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2025-2026学年广东省江门市鹤山市鹤华中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类.现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有（　　）
A. 34种 B. 43种 C. 3×2×1种 D. 4×3×2种
2.在等差数列{an}中，若其前n项和为Sn，已知a4+a5+a6=15，则S9=（　　）
A. 25 B. 35 C. 45 D. 55
3.二项式的展开式中，常数项等于（　　）
A. 448 B. 900 C. 1120 D. 1792
4.已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3，2a2成等差数列，则=（　　）
A. 4 B. 2 C. D.
5.已知函数f（x）的导函数为f′（x），若，则f′（2）=（　　）
A. -1 B. 1 C. D.
6.已知数列{an}是公差为2的等差数列，且a4=3a7，则数列{|an|}的前20项之和为（　　）
A. 80 B. 208 C. 680 D. 780
7.已知函数f（x）=x（x-c）2在x=2处有极大值，则实数c的值为（　　）
A. 2 B. 4 C. 5 D. 6
8.已知函数f（x）=x3-4x+4在[0，a]上的最大值为4，则实数a的取值范围为（　　）
A. （0，1] B. （0，] C. （0，2] D. （0，2]
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.如图所示是y=f（x）的导数y=f'（x）的图象，下列结论中正确的有（　　）
A. f（x）在区间（-3，1）上是增函数
B. x=-1是f（x）的极小值点
C. f（x）在区间（2，4）上是减函数，在区间（-1，2）上是增函数
D. x=2是f（x）的极小值点
10.将四大名著《红楼梦》《西游记》《三国演义》《水浒传》，诗集《唐诗三百首》《徐志摩诗集》和戏曲《中华戏曲》7本书放在一排，则（　　）
A. 戏曲书放在正中间位置的不同放法有种
B. 诗集相邻的不同放法有种
C. 四大名著互不相邻的不同放法有种
D. 四大名著不放在两端的不同放法有种
11.设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn，若a3=12，S12＞0，S13＜0，则下列结论正确的是（　　）
A. 数列{an}是递增数列 B. S5=60
C. D. S1，S2， ，S12中最大的是S6
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等比数列{an}的各项均为正数，且a3=27，则log3a1+log3a2+log3a3+log3a4+log3a5= ______.
13.的展开式中，含x-1y4项的系数为-15，则a= .
14.2022年9月3日某市新冠疫情暴发以来，某住宿制中学为做好疫情防控工作，组织5名教师组成志愿者小组，分配到高中三个年级教学楼楼门口配合医生给学生做核酸，由于高二年级学生人数较多，要求高二教学楼志愿者人数均不少于另外两栋教学楼志愿者人数，若每栋教学楼门至少分配1名志愿者，每名志愿者只能在1个楼门进行服务，则不同的分配方法种数为 .（用数字作答）
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f（x）=x3+ax2+bx在及x=1处取得极值.
（1）求a,b的值；
（2）求函数y=f（x）在[0，2]上的最大值与最小值.
16.(本小题15分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是公比为3的等比数列，且Sn=n2（n∈N*），b1=a1.
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）令cn=（an+1） bn，求数列{cn}的前n项和Tn.
17.(本小题15分)
某企业计划对甲、乙两个项目共投资200万元，且每个项目至少投资10万元.依据前期市场调研可知，甲项目的收益p（t）（单位：万元）与投资金额t（单位：万元）满足关系式p（t）=at3+21t；乙项目的收益g（t）（单位：万元）与投资金额t（单位：万元）满足关系式g（t）=-2a（t-b）2（b＜200）.设对甲项目投资x万元，两个项目的总收益为f（x）（单位：万元），且当对甲项目投资30万元时，甲项目的收益为180万元，乙项目的收益为120万元.
（1）求f（x）的解析式.
（2）试问如何安排甲、乙这两个项目的投资金额，才能使总收益f（x）最大？并求出f（x）的最大值.
18.(本小题17分)
已知数列{an}满足a1=2，an+1=2an+2，bn=an+2.
（1）证明：数列{bn}是等比数列，并求数列{bn}的通项公式；
（2）记，若数列{cn}的前n项和为Tn，求证：.
19.(本小题17分)
已知函数.
（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）当a＜0时f（x）≤b-ln（-a）-a恒成立，求实数b的最小值.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】BC
10.【答案】ABC
11.【答案】BD
12.【答案】15
13.【答案】±1．
14.【答案】80．
15.【答案】 最大值为2，最小值为0
16.【答案】解：（1）数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2（n∈N*），
可得a1=S1=1，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-（n-1）2=2n-1（对n=1也成立），
即有an=2n-1，n∈N*；
数列{bn}是公比为3的等比数列，b1=a1=1，
可得bn=3n-1；
（2）cn=（an+1） bn=2n 3n-1，
则数列{cn}的前n项和Tn=2 30+4 31+6 32+...+2n 3n-1，
3Tn=2 31+4 32+6 33+...+2n 3n，
相减可得-2Tn=2+2（31+32+...+3n-1）-2n 3n=2+2 -2n 3n=（1-2n） 3n-1，
化为Tn=．
17.【答案】解：（1）由题意得27000a+630=180，解得，
当对甲项目投资30万元时，对乙项目投资170万元，
则，解得b=110，
设对甲项目的投资金额为x万元，则对乙项目的投资金额为（200-x）万元，
则，解得10≤x≤190，
故f（x）=-x3+21x+[（200-x）-110]2=-（x3-2x2-900x-16200），x∈[10，190]；
（2）设h（x）=x3-2x2-900x-16200，x∈[10，190]，
则h'（x）=3x2-4x-900=（3x+50）（x-18），
当x∈[10，18）时，h'（x）＜0，当x∈（18，190]时，h'（x）＞0，
则h（x）在[10，18）上单调递减，在（18，190]上单调递增，
则h（x）min=h（18）=-27216，
故f（x）max=f（18）=453.6，
故对甲项目投资18万元，对乙项目投资182万元，才能使总收益f（x）取得最大值453.6万元．
18.【答案】证明：根据题意可得an+1+2=2（an+2），
所以bn+1=2bn，又b1=a1+2=4≠0，
所以数列{bn}是以b1=a1+2=4为首项，2为公比的等比数列，
所以，所以数列{bn}的通项公式为 证明：由（1）知，
由得，
所以
因为得，数列{Tn}为单调递增数列，
所以，
所以
19.【答案】解：（1）当a=2时，函数f（x）=x2-3x+lnx,，
则f′（1）=0，又f（1）=-2，
所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=-2．
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），，
当a≤0时，由f′（x）＞0，得0＜x＜1；由f′（x）＜0，得x＞1，
函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；
当0＜a＜1时，由f′（x）＞0，得0＜x＜1或；由f′（x）＜0，得，
函数f（x）在上单调递增，在上单调递减；
当a=1时，f′（x）≥0恒成立，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＞1时，由f′（x）＞0，得或x＞1；由f′（x）＜0，得，
函数f（x）在上单调递增，在上单调递减，
综上所述：当a≤0时，函数f（x）的递增区间为（0，1），递减区间为（1，+∞）；
当0＜a＜1时，函数f（x）的递增区间为，递减区间为；
当a=1时，函数f（x）的递增区间为（0，+∞）；
当a＞1时，函数f（x）的递增区间为，递减区间为．
（3）由（2）知当a＜0时，函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
则，
依题意，，即恒成立，
令函数，，
当a＜-2时，g′（a）＞0，g（a）单调递增；当-2＜a＜0时，g′（a）＜0，g（a）单调递减，
即g（a）max=g（-2）=ln2-2，因此b≥ln2-2，
所以b最小值为ln2-2．
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