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2025-2026学年河南省新乡市部分民办高中高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知复数z满足，i为虚数单位，则z=（　　）
A. i B. C. D.
2.如图，△O′A′B′是一个平面图形的直观图，其中△O′A′B′是直角三角形，∠O′A′B′=90°，OA′=，则原图形的面积是（　　）
A. 2
B.
C.
D.
3.已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量是（　　）
A. B. C. D.
4.一个圆柱的侧面展开图是长为4，宽为2的矩形，则该圆柱的轴截面的面积为（　　）
A. 32 B. C. D.
5.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且a=3，b=，sinA=，则sinB=（　　）
A. B. C. D.
6.在△ABC中，BC边上的中线为AD，点O满足，则=（　　）
A. B. C. D.
7.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,已知a2+c2-b2+2ac=2bcsinA，则B=（　　）
A. B. C. D.
8.已知正四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面边长分别为2和4，若侧棱AA1长为，则该正四棱台的体积为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下面是关于复数（i为虚数单位）的命题，其中真命题为（　　）
A. z在复平面内对应的点位于第四象限 B. 若复数z1=1+i,则
C. z的共轭复数为1+i D. z的虚部为-1
10.下列说法错误的是（　　）
A. 斜棱柱的侧棱垂直于底面 B. 正棱柱的高可以与侧棱不相等
C. 六个面都是矩形的六面体是长方体 D. 底面是正多边形的棱柱为正棱柱
11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,则下列结论正确的是（　　）
A. 若，则△ABC有两解
B. 若a2+b2＜c2，则△ABC是钝角三角形
C. 若△ABC为锐角三角形，则sinA＞cosB
D. 若|z-1|=2，则|z-1-3i|的最小值为6
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.复数z=i2025（1+i）-a为纯虚数，则实数a的值为 .
13.已知向量，.若，则x= .
14.彬塔，又称开元寺塔、彬县塔，民间称“雷峰塔”，位于陕西省彬县城内西南紫薇山下.某同学为测量彬塔的高度AB，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD=15°，∠BDC=135°，CD=20m,在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB m.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
（1）已知复数z在复平面内对应的点在第一象限，|z|=1，且，求z；
（2）已知复数z=m2（1+2i）-（1+5i）m-3（2+i）在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围.
16.(本小题15分)
如图所示，在△ABC中，BC=4BD，AC=3CE.
（1）用表示；
（2）若，证明：B，M，E三点共线.
17.(本小题15分)
已知平面向量.
（1）若，且，求的坐标；
（2）若与的夹角为锐角，求实数λ的取值范围.
18.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c.已知2ccosB+b=2a.
（1）求角C的大小；
（2）若，设D为AB的中点，且CD=2，求△ABC的周长.
19.(本小题17分)
如图，正三棱锥V-ABC中，AB=BC=AC=2，VA=VB=VC=，点M，N分别为VA，BC的中点，一只蚂蚁从点M出发，沿三棱锥侧面爬行到点N，求：
（1）该三棱锥的体积与表面积；
（2）蚂蚁爬行的最短路线长.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】BD
10.【答案】ABD
11.【答案】ABC
12.【答案】-1
13.【答案】-1
14.【答案】
15.【答案】解：（1）设z=a+bi（a＞0，b∈R），
由|z|=1，且，得，解得，
故，
所以．
（2）z=m2（1+2i）-（1+5i）m-3（2+i）=（m2-m-6）+（2m2-5m-3）i,
由题可得，解得，
所以实数m的取值范围是．

16.【答案】解：（1）因为BC=4BD，
所以，
所以，
因为AC=3CE，
所以，
所以；
（2）证明：因为，
所以，
因为，
所以，即与共线．
因为与有公共点B，
所以B，E，M三点共线．
17.【答案】解：（1）设，，且，
∴，
∴x=2y,且，
∴x2+y2=4y2+y2=5y2=5，解得y=±1，∴或，
∴或（2，1）；
（2），
∵与的夹角为锐角，
∴，且与不共线，
∴，解得且λ≠0，
∴λ的取值范围为．
18.【答案】；
．
19.【答案】解：（1）∵AB=BC=AC=2，VA=VB=VC=，
∴VA2+VB2=AB2，VB2+VC2=BC2，VA2+VC2=AC2，
∴VA⊥VB，VB⊥VC，VA⊥VC，
∵VB∩VC=V，∴VA⊥平面VBC，
∴三棱锥的体积为VV-ABC=VA-VBC==，
三棱锥的表面积为SV-ABC=S△VBC+S△VAB+S△ABC==3+．
（2）情况一，如图，连接MN，线段MN的长度即蚂蚁爬行的最短路线长，
△MCN中，MC=，CN=1，，
由余弦定理得MN2=MC2+CN2-2MN CN cos，
即MN2=，解得MN=；
情况二，如图，连接MN，AN，线段MN的长度即蚂蚁爬行的最短路线长，
∵AM=，AN=，，
由余弦定理得MN2=AM2+AN2-2AM AN cos，
∵cos=cos（）=cos-sinsin=，
∴MN2==，则MN=，
∵=＞，
∴蚂蚁爬行的最短路线长为．
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