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2025-2026学年河北省唐山市丰南区高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.扇形的半径为2，圆心角为，则此扇形弧长为（　　）
A. B. C. D.
2.若复数z满足（3+z）i=5，则z对应的点位于复平面的（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.在边长为2的正三角形ABC中，=（　　）
A. 1 B. -1 C. 2 D. -2
4.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线A1B和AC所成的角等于（　　）
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
5.已知圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的侧面积与其表面积之比为（　　）
A. B. C. D.
6.已知△ABC中，a,b,c分别为角A，B，C的对边，已知，则△ABC的周长为（　　）
A. B. C. D.
7.某学校高一、高二、高三年级学生人数之比为3：2：2，利用分层抽样的方法抽取容量为35的样本，则从高一年级抽取学生人数为（　　）
A. 7 B. 10 C. 15 D. 20
8.一个袋子里装有2个红球和2个黑球，甲、乙每人随机不放回地取1个球，则互斥且不对立的两个事件是（　　）
A. “甲取出的球是红球”与“甲取出的球是黑球”
B. “甲取出的球是红球”与“乙取出的球是红球”
C. “甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球都是黑球”
D. “甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球中至少有1个红球”
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.某市高一年级举行了一次数学竞赛，从所有参加竞赛的1000名学生中随机抽取了一部分学生，经统计这部分学生的成绩全部介于50至100之间，将成绩数据按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分组，作出频率分布直方图如图所示，则（　　）
A. a=0.020
B. 估计全市高一年级数学竞赛成绩不低于80分的有300人
C. 估计全市高一年级数学竞赛成绩的平均分是75
D. 估计全市高一年级数学竞赛成绩的中位数约为73
10.下列说法正确的是（　　）
A. ，z∈C
B. i2024=-1
C. 若|z|=1，z∈C，则|z-2|的最小值为1
D. 若-4+3i是关于x的方程x2+px+q=0（p,q∈R）的根，则p=8
11.已知向量，=（cosα，sinα），则下列结论正确的是（　　）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若在上的投影向量为，则向量与的夹角为
D. 的最大值为3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知一个正方形的所有项点在一个球面上，若这个正方体的表面积为24，则这个球的表面积为______，
13.在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生20人，其平均数和方差分别为170和12，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为160和17，则估计出总样本的方差为 .
14.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角C1-BD-C的正切值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在如图所示的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，AD=2，，∠A1AB=∠A1AD=45°，∠BAD=60°，设，，.
（1）用，，表示，，；
（2）求异面直线AC与BD1所成角的正切值.
16.(本小题15分)
为了做好下一阶段数学的复习重心，某中学研究本校高三学生在市联考中的数学成绩，随机抽取了500位同学的数学成绩作为样本（成绩均在[80，150]内），将所得成绩分成7组：[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]，整理得到样本频率分布直方图如图所示.
（1）求a的值，并估计本次联考该校数学成绩的平均数和中位数；（同一组中的数据用该组数据的中间值作为代表，中位数精确到0.1）
（2）从样本内数学分数在[130，140），[140，150]的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出3人进行数学学习经验的分享，求选出的3人中恰有一人成绩在[140，150]中的概率.
17.(本小题15分)
某高校举行了一次环保知识竞赛，共有900名学生参加，为了解本次竞赛成绩的情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计.请你根据尚未完成的频率分布表和频率分布直方图，解答下列问题：
分组 频数 频率
[50，60） 4 0.08
[60，70） 0.16
[70，80） 10
[80，90） 16 0.32
[90，100]
合计 50
（1）填充频率分布表的空格（将答案直接填在表格内）；
（2）补全频率分布直方图；
（3）若成绩在[80，100]内的学生获得环保纪念勋章，请估计该校获得环保纪念勋章的学生有多少人.
18.(本小题17分)
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E为CC1的中点.
（1）求证：AC1∥平面BDE；
（2）当点F在棱DD1的中点时，求证：平面AC1F∥平面BDE.
19.(本小题17分)
已知点P是边长为2的菱形ABCD所在平面外一点，且点P在底面ABCD上的射影是AC与BD的交点O，已知∠BAD=60°，△PDB是等边三角形.
（1）求证：AC⊥PD；
（2）求点D到平面PBC的距离；
（3）若点E是线段AD上的动点，设直线PE与平面PBC所成的角为θ，求sinθ的取值范围.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】ABC
10.【答案】ACD
11.【答案】ACD
12.【答案】12π
13.【答案】39
14.【答案】
15.【答案】=+，=++，=+-；
．
16.【答案】解：（1）由题意知（0.012+0.028+0.022+0.018+0.010+a+0.002）×10=1，
解得a=0.008，
数学成绩的平均数为：
=85×0.12+95×0.22+105×0.28+115×0.18+125×0.10+135×0.08+145×0.02=107.4，
由频率分布直方图知，分数在区间[80，100）、[80，110）内的频率分别为0.34，0.62，
所以该校数学成绩的中位数m∈[100，110），
则（m-100）×0.028+0.34=0.5，解得≈105.7；
（2）抽取的5人中，分数在[130，140）内的有，
在[140，150]内的有1人，
记在[130，140）内的4人为a,b,c,d,在[140，150]内的1人为A，
从5人中任取3人，有（a,b,c），（a,b,d），（a,b,A），（a,c,d），（a,c,A），（a,d,A），（b,c,d），（b,c,A），（b,d,A），（c,d,A）共10种，
选出的3人中恰有一人成绩在[140，150]中，有（a,b,A），（a,c,A），（a,d,A），（b,c,A），（b,d,A），（c,d,A），共6种，
故所求概率为．
17.【答案】补全后的频率分布表见解答； 补全后的频率分布直方图见解答； 504人．
18.【答案】证明见解析；
证明见解析．
19.【答案】证明见解析；
；
．
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