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2025-2026学年安徽省芜湖市第一中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.定义在R上的函数f（x），若，则=（　　）
A. -1 B. C. 2 D. 4
2.（x-2y+2z）3展开式中，xyz的系数为（　　）
A. -32 B. 32 C. -24 D. 24
3.下列运算正确的是（　　）
A. B. （4x）′=x 4x-1
C. D.
4.已知函数，则y=f（x）的图象大致为（　　）
A. B.
C. D.
5.离散型随机变量X的分布列如下：
X 1 2 3 4
P m 0.3 n 0.2
若E（X）=2.7，则下列结论错误的是（　　）
A. m+n=0.5 B. E（3X-1）=7.1 C. D（X）=0.81 D. P（X＞2）=0.5
6.若函数f（x）=（x+1）ex，当方程f（x）=a（a∈R）有2个解时，则a的取值范围是（　　）
A. B. a=-或a≥0 C. -＜a＜0 D. a=-且a≥0
7.某空间站由A，B，C三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去A舱，则不同的安排方法的种数为（　　）
A. 35 B. 36 C. 42 D. 50
8.已知函数f（x）=xex-ax-bex+ab（a＞0），若f（x）≥0，则最大值为（　　）
A. e-2 B. e-1 C. e D. e2
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列不等式中，在（0，+∞）上恒成立的是（　　）
A. 2x＞x2 B. sinx＜x C. ex＞2x D.
10.已知事件A，B，且，，，则（　　）
A. B. C. D.
11.已知函数，则下列结论正确的是（　　）
A. f（x）的单调递增区间是（0，1），（1，+∞）
B. f（x）的值域为R
C. f（log20262027）+f（log20272026）=1
D. 若，a∈（0，1），b∈（0，+∞），则aeb=1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（2a+3）x+1只有一个公共点，则a= ______.
13.某小微企业制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是1.6πr2分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径，已知每出售1mL的饮料，可获利0.4分，且能制作的瓶子的最大半径为6cm，当每瓶饮料的利润最大时， 子的半径为______cm．
14.已知，若存在k∈{0，1，2，…，100}使得ak＜0，则k的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数.
（1）求曲线y=f（x）在（0，1）处的切线方程；
（2）若P是曲线y=f（x）上一动点，求y=f（x）在P处的切线l的倾斜角θ的取值范围.
16.(本小题15分)
某学校有A，B两家餐厅，经过统计分析发现：学生第一天会随机地选择一家餐厅用餐，然后前一天选择了A餐厅的学生第二天选择A餐厅的概率为，选择B餐厅的概率为；前一天选择B餐厅的学生第二天选择A餐厅的概率为，选择B餐厅的概率也是，如此往复.记同学甲第n天选择B餐厅的概率为pn.
（1）求同学甲第二天选择B餐厅的概率；
（2）证明：数列为等比数列，并求出pn.
17.(本小题15分)
已知函数.
（1）当m=2时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若 x＞0，不等式f（x）＞x2恒成立，求实数m的取值范围.
18.(本小题17分)
一辆汽车上有n个座位，编号从1到n.现在编号为1到n的乘客依次上车，编号为1的乘客比较顽皮，上了车后是随机等可能的选择座位坐下，编号为2的乘客上了车后会先看看2号座位有没有人，如果有，那么他从剩下的空座位中随机等可能的选择座位坐下，如果2号座位没有人，那么他就在2号座位坐下，编号为3及后面的乘客的选择座位方式与2号相同，即自己对应的号码座位上有人，则从剩下座位中随机等可能挑选座位坐下，如果自己对应的号码座位上没有人，则坐在自己对应号码的座位上.
（1）当n=4时，求4号乘客坐在编号4号座位上的概率P；
（2）当n=4时，设X为刚好坐在了自己座位上的乘客数（规定：编号为i的乘客坐在了编号为i的座位上为坐在了自己的座位上），求随机变量X的期望.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=ax-ex+1.
（1）讨论f（x）的极值；
（2）已知a＞1，函数f（x）有两个不同的零点x1，x2（x1＜x2）和一个极值点x0，记A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x0，f（x0）），试判断|AC|与|BC|的大小关系，并说明理由.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】BCD
10.【答案】ABC
11.【答案】ABD
12.【答案】0或
13.【答案】6
14.【答案】49．
15.【答案】y=10x+1
16.【答案】 证明：设第n天选择B餐厅的概率为pn，则第n天选择A餐厅的概率为1-pn．
由题意得递推关系：，
整理得，变形得，
又，故，
因此数列是以为首项，为公比的等比数列．
由等比数列通项公式，得，
故
17.【答案】解：（1）当m=2时，f（x）=x2-x-lnx,x＞0，
则==，
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
故函数f（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞）；
（2） x＞0，不等式f（x）=-x-lnx＞x2恒成立，
则（）＞在（0，+∞）上恒成立，
令g（x）=，x＞0，
则g′（x）=，
令h（x）=-x-2lnx+1，x＞0，
则h′（x）在（0，+∞）上单调递减且h（1）=0，
故当0＜x＜1时，h（x）＞0，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当x＞1时，h（x）＜0，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
所以g（x）≤g（1）=1，
所以＞1，
所以m＞4，
故m的范围为{m|m＞4}．
18.【答案】解：（1）设1号乘客坐在i号位上时，4号乘客坐在4号位的概率为Pi，
则P=P1+P2+P3+P4，
，，
，P4=0，
所以；
（2）随机变量X所有可能的取值为0，1，2，4；
，
，
，
，
所以X的分布列为：
X 0 1 2 4
P
所以 E（X）==．
19.【答案】a≤0时，f（x）无极值；a＞0时，f（x）的极大值为alna-a+1，无极小值 | BC|＜|AC|，理由如下：
a＞1，函数f（x）有两个不同的零点x1，x2（x1＜x2）和一个极值点x0，
由（1）知f（x）在（-∞，lna）单调递增，在（lna，+∞）单调递减，
故x0=lna为f（x）的极大值点，极大值f（lna）=alna-a+1，
令m（a）=alna-a+1，a∈（1，+∞）．
则m′（a）=lna＞0，故m（a）在（1，+∞）单调递增，故f（lna）=m（a）＞m（1）=0，
又注意到f（0）=0，故x=0为f（x）的一个零点，
此外f（2lna）=2alna-a2+1=n（a），a∈（1，+∞），
则n′（a）=2（lna+1-a），记s（a）=lna+1-a，a∈（1，+∞），
则，所以s（a）在（1，+∞）上单调递减，所以s（a）＜s（1）=0，
即n′（a）＜0，故n（a）在（1，+∞）单调递减，故 a∈（1，+∞），f（2lna）=n（a）＜n（1）=0．
由零点存在性定理，知f（x）有零点t∈（lna，2lna），因为lna＞0，所以x1=0，x2=t，
则A（0，0），B（x2，0），C（lna，f（lna））．
设D（lna，0），则|BD|=x2-lna，|AD|=lna，显然x2＜2lna，x2-lna＜lna，
所以|BD|＜|AD|，
CD为△ABC的高，由勾股定理得，
故|BC|＜|AC|
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