. D.
8.如图，一次函数(b是常数)，与正比例函数 (k是常数，) 的图象相交于点，则关于x的不等式 的解集是( )
A. B. C. D.
9.如图，从甲地到乙地有三条路线（每个拐角均为直角），分别是①甲→A→B→乙；②甲→C→B→乙；③甲→C→D→乙．则以下说法正确的是（ ）
A. 路线①最短 B. 路线②最短
C. 路线③最短 D. 三条路线的长度一样
10.如图，在中，，，平分交于点，为的中点，交于点，若，则的长为（ ）
A. 8 B. C. 16 D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.已知不等式组的解集如图所示，则该不等式组的整数解有 个．
12.如图，AB垂直平分CD，AC＝6，BD＝4，则四边形ADBC的周长是 ．
13.若实数，满足，，则的值是 ．
14.如图，在平面直角坐标系中，已知点，．将线段平移后得到线段，点在轴上，连接，．若的面积为，则四边形的面积是 ．
15.如图，蚂蚁点出发，沿直线行走4米后左转36°，再沿直线行走4米，又左转36°，……；照此走下去，他第一次回到出发点,一共行走的路程是 .
16.如图，直角中，，，，点是边上一点，将绕点顺时针旋转到点，则长的最小值是 ．
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
17.因式分解：
四、解答题：本题共8小题，共92分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题10分)
如图，，，．求证：．
19.(本小题10分)
解不等式：，并在下图的数轴上表示出它的解集．
20.(本小题10分)
在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三个顶点的位置如图所示．现将平移，使点与点重合．点，分别是点，的对应点．
(1) 请画出平移后的．
(2) 求的面积．
21.(本小题10分)
某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下表：
①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元
②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元
③购买5个篮球与购买6个足球花费相同
(1) 请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价；
(2) 若该学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球的时候花费最少，最少费用是多少？
22.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AB＝AC，过点B作BD⊥AC，垂足为D，且D是边AC的中点．
(1) 求证：△ABC是等边三角形；
(2) 尺规作图：在线段BD上求作点E，使得BE＝2DE（不写作法，保留作图痕迹）．
23.(本小题15分)
（综合与实践）
项目小组在超市包装部实习，帮助超市优化货品的包装问题．其中有一种规格的碗要装入包装盒，获得信息如下：
【信息1】碗以及叠放后的尺寸如图：（单位：cm）
【信息2】有两种长方体形状的包装盒尺寸（单位：cm）和成本（单位：元）如图：

【问题解决】
(1) 任务1：n个碗叠放后的总高度为L（单位：cm），请求出L与n的关系式．
(2) 任务2：叠放后的碗可横放，也可竖放，A盒最多可放入 个碗，B盒最多可放入 个碗．
(3) 任务3．若要买A盒或B盒若干分装上述规格的碗90个，问买这些盒子最少要多少元？
24.(本小题15分)
已知中，，，为内一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，．
(1) 如图，求证：；
(2) 如图，若，试说明：，，三点共线；
(3) 如图，在（）的条件下，当时，将沿翻折得到，交于点，连接．探究线段，与之间的数量关系，并说明理由．
25.(本小题12分)
在平面直角坐标系中中，直线：（）与轴交于点，与轴交于点，点为坐标系原点，且的面积为．
(1) 求的值．
(2) 已知点，直线：（）与相交于点，与轴相交于点，连接，，且的最小值为，点为轴上一动点，连接，将线段绕着点逆时针旋转得到线段．
①求点的坐标及直线的表达式．
②点运动的过程中，若点始终在的内部（包括边界），直接写出满足条件的的取值范围．
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】A
9.【答案】D
10.【答案】C
11.【答案】4
12.【答案】20
13.【答案】5
14.【答案】
15.【答案】40米
16.【答案】 /
17.【答案】解：
．

18.【答案】证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．

19.【答案】解：，
，
，
，
，
，
在数轴上表示如下图所示：

20.【答案】【小题1】
解：根据正方形网格可知，点向下平移2个单位长度，向右平移6个单位长度，
∴点均按此方式平移，平移后图像如下图所示：
；
【小题2】
解：，
，
．

21.【答案】【小题1】
解：设每个篮球 元，每个足球 元，
选择条件①②，由题意，得：
，
解得： ；
答：每个篮球60元，每个足球50元．
【小题2】
解：设篮球有 个，则足球有 个
，
解得： ，
设购买的总费用是 元，
，
，
随着 的减小而减小；
∵ 且 为整数，
当 最小值为4时， 最小值为540元；
答：当购买篮球4个的时候花费最少，费用最少为540元．

22.【答案】【小题1】
解：∵BD⊥AC，D是边AC的中点，∴BD是AC的垂直平分线，∴BA＝BC．∵AB＝AC，∴AB＝AC＝BC，∴△ABC是等边三角形；
【小题2】
如图，


23.【答案】【小题1】
解：设关系式为：，
将代入上式得：
解得：
则；
【小题2】
10
8
【小题3】
设A盒x个，B盒y个，据题意可得：
x，y为正整数且尽可能小，故方案有10种，分别为、、、、、、、、、
经计算买盒花费最少的方案是：
最少要（元）

24.【答案】【小题1】
证明：线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，即，
在和中，
，
，
；
【小题2】
证明：线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
，
，
由（）知，，
，
，
，，三点共线；
【小题3】
解：，理由如下：
如图，过点作于点，在取一点，使得，则，
由题意可得，，
，
，都是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
是由翻折得到的，
，，，，
，，
是等边三角形，是等腰直角三角形，
，，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，即，，三点共线，
，
，
是等边三角形，
，
在和中，
，
，
，
．

25.【答案】【小题1】
解：对于直线，
令得，故，
令得，故，
∵是直角三角形，
∴，
解得，
，
；
【小题2】
解：①由（1）得，
整理，
∴恒过轴上定点，
作定点关于的对称点，在上，
则垂直平分线段，
∴，
设，
则，，
解得：，
∴，
∵，
∴，符合题中所给最小值，
故是与的交点，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，即直线的表达式为；
联立方程：，
解得 ，
∴；
②如图，过点P作轴，与轴交于点，过点F作，
由旋转的性质，可得，
∵，
∴，
∴，
∴的坐标满足：，
即在直线 上运动，
令 ，则，解得：，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
令 ，则，解得：，
∵的三个顶点为、、，
∴直线 与边界的交点范围为： ，
代入得不等式：，
解得 ．

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