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2025-2026学年江苏省南通市海安市实验中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.设集合A={-1，0，1，2，3}，集合B={x|x2＞2x}，则A∩B中元素的个数为（　　）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
2.若复数z满足z （1-i）=2+3i,则复数z的虚部是（　　）
A. B. C. D.
3.已知两条直线m,n和平面α，则下列命题为真命题的是（　　）
A. 若m∥n,m∥α，则n∥α B. 若m∥α，n∥α，则m∥n
C. 若m⊥α，m∥n,则n⊥α D. 若m⊥n,m∥α，则n⊥α
4.某地区7月1日至7月10日白天的平均气温的折线图如图所示，则下列判断错误的是（　　）
A. 从7月2日到7月5日白天的平均气温呈下降趋势
B. 这10天白天的平均气温的极差大于6℃
C. 这10天中白天的平均气温为26℃的频率最大
D. 这10天中白天的平均气温大于26℃的有5天
5.设函数f（x）=（x+a）（x-1）2，则“a=-1”是“f（x）没有极值点”的（　　）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.若的展开式中第3项与第7项的系数相等，则展开式中系数最大的项为（　　）
A. 第4项 B. 第5项 C. 第6项 D. 第7项
7.若函数f（x）=kx2-lnx在区间（2，+∞）上单调递增，则k的取值范围为（　　）
A. B. C. D.
8.三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1=∠CAA1=60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.一家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去7天苹果的日销售量（单位：kg），结果如下：95，84，85，99，88，93，86，则这7天苹果日销售量的（　　）
A. 第80百分位数为93 B. 平均数为90 C. 极差为15 D. 方差为28
10.已知分别为随机事件A，B的对立事件，则下列结论正确的是（　　）
A.
B. 若P（AB）=P（A）P（B），则A，B独立
C. 若A，B独立，则P（A|B）=P（B）
D.
11.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E是DD1的中点，则（　　）
A. 三棱锥C1-B1CE的体积为
B. C1E⊥平面BCE
C. 三棱锥C1-B1CE的外接球的表面积为
D. 由B1，C，E三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数f（x）满足，则f（1）= .
13.有编号分别为1，2，3，4的4张电影票，要分给甲、乙、丙3个人，每人至少分得一张，且4张电影票全部分完，则不同分配方法的种数为 .（用数字作答）
14.将五张标有1，2，3，4，5的卡片摆成右图，若逐一取走这些卡片时.每次取走的一张卡片与剩下的卡片中至多一张有公共边，则把这样的取卡顺序称为“和造序”（例如按1-3-5-4-2取走卡片的顺序是“和谐序”，按1-5-2-3-4取走卡片的顺序不是“和谐序”），现依次不放回地随机抽取这5张卡片，则取卡顺序是“和谐序”的概率为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知.
（1）求a0+a1+a2+a3+…+a2025的值；
（2）求a1+2a2+3a3+…+2026a2026的值.
16.(本小题15分)
如图，在五面体ABCDEF中，△ABC是等边三角形，AF∥BE∥CD，CD=3，AB=BE=2，AF=1，平面ABC⊥平面ACDF，AF⊥AB，P是棱DF的中点.
（1）证明：PE∥平面ABC.
（2）证明：AF⊥平面ABC.
17.(本小题15分)
已知函数f（x）=alnx+x-2a（a∈R）.
（1）当a=-2，求f（x）的单调性；
（2）若曲线y=f（x）经过点A（1，-1），且在A处的切线为l.证明：除切点A外，曲线y=f（x）在直线l的下方.
18.(本小题17分)
如图，在三棱锥A-BCD中，△ABD是边长为2的等边三角形，E为BD的中点，BC=，AC=2，∠DBC=45°.
（1）证明：AE⊥BC；
（2）若点F在棱CD上，二面角D-AB-F的正切值为，求点F到平面ABC的距离.
19.(本小题17分)
现有除颜色外都相同的3个红球和3个白球，随机取3个球放入一个不透明的袋中，记袋中红球的个数为X0.从袋中随机摸出一个球，并换入一个另一种颜色的球，经过n次摸换，袋中的红球个数记为Xn.
（1）求P（X0=0）与P（X0=2）；
（2）求P（X1=1）；
（3）当X0=1时，求随机变量X2的数学期望.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】BCD
10.【答案】ABD
11.【答案】ACD
12.【答案】-2．
13.【答案】36．
14.【答案】
15.【答案】-1 0
16.【答案】取棱AC的中点O，连接OP，OB．
∵O，P分别是棱AC，DF的中点，∴OP∥AF∥CD，
且．∵AF∥BE∥CD，BE=2，
∴OP∥BE，OP=BE，∴四边形OBEP为平行四边形，
∴OB∥PE．∵OB 平面ABC，PE 平面ABC，∴PE∥平面ABC ∵△ABC是等边三角形，且O是棱AC的中点，
∴OB⊥AC．∵平面ABC⊥平面ACDF，
且平面ABC∩平面ACDF=AC，OB 平面ABC，
∴OB⊥平面ACDF．∵AC 平面ACDF，∴OB⊥AF．
∵AF⊥AB，AB 平面ABC，OB 平面ABC，
且AB∩OB=B，AB，OB 平面ABC，
∴AF⊥平面ABC．

17.【答案】在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增 由f（x）=alnx+x-2a过点A（1，-1），
可得f（1）=1-2a=-1，解得a=1，
此时f（x）=lnx+x-2，定义域为（0，+∞），
f′（x）=，又f（1）=-1，f′（1）=2，
故曲线y=f（x）在A点处的切线l的方程为：y-（-1）=2（x-1），即y=2x-3；要证：除切点A外，曲线y=f（x）在直线l的下方，
即证：2x-3-（lnx+x-2）≥0，也即lnx-x+1≤0，当且仅当x=1时等号成立，
令h（x）=lnx-x+1，定义域为（0，+∞），
h′（x）=，
故当x∈（1，+∞），h′（x）＜0，h（x）单调递减；当x∈（0，1），h′（x）＞0，h（x）单调递增；故当x=1时，h（x）取得极大值，也是最大值h（1）=0，
故h（x）≤h（1）=0，也即lnx-x+1≤0，当且仅当x=1时等号成立，
故除切点A外，曲线y=f（x）在直线l的下方，即证
18.【答案】证明：因为△ABD是边长为2的等边三角形，E为BD的中点，
所以AE⊥BD，
在△BCD中，由余弦定理得：
CD2=BC2+BD2-2BC BD cos∠DBC，所以，
因为E为BD中点，所以CE=1，
因为△ABD是边长为2的等边三角形，所以，
则AE2+CE2=AC2，所以AE⊥CE，
又AE⊥BD，BD∩CE=E，BD 平面BCD，CE 平面BCD，
所以AE⊥平面BCD，又因为BC 平面BCD，
所以AE⊥BC
19.【答案】，
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