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2025-2026学年辽宁省朝阳市高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.若，，则cosα=（　　）
A. B. C. D.
2.函数的单调递减区间是（　　）
A. （k∈Z） B. （k∈Z）
C. （k∈Z） D. （k∈Z）
3.已知为单位向量，与的夹角为，则与的夹角为（　　）
A. B. C. D.
4.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,，b=1，，则B=（　　）
A. B. C. 或 D. 或
5.已知向量，绕原点O逆时针旋转45°到的位置，则点P′的坐标为（　　）
A. B. C. D.
6.若，且，则sin（α+β）=（　　）
A. B. 或 C. D.
7.随着时代与科技的发展，信号处理以各种方式被广泛应用于医学、声学、密码学、计算机科学、量子力学等各个领域.而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数，某种信号的波形可以利用函数的图像近似的模拟，则（　　）
A. f（x）的最大值为3 B. f（x）为周期函数，且最小正周期为π
C. f（x）的图象关于直线x=π对称 D. f（x）的图象关于点（π，0）对称
8.直角△ABC中，斜边AB=2，P为△ABC所在平面内一点，（其中θ∈R），则下列说法错误的是（　　）
A. 点P经过△ABC的外心
B. 点P所在轨迹的长度为1
C. 的取值范围是
D. 的取值范围是（0，4]
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知向量∥，且，则（　　）
A. 与的夹角为 B. 在上的投影向量为
C. D.
10.要得到y=cosx函数的图像，只需将函数的图像（　　）
A. 先向右平移个单位长度，再将横坐标扩大为原来的3倍
B. 先向左平移个单位长度，再将横坐标扩大为原来的3倍
C. 先将横坐标扩大为原来的3倍，再向左平移个单位长度
D. 先将横坐标扩大为原来的3倍，再向右平移个单位长度
11.已知对任意角恒成立.设△ABC的内角A，B，C满足的面积S满足4≤S≤9，记a,b,c分别为角A，B，C所对的边，则下列说法正确的是（　　）
A. B. △ABC外接圆面积的最大值为36π
C. abc∈[64，216] D. bc（b+c）的最小值为64
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在△ABC中，（sinA+sinB）：（sinA+sinC）：（sinC+sinB）=7：9：10，则△ABC中最大角的余弦值为 .
13.已知直线y=m（m＞0）与函数的图象相交，若自左至右的三个相邻交点A，B，C满足11|AB|=|BC|，则实数m= .
14.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（-∞，0）时，，若是平面内三个不同的单位向量，且满足，则的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知单位向量的夹角为，向量，向量
（1）若，求λ的值；
（2）若与夹角为钝角，求λ的范围.
16.(本小题15分)
设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知.
（1）求角C；
（2）若角C的平分线交AB于点D，△BCD的面积为△ACD面积的两倍，求CD的长.
17.(本小题15分)
设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,若a-b=ccosB-ccosA.
（1）判断△ABC的形状；
（2）若，试求M的最小值.
18.(本小题17分)
设，函数.
（1）求函数f（x）的解析式，并写出对称中心；
（2）将f（x）的图像向下平移个单位得到函数h（x）；
①函数在[0，m]上恰好有三个对称中心，求m的范围；
②若对任意恒成立，求实数a的取值范围.
19.(本小题17分)
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的点O即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知a,b,c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，已知.
（1）求角A；
（2）若点D在BC上，BD=2DC，AD=2，P为△ABC的费马点，当△ABC面积最大时，求；
（3）设点P为△ABC的费马点，|PB|+|PC|=t|PA|，求实数t的最小值.
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】ABD
10.【答案】BC
11.【答案】BC
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：（1）由题意知，
，
整理可得，解得λ=4；
（2），所以λ＜4，
∥时，，则，
所以λ＜4且，
则．

16.【答案】解：（1）由于c=6，且，
可得，
所以，
由于sinA≠0，
可得，
可得，
又C∈（0，π），
可得，
可得；
（2）因为角C的平分线交AB于点D，
可得，
可得，
可得a=2b,
由（1）可知，，
所以a2+b2-ab=36，
可得，
可得，
可得，
又因为，
所以CD=4．

17.【答案】直角三角形或等腰三角形
18.【答案】，对称中心为 ①；②（-∞，]
19.【答案】
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