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2025-2026学年广东省惠州一中高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.下列求导运算正确的是（　　）
A. （sinx）′=-cosx B.
C. （xex）′=xex+1 D.
2.和的等差中项与等比中项分别为（　　）
A. ，±2 B. 2， C. ，±1 D. 1，
3.4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，则不同的报名方法种数是（ ）
A. B.
C. D.
4.与圆C1：（x+1）2+（y-3）2=16，C2：x2+y2-4x+2y+4=0都相切的直线有（　　）
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
5.根据历年气象统计资料,宜都三月份吹东风的概率为,下雨的概率为,既吹东风又下雨的概率为.则在吹东风的条件下下雨的概率为
A. B. C. D.
6.已知双曲线C：，顶点到渐近线的距离为，则离心率e=（　　）
A. B. C. D. 2
7.云南民族村自建成以来，以生动鲜活的形态，展示了云南各民族的建筑艺术、歌舞服饰、文化风情、宗教信仰和生活习惯.在即将到来的五一假期，预计需要安排6名工作人员去三个不同的民族景点辅助宣传民俗文化，每个景点至少安排1人，则不同的安排方法种数是（　　）
A. 360 B. 450 C. 540 D. 1020
8.设，b=ln1.04，c=e0.04-1，则下列关系正确的是（　　）
A. a＞b＞c B. b＞a＞c C. c＞a＞b D. c＞b＞a
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知随机变量X的分布列为
X -1 0 1
P p1 p2 p2
下列结论正确的是（　　）
A. 若p1=2p2，则 B. 若p1=p2，则
C. 若，则 D. 的最小值为
10.设函数f（x）=（x-1）2（x-4），则（　　）
A. x=3是f（x）的极小值点 B. 当0＜x＜1时，f（x）＜f（x2）
C. 当1＜x＜2时，-4＜f（2x-1）＜0 D. 当-1＜x＜1时，f（2-x）＞f（x）
11.已知椭圆E：的右焦点为F，过F作两条互相垂直的直线l1和l2，l1和l2分别与E交于A、C和B、D，则（　　）
A. E的离心率为
B. 存在直线l1，使得
C. 为定值
D. 若E上每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，则E变为圆
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知双曲线C：-y2=1（m＞0）的一条渐近线为x+my=0，则C的焦距为 .
13.的展开式中x2y6的系数为______（用数字作答）.
14.在n维空间中（n≥2，n∈N），以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标（a1，a2，…，an），其中ai∈{0，1}（1in,i∈N）.则5维“立方体”的顶点个数是 ；
定义：在n维空间中两点（a1，a2，…，an）与（b1，b2，…，bn）的曼哈顿距离为|a1-b1|+|a2-b2|+…+|an-bn|.在5维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离，则E(X)= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知（2x-1）n的展开式中只有第5项的二项式系数最大.
（1）求n的值；
（2）设，求a1+a3+a5+…+an-1的值.
16.(本小题15分)
甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
（1）求甲学校获得冠军的概率；
（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
17.(本小题15分)
设数列{an}满足a1=3，an+1=3an-4n．
（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．
18.(本小题17分)
已知圆心在y轴右侧的动圆P与y轴及圆D：（x-1）2+y2=1都相切，记点P的轨迹为C.
（1）求C的方程；
（2）已知不重合的两点A，B均在C上.
①若线段AB的中点在直线上，且，求直线AB的方程；
②若直线AB与x轴正半轴相交，且与圆D相切，求△OAB面积的最小值.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=ax-2lnx.
（1）当a=2时，求函数f（x）的最小值；
（2）试讨论函数f（x）的单调性；
（3）当x＞1时，不等式f（x）＜（x-2）lnx+2x+a-1恒成立，求整数a的最大值.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】BC
10.【答案】ACD
11.【答案】ABC
12.【答案】4
13.【答案】-28
14.【答案】32 ；
15.【答案】8 -3280
16.【答案】解：（1）甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，可以得到两个学校每场比赛获胜的概率如下表：
第一场比赛 第二场比赛 第三场比赛
甲学校获胜概率 0.5 0.4 0.8
乙学校获胜概率 0.5 0.6 0.2
甲学校要获得冠军，需要在3场比赛中至少获胜2场，
①甲学校3场全胜，概率为：P1=0.5×0.4×0.8=0.16，
②甲学校3场获胜2场败1场，概率为：P2=0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.8=0.44，
所以甲学校获得冠军的概率为：P=P1+P2=0.6；
（2）乙学校的总得分X的可能取值为：0，10，20，30，其概率分别为：
P（X=0）=0.5×0.4×0.8=0.16，
P（X=10）=0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.8=0.44，
P（X=20）=0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.2=0.34，
P（X=30）=0.5×0.6×0.2=0.06，
则X的分布列为：
X 0 10 20 30
P 0.16 0.44 0.34 0.06
X的期望EX=0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06=13．
17.【答案】解：（1）数列{an}满足a1=3，an+1=3an-4n，
则a2=3a1-4=5，a3=3a2-4×2=7，…，
猜想{an}的通项公式为an=2n+1．
证明如下：（i）当n=1，2，3时，显然成立，
（ii）假设n=k时，ak=2k+1（k∈N+）成立，
当n=k+1时，ak+1=3ak-4k=3（2k+1）-4k=2k+3=2（k+1）+1，故n=k+1时成立，
由（i）（ii）知，an=2n+1，猜想成立，
所以{an}的通项公式an=2n+1．
（2）令bn=2nan=（2n+1） 2n，则数列{2nan}的前n项和
Sn=3×21+5×22+…+（2n+1）2n，…①
两边同乘2得，2Sn=3×22+5×23+…+（2n+1）2n+1，…②
①-②得，-Sn=3×2+2×22+…+2n-（2n+1）2n+1
=6+-（2n+1）2n+1，
所以Sn=（2n-1）2n+1+2．
18.【答案】y2=4x（x＞0） ①2x-3y+4=0或2x+3y+4=0；②
19.【答案】2．
当a＞0时，f（x）的单调递减区间是，单调递增区间是；
当a≤0时，f（x）的单调递减区间是（0，+∞），无单调递增区间．
4．
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