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2025-2026学年广西南宁市宾阳中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD的形状一定是（　　）
A. 梯形 B. 平行四边形 C. 菱形 D. 矩形
2.已知a,b∈R，（a+3i）+（1-i）=5+bi,则ab=（　　）
A. -4 B. 7 C. 8 D. 6
3.如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断正确的是（　　）
A. 直线AB与CD平行 B. 直线AB与CD相交
C. A，B，C，D四点中可以有三点共线 D. A，B，C，D四点中不存在三点共线
4.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论错误的是（　　）
A. 平行四边形在直观图中仍是平行四边形 B. 三角形在直观图中仍是三角形
C. 菱形的直观图是菱形 D. 梯形的直观图是梯形
5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线l（与直线BC不重合）⊥平面AB1，则（　　）
A. BC⊥l B. BC∥l
C. BC与l异面但不垂直 D. BC与l相交但不垂直
6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为3，E为棱BB1上靠近B1的三等分点，则平面AED1截正方体ABCD-A1B1C1D1的截面面积为（　　）
A. B. C. D.
7.已知向量，满足，设与的夹角为θ，则cosθ的最小值为（　　）
A. B. C. D.
8.如图，在三V-ABC中，VA=VB=BC=AC=AB=2，二面角V-AB-C的余弦值为，则VC的长为（　　）
A. 1
B. 2
C.
D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知复数z满足（1-i）z=2i,则下列关于复数z的结论正确的是（　　）
A. B. 复数z的共轭复数为
C. 复平面内表示复数z的点位于第四象限 D. 复数z是方程x2+2x+2=0的一个根
10.已知△ABC的外接圆圆心为O，且，，下列结论正确的是（　　）
A.
B.
C.
D. 向量在向量上的投影向量为
11.如图，在正四棱锥P-ABCD中，PA=AB=2，E，F，G分别是AB，BC，PB的中点，则（　　）
A. 平面GEF∥平面PAC
B. EF⊥DG
C. 三棱锥P-AGC的体积为
D. 四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为8π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，AB，CD是圆柱上、下底面圆的直径，四边形ABCD是边长为2的正方形，E是底面圆周上的一点，AE=1.则点A到平面DBE的距离为 .
13.如图，A，B两点分别在河的两侧，为了测量A，B两点之间的距离，在点A的同侧选取点C，测得∠ACB=45°，∠BAC=105°，AC=100米，则A，B两点之间的距离为 米.
14.当动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DC上运动时，异面直线D1P与BC1所成角的取值范围 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z1=a+（4-a）i,z2=4+（2a-5）i（a∈R，i是虚数单位）.
（1）若z2的实部与z1的模相等，求实数a的值.
（2）若复数z1+z2在复平面上的对应点在第四象限，求实数a的取值范围.
16.(本小题15分)
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=2AD=2，M是CD的中点.
（1）证明：B1D∥平面BC1M；
（2）求直线B1D与平面BCC1B1所成角的正弦值.
17.(本小题15分)
设，函数y=f（x）图像的两条相邻对称轴之间的距离为π.
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，设角A、B及C所对边的边长分别为a、b及c,若，，，求角C.
18.(本小题17分)
如图所示，设Ox,Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对（x,y）叫做向量在坐标系xOy中的坐标.
（1）设，，写出，在坐标系xOy中的坐标，并求的值.
（2）已知，，其中k∈R，若，求实数k的值.
（3）在三角形ABC中，若A（1，2），B（-1，1），C（2，-2），求cosA.
19.(本小题17分)
已知在边长为2的正方形SG1G2G3中，E，F分别是线段G1G2，G2G3上的动点（不含端点），且EG2+G2F=2.
（1）当EG2=G2F时，如图1沿SE，SF和EF把这个正方形折成一个四面体如图2，使得G1，G2，G3三点重合于点G，则在四面体S-EFG中：
（i）证明：SG⊥EF；
（ii）求二面角S-EF-G的平面角的余弦值.
（2）如图3，若正方形的对角线G1G3与SE和SF分别交于点P，Q两点，证明：三条线段G1P，PQ和QG3一定可以构成一个三角形，并且这个三角形中一定有一个角等于60°.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】AD
10.【答案】ABD
11.【答案】ABD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】a=0或a=4 （-4，1）
16.【答案】证明：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，
连接B1C交BC1于点E，则点E为B1C的中点，
连接EM，则EM∥B1D，
且EM 平面BC1M，B1D 平面BC1M，
所以B1D∥平面BC1M
17.【答案】解：f（x）=sin2+cos
=
=，
因为函数y=f（x）的图像相邻两条对称轴之间的距离为π，
所以T=2π，
所以，得ω=1，
所以；
（2）由，得，
所以，
因为A∈（0，π），则A∈，
所以，解得，
因为，，
由正弦定理得，得，
因为a＞b,所以，
所以，
C=．
18.【答案】的坐标为（0，2），的坐标为（4，0），4
19.【答案】（i）证明过程见解答．
（ii） 证明过程见解答
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