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2025-2026学年福建省三明市第一中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.复数（i是虚数单位）在复平面上所对应的点位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知，则=（　　）
A. 15 B. -1 C. 2 D. 3
3.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,若a=2，A=45°，B=75°，则c=（　　）
A. B. 2 C. D. 3
4.已知圆锥母线长为，底面半径为2，则经过两条母线的平面截此圆锥所得截面的面积最大值为（　　）
A. 3 B. 2 C. D.
5.点O在平行四边形ABCD所在平面外，AC与BD交于点M，则=（　　）
A. B. C. D.
6.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2BC=2CC1=4，E，F分别为BC，CC1的中点，点P在矩形BCC1B1内运动（包括边界），若A1P∥平面AEF，则动点P的轨迹长度为（　　）
A. 2 B. C. D.
7.△ABC中，a、b、c分别是内角A、B、C的对边，若且，则△ABC的形状是（　　）
A. 有一个角是的等腰三角形 B. 等边三角形
C. 三边均不相等的直角三角形 D. 等腰直角三角形
8.O为平面内的定点，，，的夹角为120°，，，则x+y的最大值为（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.α，β为两个不同的平面，m,n为两条不同的直线，下列说法中正确的是（　　）
A. 若α∥β，m α，则m∥β B. 若m∥α，n α，则m∥n
C. 若m⊥α，m∥n,则n⊥α D. 若α⊥β，α∩β=n,m⊥n,则m⊥β
10.已知四边形ABCD是边长为2的正方形，M为正方形ABCD所在平面上一点，且，则（　　）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若x+y=1，则
D. 若x+y=1，则的取值范围是[-2，0]
11.已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，G，M，N分别为AB，BC，A1C1的中点，若AA1=2，∠A1AB=∠A1AC=60°，则（　　）
A. AA1⊥BC
B. 三棱柱ABC-A1B1C1的体积为
C. A1M与AN所成的角的余弦值为
D. 平面MNG截三棱柱所得的截面面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某校为了解学生的学习情况，采用比例分配的分层随机抽样的方法，从高一1000人、高二1200人、高三1400人中抽取若干人进行问卷调查，若高二被抽取30人，则高三被抽取 人.
13.已知球的半径为10，有一个平面α截球所得的截面的面积是36π.则球心到这个平面α的距离为 .
14.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，球O与正方体的各面均相切，P为球O上一点，M，N分别为AC，AD1上的点，则的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知是平面内两个不共线的向量，，且A，C，E三点共线.
（1）求λ的值；
（2），已知点D的坐标为（2，3），若四边形ABCD为平行四边形，求点A的坐标.
16.(本小题15分)
现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥.P-A1B1C1D1，下部是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1（如图所示），且正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍.
（1）若AB=6，PO1=2，求该几何体的体积.
（2）若正四棱锥的侧棱长为6，PO1=2，
①求正四棱锥P-A1B1C1D1的侧面积.
②若Q是线段BB1上的动点，求AQ+QC1的最小值.
17.(本小题15分)
已知△ABC，其内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且2c+b=2acosB.
（1）求A；
（2）c=3，，D是BC的中点，求AD的长.
18.(本小题17分)
已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，平面ABCD外一点P在平面ABCD上的射影是AC与BD的交点O，△PDB是等边三角形.
（1）求证：AC⊥平面PBD；
（2）求点D到平面PBC的距离；
（3）若点E是线段AD上的动点，问：点E在何处时，直线PE与平面PBC所成的角最大？求出最大角的正弦值，以及此时线段DE的长.
19.(本小题17分)
在经典欧氏空间中确定一个点位置所需要的独立坐标个数（自由度）即维度.例如，0维（点）的自由度f=0，不需要任何坐标就能确定位置；1维（直线）的自由度f=1，只需1个独立坐标x,2维（平面）的自由度f=2，需2个独立坐标（x,y）；3维（空间）的自由度f=3，需3个独立坐标（x,y,z）：……这是拓扑维度（线性代数维度）的本质定义，即独立自由度的数量.但是用自由度定义出来的永远是整数维，只能描述规整的欧氏几何体.
而科赫曲线、肺泡、谢尔宾斯基海绵这类分形体（指局部和整体具有高度雷同的结构），是嵌入高维空间的低维拓扑流形.常见的肺泡曲面其拓扑自由度为2（膜结构），但其豪斯多夫维（其中k为分形体的缩放因子，N为迭代生成囊泡数，即甲乙两分形体的线性相似比为1：k,用kD=N个甲可组合或堆叠得到乙，则认为该几何体为D维豪斯多夫空间体.事实上由于人基因的多元性，肺泡的豪斯多夫公认实验区间为：2.17～2.97）.豪斯多夫维描述的是几何体的空间填充复杂度.
如上图，两直线a与b的长度分为1与2，故它们的线性相似比就为1：2，即a是b缩放一半后所得，故缩放因子k=2，且两段（N=2）a可并排组合得到b,故直线的豪斯多夫维为1维.
（1）猜想正方形与正方体的豪斯多夫维，并给出适当解释；
（2）求n阶科赫曲线的豪斯多夫维（保留2位小数点）；
（3）取棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，第1次迭代：将每条棱三等分，把正方体分割为27个全等的小正方体，挖去正中心1个与6个面中心共7个小正方体，剩余20个小正方体；重复该操作不断迭代，即可得到谢尔宾斯基海绵.
①经过一次迭代后，求谢尔宾斯基海绵剩余几何体的体积；
②经过一次迭代后，假设谢尔宾斯基海绵体的空腔内部有一个半径可变的小球，求该小球体积最大值；
③经过n次迭代后，谢尔宾斯基海绵的体积呈现何种变化，请说明理由.
参考数据：ln2=0.693，ln3=1.098
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】AC
10.【答案】AC
11.【答案】ACD
12.【答案】35
13.【答案】8．
14.【答案】
15.【答案】 （7，2）
16.【答案】312 ①；②
17.【答案】； ．
18.【答案】证明：∵点P在底面ABCD上的射影是AC与BD的交点O，
∴PO⊥平面ABCD，
∵AC 平面ABCD，∴PO⊥AC，
∵四边形ABCD为菱形，∴BD⊥AC，
∵PO∩BD=O，PO，BD 平面PBD，
∴AC⊥平面PBD 点E在线段AD上靠近点D的4分点处，此时，
19.【答案】正方形与正方体的豪斯多夫维分别为2，3，解释如下：
当正方形边长变为原来，则需4个小正方形才能组成原本的大正方形，
即k=2，N=4，从而；当正方体棱长变为原来，则需8个小正方体才能组成原本的大正方体，
即此时k=2，N=8，从而．
则正方形与正方体的豪斯多夫维分别为2，3 1.26 ①；②；③注意到每次迭代后，体积均会变为原本体积的，则迭代n次后，体积为，
则当n逐渐增大时，因，谢尔宾斯基海绵的体积会逐渐接近于0
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