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2025-2026学年福建省厦门市海沧区实验中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知等比数列{an}满足a3=7，a5=28，则a4=（　　）
A. ±14 B. 14 C. -14 D. 1
2.已知x与y之间的一组数据：
x 1 2 3 4
y 5.5 4 3.5 3
若y与x满足回归方程y=x+5，则=（　　）
A. B. C. D.
3.用0，1，2，3四个数字组成没有重复数字的四位偶数有（　　）个.
A. 16 B. 12 C. 10 D. 8
4.一袋中有大小相同的3个红球和2个白球，若从中不放回地取球2次，每次任取1个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到白球”为事件B，则P（B|A）=（　　）
A. B. C. D.
5.在空间直角坐标系中，直线l经过点O（0，0，0），且其方向向量=（1，0，1），则点M（0，1，1）到直线l的距离为（　　）
A. B. C. 3 D.
6.已知（1+ax）（1+x）5的展开式中x2的系数为5，则a=（　　）
A. -4 B. -3 C. -2 D. -1
7.已知双曲线的渐近线与以（2，0）为圆心，面积为π的圆相切，则双曲线的离心率为（　　）
A. B. C. D.
8.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱D1D的中点，点F在棱B1B上，且满足B1F=2BF，在棱C1C上确定一点G，使A、E、G、F四点共面，由平面向量基本定理可知此时，则x+y=（　　）
A.
B. 1
C.
D. 2
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列说法正确的是（　　）
A. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则样本相关系数r的值越接近于1
B. 回归分析中，决定系数R2越大，说明残差平方和越小，拟合效果越好
C. 若随机变量ξ～N（1，σ2），且P（ξ＜2）=0.8，则P（0＜ξ＜2）=0.6
D. 若两个随机变量ξ，η满足η=2ξ+1，且D（ξ）=2，则D（η）=8
10.已知直线l：x-y+1=0，圆C：x2+y2-8x-2y+1=0，则下列说法正确的是（　　）
A. 圆C的圆心坐标为（4，1） B. 直线l与圆C相交
C. 圆（x-1）2+y2=1与圆C相切 D. 圆C上存在4个点到直线l的距离为1
11.已知函数，则下列结论正确的是（　　）
A. e是函数f（x）定义域内的极小值点
B. f（x）的单调减区间是（0，e）
C. 若方程f（x）=m（m∈R）有两个不同的实根，则m＞e
D. f（x）在定义域内无最小值，无最大值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知抛物线C：y2=20x,则抛物线C的准线方程为 .
13.已知数列{an}满足，a1=3，则an= .
14.已知函数在（a,11-a2）上有最大值，则a的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设等差数列{an}的前n项和为Sn，且.
（1）求{an}的通项公式；
（2）若，求数列{bn}的前n项和Tn.
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=3，E为AD的中点.
（1）证明：平面PAD⊥平面PAB；
（2）求直线PC与平面PBE所成角的正弦值.
17.(本小题15分)
某学校对学生是否喜欢跑步锻炼进行调查，随机抽取男女学生共n人进行问卷调查，统计得到如下2×2列联表：
喜欢 不喜欢 合计
男生 100 20
女生 20
合计 n
若采用比例分配的分层随机抽样从这n人中抽取5人，则有男生3人，女生2人.
（1）求n以及这n人中喜欢跑步锻炼的概率；
（2）根据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为学生喜欢跑步锻炼与其性别有关？
（3）用样本估计总体，将频率视为概率，从该校全体学生中随机抽取2人，记其中喜欢跑步锻炼的人数为X，求X的数学期望.
附：，
α 0.050 0.010 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
18.(本小题17分)
已知是双曲线C：的一条渐近线，点（2，2）在C上.
（1）求C的方程.
（2）已知直线l的斜率存在且不经过原点，l与C交于A，B两点，AB的中点在直线y=2x上.
（i）证明：l的斜率为定值.
（ii）若M（1，1），△MAB的面积为，求l的方程.
19.(本小题17分)
设函数f（x）=e2x-2ax.
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）证明：当a＞0时，.
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】BCD
10.【答案】ABD
11.【答案】ACD
12.【答案】x=-5
13.【答案】
14.【答案】（-3，2）
15.【答案】an=2n+1； Tn=．
16.【答案】证明：底面ABCD为矩形，
所以AB⊥AD，
又因为PA⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，所以PA⊥AB，
又PA∩AD=A，PA，AD 平面PAD，
所以AB⊥平面PAD，
又AB 平面PAB，
可知平面PAD⊥平面PAB
17.【答案】200，0.8 不能认为学生喜欢跑步锻炼与其性别有关
18.【答案】解：（1）由题可得，
所以C的方程为．
（2）（i）证明：设l：y=kx+t（t≠0），
由，得（2-k2）x2-2ktx-t2-4=0，
由题意得2-k2≠0，Δ=（-2kt）2-4（2-k2）（-t2-4）=8（t2-2k2+4）＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点的坐标为（x0，y0），则，
所以，，
因为AB的中点在直线y=2x上，所以y0=2x0，即，
因为t≠0，所以k=1，故l的斜率为定值．
（ii）由（i）得l的方程为x-y+t=0，
且|AB|=
==4，
又点M到的距离，
所以，
解得t=±1，所以l的方程为x-y±1=0．
19.【答案】y-1=0 当a≤0时，f（x）在R上单调递增；当a＞0时，f（x）在上单调递减，在上单调递增 由（2）可知，当a＞0时，f（x）在处取得最小值，且a，
要证，即证，移项可得a2-2alna-2lna+2a-3≥0，
令g（a）=a2-2alna-2lna+2a-3，a＞0，
对g（a）求导，可得，
令，对h（a）求导，可得，
因为，a2＞0，所以h'（a）＞0，即h（a）在（0，+∞）上单调递增，
又因为h（1）==0，所以当0＜a＜1时，h（a）＜0，即g'（a）＜0，g（a）单调递减；当a＞1时，h（a）＞0，即g'（a）＞0，g（a）单调递增．
所以g（a）在a=1处取得最小值，-3=0，
因为g（a）≥g（1）=0，所以a2-2alna-2lna+2a-3≥0，即
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