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2025-2026学年江西省景德镇市乐平中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.数列1，，，，，…的一个通项公式an=（　　）
A. B. C. D.
2.设f（x）是可导函数，且=2，则f′（1）=（　　）
A. 2 B. C. -1 D. -2
3.已知变量x,y的统计数据如下，若x与y的回归直线方程为=0.64x+0.8，则m=（　　）
x 2.8 3.3 5.0 6.7 7.2
y 2.6 m 4.0 5.1 5.4
A. 2.5 B. 2.7 C. 2.9 D. 3.1
4.甲、乙、丙、丁、戊五名同学排成一排合影留念，其中甲、乙均不能站最左端，且甲、丙必须相邻，则不同的站法共有（　　）
A. 18种 B. 24种 C. 30种 D. 36种
5.设f′（x）是f（x）的导函数，已知f（x）=2f′（1）x-x2+lnx+1，则f（1）=（　　）
A. B. 1 C. D. 2
6.已知等比数列{an}的前6项和为126，其中偶数项和是奇数项和的2倍，则a1=（　　）
A. -2 B. 2 C. 1 D. 3
7.设点A（-2，3），B（3，2），若直线-ax+y+2=0与线段AB没有交点，则a的取值范围是（　　）
A. （-，） B. （-∞，-]∪[，+∞）
C. （-，） D. （-∞，-]∪[，+∞）
8.已知椭圆的右焦点为F，点O为坐标原点，点P为椭圆C上一点，点Q为PF中点，若△QOF的周长为4，则椭圆C的离心率为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和.已知a4=-5，a10=7，则下列结论正确的有（　　）
A. 公差d=1 B. a7=1 C. S13=13 D. 当n=6时，Sn最小
10.下列求导正确的有（　　）
A. （x2cosx）′=2xcosx-x2sinx B.
C. D.
11.设点P是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1内一动点，AA1=2，BC=1，，（λ，μ∈（0，1）），如图所示，则下列正确的是（　　）
A. 当时，三棱锥C-PAD的体积为
B. 当λ+2μ=1时，PB+PD的最小值为
C. 当AP=1时，的最小值为
D. 当λ+μ=1时，四面体PABC外接球的半径的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，满足，则= ______.
13.曲线y=exsin2x+1在x=0处的切线方程为 .
14.已知数列{an+1-2an}是以2为首项，2为公比的等比数列，且a1=2，数列{an}的前n项和为Sn，则= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2=11，S10=40.
（1）求{an}的通项公式an与前n项和公式Sn；
（2）求数列{|an|}的前n项和Tn.
16.(本小题15分)
已知在正项数列{an}中，a1=1且，其中Sn为数列{an}的前n项和.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）若对于任意n∈N*，2n λ≥Sn恒成立，求实数λ的取值范围.
17.(本小题15分)
已知函数=，.
（1）当=2时，求曲线=在点处的切线方程；
（2）若=1，是否存在直线与曲线=和=都相切，若存在求出所有这样的直线；若不存在，请说明理由.
18.(本小题17分)
如图，四棱台ABCD-A1B1C1D1的底面为正方形，侧面DCC1D1为等腰梯形，AB=2A1B1=4，，E为AD的中点.
（1）证明：平面DCC1D1⊥平面ABCD；
（2）求平面BDC1和平面ADD1A1夹角的余弦值.
（3）在AD上是否存在一点G，使G-BDC1的体积为，若存在，求BG与平面BDC1所成角的正弦值，若不存在，请说明理由.
19.(本小题17分)
已知椭圆的右焦点为F（2，0），过F的直线l与Γ交于P，Q两点，且当PQ⊥x轴时，|PQ|=6.
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）证明：为定值；
（3）若点P在x轴上方，直线PE与圆E：（x+2）2+y2=64交于A、B两点，点B在x轴上方，是否存在点P，使得△PBF与△QEF的面积之比为5：3？若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】BCD
10.【答案】AD
11.【答案】ACD
12.【答案】
13.【答案】y=2x+1
14.【答案】
15.【答案】an=15-2n，
16.【答案】证明：在数列{an}中，Sn-Sn-1=an（n≥2）①，
又因为②，
而an＞0，则，变形可得．
又因为，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列 an=2n-1
17.【答案】解：（1）当=2时，=ex-4，所以=ex-4，
所以=e-3，
所以当=2时，在点处的切线方程为：
e-3=e-3，即为e3=0；
（2）若=1，则=ex-2，=ln,
所以=ex-2，=，
若存在两函数的公切线分别切两函数于点A，），B，），
则，所以，
所以，
解得或，
所以A，B，所求切线为=e-1（x-e），
或A，B，所求切线为，
即存在切线 或满足题意．
18.【答案】易知，则，
故，则ED⊥D1D，即AD⊥D1D，
由题易知AD⊥DC，
又因为D1D∩DC=D，DC，D1D 面DCC1D1，则AD⊥面DCC1D1，
又因为AD 面ABCD，故面DCC1D1⊥面ABCD 存在，
19.【答案】 证明：当l的斜率为零时，P、Q为椭圆长轴端点，
|PQ|=8，|FP| |FQ|=6×2=12，
则，
当l的斜率不为零时，设/的方程为：x=my+2，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
由消去x得（3m2+4）y2+12my-36=0，
，，
所以|PQ，
又，
则，
因此，即，
所以 存在
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