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2025-2026学年北京市清华大学附属中学朝阳学校高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共10小题，共50分。
1.在复平面内，复数对应的点位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.在△ABC中，若，则AB=（　　）
A. B. C. D.
3.某圆锥的母线长为5cm，底面半径长为3cm，则该圆锥的体积为（　　）
A. 12πcm3 B. 15πcm3 C. 36πcm3 D. 45πcm3
4.已知向量，，.若A，B，C三点共线，则k=（　　）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
5.在△ABC中，已知a=2bcosC，那么这个三角形一定是（　　）
A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形
6.如图，在△ABC中，D为BC边上靠近B的三等分点，若E为AD的中点，则=（　　）
A.
B.
C.
D.
7.已知直线m,直线n和平面α，则下列四个命题中正确的是（　　）
A. 若m∥α，n α，则m∥n B. 若m∥α，n∥α，则m∥n
C. 若m⊥α，n∥α，则m⊥n D. 若m⊥n,n∥α，则m⊥α
8.为加快推进“5G+光网”双千兆城市建设．如图，在省会哈尔滨地面有四个5G基站A，B，C，D．已知C，D两个基站建在松花江的南岸，距离为；基站A，B在江的北岸，测得∠ACB=75°，∠ACD=120°，∠ADC=30°，∠ADB=45°，则A，B两个基站的距离为（　　）
A. 10km B. 10km C. 15km D. 10km
9.在△ABC中，“△ABC为直角三角形”是“对于任意t≠1，”的（　　）.
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
10.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面BB1C1C的边界及其内部运动．若D1O⊥OP，则△D1C1P面积的最大值为（　　）
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.设复数z满足（1+i）z=2i，则|z|= ．
12.已知向量，向量，则= .
13.在△ABC中，，b=10.
（1）若，则a= .
（2）若△ABC有两解，则a的一个值可以为 .
14.如图，棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点C到平面C1BD的距离为 .
15.如图，在矩形ABCD中，，AD=1，点P在CD边上.
①若，则 = ；
②的取值范围是 .
16.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，点M为直线B1C上的动点，则下列四个命题：
①连接D1M，总有D1M∥平面A1BD；
②AC1⊥平面A1BD；
③动点M到直线BD的距离的最小值是；
④设CM=x,则三棱锥A1-ADM的体积随着x增大而增大.
其中正确的命题的序号是 .
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，AA1=2，M是DD1的中点.
（1）求证：BD1∥平面AMC；
（2）证明：AC⊥平面BDD1B1.
18.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a,b,c,已知（a+c）（a-c）=b（b+c）.
（1）求角A的大小；
（2）若，a=7，点D是BC边上的中点，求sinC和线段AD的长.
19.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知.
（Ⅰ）求∠A；
（Ⅱ）再从以下条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一确定，求△ABC的面积.
条件①：，a=2；
条件②：，a+c=4；
条件③：AB边上的高.
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
20.(本小题15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PA=AB=2，，点E在线段PD上，且PE=1.
（1）设平面PBC∩平面PAD=l,证明：BC∥l；
（2）证明：AE⊥PC；
（3）线段CA上是否存在点M，使得EM∥平面PBC？若存在，请证明，并求出AM的长；若不存在，请说明理由.
21.(本小题15分)
如图，设A是由n×n（n≥2）个实数组成的n行n列的数表，其中aij表示位于第i行第j列的实数，且aij∈{-1，1}（i=1，2，…，n；j=1，2，…，n）.
记向量，若，则称与为正交向量.若对任意不同的i,j∈{1，2，…，n}，都有与为正交向量，则称A为正交数表.
（1）直接判断，是否为正交数表（不需要说明理由）；
（2）当n=6时，设，且与为正交向量，与为正交向量，求证：与不是正交向量；
（3）求证：对任意k∈N*，当n=4k+2时，A不是正交数表.
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】B
10.【答案】C
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】5
6（答案不唯一）

14.【答案】
15.【答案】
[-2，1]

16.【答案】①②③
17.【答案】在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，设AC∩BD=O，连接OM，
因为在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD为正方形，
所以BO=DO，又M是DD1的中点，所以DM=D1M，
所以OM∥BD1，又OM 平面AMC，BD1 平面AMC，
所以BD1∥平面AMC 因为在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，
又因为AC 平面ABCD，所以DD1⊥AC，
在正方形ABCD中，BD⊥AC，
又因为DD1∩BD=D，DD1 平面BDD1B1，BD 平面BDD1B1，
所以AC⊥平面BDD1B1
18.【答案】解：（1）由（a+c）（a-c）=b（b+c），可得a2-c2=b2+bc,
即a2=b2+c2+bc,由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA，
则1=-2cosA，即，又A∈（0，π），故；
（2）由，则，
则，
结合正弦定理可得，，
由点D是BC边上的中点，则，
故
=，
即．

19.【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）选条件②：S△ABC=；
选条件③：S△ABC=．
20.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD，
∵AD 平面PAD，BC 平面PAD，
∴BC∥平面PAD．
又BC 平面PBC，平面PBC∩平面PAD=l,
∴BC∥l.
（2）解：∵PA⊥平面ABCD，又CD 平面ABCD，∴CD⊥PA．
又底面ABCD为矩形，∴CD⊥AD．
PA，AD 平面PAD，PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD．
AE 平面PAD，∴CD⊥AE．
在△PAD中，PA=2，PE=1，，
∴PA2=PE PD，
∴AE⊥PD．
CD，PD 平面PCD，CD∩PD=D，
∴AE⊥平面PCD．
又PC 平面PCD，
∴AE⊥PC；
（3）解：如图：
过E作EN∥PC，交CD于点N，过N作NM∥AD交AC于点M．
∵EN∥PC，PC 平面PBC，EN 平面PBC，
∴EN∥平面PBC．
同理MN∥平面PBC．
又MN，EN 平面EMN，MN∩EN=N，
∴平面EMN∥平面PBC．
由（1）知，PD=4，又PE=1，则ED=3，
则，
∵CD=AB=2，．
∴，
∴点M为线段CA上靠近C的四等分点，AM=3．
21.【答案】A1是正交数表，A2不是正交数表；
证明见解析；
证明见解析．
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