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2025-2026学年广东省云浮市罗定中学城东学校高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.设复数z=，则其共轭复数的虚部为（　　）
A. B. C. D.
2.设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，-4），且⊥，，则x+y=（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3.设与都是非零向量，则“”是“向量与夹角为锐角”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.如图，在△ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为（　　）

A. B. C. D.
5.如图所示，平面四边形ABCD中，AB=4，AC=2，CD=，∠ADC=45°，∠DAB=150°，则BC的长为（　　）
A. B. C. D.
6.已知非零向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为（　　）
A. B. C. D.
7.已知函数（ω＞0）在[0，π]上恰有3个零点，则ω的取值范围是（　　）
A. B. C. D.
8.滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而名传千古，流芳后世.如图，在滕王阁旁地面上共线的三点A，B，C处测得阁顶端点P的仰角分别为30°，60°，45°，且AB=BC=90米，则滕王阁的高度OP=（　　）米.
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知复数z=（a-i）（3+2i）（a∈R）的实部为-1，则下列说法正确的是（　　）
A. 复数z的虚部为-5 B. 复数z的共轭复数
C. |z|= D. z在复平面内对应的点位于第三象限
10.已知非零平面向量，，下列结论正确的是（　　）
A. 若，满足，且，同向，则
B. 若是平面所有向量的一组基底，且不是基底，则实数k=±2
C. 若存在非零向量使得，则
D. 若向量和满足，与的夹角为60°，则
11.如图是函数的部分图像，则=（　　）
A.
B.
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，满足，，与的夹角为60°，，则λ= ．
13.已知复数是纯虚数，则实数b=______．
14.如图，某海轮以60 nmile/h的速度航行，若海轮在点A测得海面上油井P在南偏东60°，向北航行20min后到达点B，测得油井P在南偏东30°，海轮改为沿北偏东60°的航向再行驶40min到达点C，则P，C间的距离是______nmile．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在复平面内，复数z对应的点的坐标为（m,-1）（m∈R），且为纯虚数.
（1）求m的值；
（2）复数求在复平面对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.
16.(本小题15分)
已知平面向量，满足，，．
（1）求；
（2）若向量与的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．
17.(本小题15分)
如图所示，有一艘缉毒船正在A处巡逻，发现在北偏东75°方向、距离为60海里B处有毒贩正驾驶小船以每小时海里的速度往北偏东15°的方向逃跑，缉毒船立即驾船以每小时海里的速度前往缉捕.
（1）求缉毒船经过多长时间恰好能将毒贩抓捕；
（2）试确定缉毒船的行驶方向.
18.(本小题17分)
已知函数.
（1）求f（x）的对称中心；
（2）将函数f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g（x）.设为角α终边上的一点，求g（2α）.
19.(本小题17分)
已知△ABC为锐角三角形，a,b,c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且bcosC+ccosB=2acosA.
（1）求A；
（2）若b+c=5，△ABC的面积为，求△ABC的周长；
（3）若a=1，求△ABC周长的取值范围.
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】ACD
10.【答案】BD
11.【答案】BC
12.【答案】4
13.【答案】4
14.【答案】20
15.【答案】3；
，
16.【答案】解：（1）∵
得，
则，
得．
（2）由向量与的夹角为锐角，可得．即有λ＞-4．
而当向量与同向时，可知λ=0，
综上所述λ的取值范围为（-4，0）∪（0，+∞）．
17.【答案】解：（1）由题意可得∠ABC=15°+180°-75°=120°，
设时间为t小时缉毒船恰好能将毒贩抓捕，此时AC=15t海里，BC=t海里，
AB=60海里，
由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB BCcos∠ABC，
即（15t）2=602+[15（-1）t]2-2×60×15（-1）t×（-），
整理可得（+1）t2-2（-1）t-8=0，
解得t=2（负值已舍），
即经过2小时缉毒船恰好能将毒贩抓捕；
（2）由（1）可得AC=30，BC=30（-1），
由正弦定理可得=，
即=，
可得sin∠BAC=，
即∠BAC=15°，
所以∠NAC=75°-15°=60°，
即缉毒船的行驶方向为北偏东60°方向．
18.【答案】解：（1）函数=
=，
令，解得，
所以f（x）的对称中心为．
（2）因为为角α终边上的一点，，
所以，，
又因为函数f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），可得，
，
又因为，，
所以，
=
=．

19.【答案】
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