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2025-2026学年湖南省永州市东安县跨世纪天成高级中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.=（　　）
A. 0 B. C. D.
2.已知向量，，P是线段AB的中点，则P点的坐标是（　　）
A. （2，-4） B. （3，1） C. （-2，4） D. （6，2）
3.已知，，，则实数x=（　　）
A. 2 B. -2 C. D.
4.已知z=2-i，则z（+i）=（　　）
A. 6-2i B. 4-2i C. 6+2i D. 4+2i
5.已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积之比（　　）
A. 1：1 B. 2：1 C. 3：2 D. 2：3
6.已知非零向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为（　　）
A. B. C. D.
7.如图，为了测量河对岸的塔高AB，某测量队选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D.现测量得∠CDB=120°，CD=30米，在点C，D处测得塔顶A的仰角分别为30°，45°，则塔高AB=（　　）
A. 30米
B. 米
C. 米
D. 米
8.课本第46页上在用向量方法推导正弦定理采取如下操作：如图1在锐角中，过点A作与垂直的单位向量，因为，所以由分配律，得=，即也即asinC=csinA.
请用上述向量方法探究，如图2直线l与 的边AB，AC分别相交于点D，E.设AB=c，BC=a，CA=b，∠ADE=θ.则θ与△ABC的边和角之间的等量关系为（　　）
A. acos（B-θ）+bcos（A+θ）=ccosθ
B. acos（B+θ）+bcos（A-θ）=ccosθ
C. asin（B-θ）+bsin（A+θ）=csinθ
D. asin（B+θ）+bsin（A-θ）=csinθ
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列关于几何体的描述错误的有（　　）
A. 有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
B. 有两个面平行，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
C. 长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体
D. 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,则下列结论不正确的是（　　）
A.
B. 若A＞B，则sinA＞sinB
C. 若A＞B，则cosA＞cosB
D. 若sin2A+sin2B＞sin2C，则三角形为锐角三角形
11.已知向量，满足，，且，则（　　）
A. B.
C. 与的夹角为 D. 与的夹角为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设i为虚数单位，若（a-2）+（2a-1）i为纯虚数，则实数a= .
13.正四棱台的上、下底面的边长分别是2cm和3cm,高是cm,则它的体积是 cm3.
14.已知△ABC是边长为2的正三角形，O，D分别为边AB，BC的中点，则若，则x+y= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=2，C=．
（1）若，求c；
（2）若△ABC的面积，求b，c．
16.(本小题15分)
已知、是平面直角坐标系中的两个向量，其中.
（1）若点A的坐标是（-2，-1），，求M的坐标；
（2）若，且与垂直，求与的夹角θ.
17.(本小题15分)
（1）已知z1=1+i,z2=2-i,且，求z；
（2）已知-3-2i是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根，求实数p,q的值.
18.(本小题17分)
在△ABC中，已知AB=2，AC=4，∠BAC=60°，E，F分别为AC，BC上的点，且.
（1）求；
（2）求证：AF⊥BE；
（3）若P是线段AF上的动点，满足均为正常数，求γμ的最大值.
19.(本小题17分)
已知O为坐标原点，对于函数f（x）=asinx+bcosx,称向量为函数f（x）的相伴特征向量，同时称函数f（x）为向量的相伴函数.
（1）记向量的相伴函数为f（x），若，且求sinx的值；
（2）设，试求函数g（x）的相伴特征向量，并求出与方向相同的单位向量；
（3）已知A（-3，2），B（3，10），为函数h（x）的相伴特征向量，，请问在y=φ（x）的图象上是否存在一点P，使得若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】A
9.【答案】ABC
10.【答案】ACD
11.【答案】AC
12.【答案】2
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：（1）由 ，得．
（2），即，得b=2
又a=2，，故△ABC为等边三角形，所以c=2．
16.【答案】（0，3） θ=π
17.【答案】z= p=12，q=26
18.【答案】；
证明见解析；
．
19.【答案】解：（1）由题知，向量的相伴函数为，
当时，sin（x+）=，
，则，所以，
所以
=；
（2）因为
==sinx+3cosx,
故函数g（x）的相伴特征向量，
则与方向相同单位向量为，3）=（，）；
（3）因为函数h（x）的相伴特征向量，
所以，
，
设点，又A（-3，2），B（3，10），
所以，
若，则，
即x2-9+cos2-12cos+20=0，（cos-6）2=25-x2，
因为，故，
又25-x2≤25，故当且仅当x=0时，成立，
故在y=φ（x）的图象上存在一点P（0，1），使得．
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