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(共22张PPT)
习题25.3
复习巩固
1、两个数的和是26，积是168，求这两个数.
解：设其中一个数为x，则另一个数为26 x．
依题意，得x(26－x)＝168 .
整理，得x2－26x + 168 ＝ 0.
因式分解，得 (x 12)(x 14) = 0.
解得：x1 = 12，x2 = 14 .
答：这两个数是 12 和 14 .
2、一个直角三角形的两条直角边的和是14，面积是24. 求这两条直角边的长.
解：设一条直角边长为x，
依题意，得 x (14 x)＝24 .
整理，得x2－14x + 48 ＝ 0.
因式分解，得 (x 6)(x 8) = 0.
解得：x1 = 6，x2 = 8 .
答：两条直角边长分别是 6 和 8 .
则另一条直角边长为14 x ．
3、某足球联赛采用双循环赛制，如果赛季结束后共比赛90场，那么共有多少支球队参加比赛？
解：设共有n支球队参加比赛．
依题意，得n(n－1)＝90.
整理，得n2－n－90＝0.
解得n1＝10，n2＝－9(舍去).
答：共有 10 支球队参加比赛。
4、2019年我国快递业务量是635.2亿件，2021年增至1083.0亿件，这两年的年平均增长率是多少（结果写成a%的形式，其中a保留小数点后一位）？
解：设这两年的年平均增长率为x.
由题意，得635.2(1－x)2＝1083.0，
解得x1＝0.3057≈ 30.6%，x2＝ 2.3057(舍去).
答：这两年的年平均增长率约为 30.6% .
综合运用
5.一个菱形的两条对角线长之和是10，面积是12.求这个菱形的周长.
解：设菱形一条对角线长为 x，
依题意，得 x (10 x)＝12 .
则另一条为 10 x ．
整理，得x2－10x + 24 ＝ 0.
因式分解，得 (x 4)(x 6) = 0.
解得：x1 = 4，x2 = 6 .
所以菱形两条对角线长：4 和 6
因为菱形对角线互相垂直平分，
所以菱形边长为： = = .
所以菱形周长为4 .
6、如图，要为长22 cm，宽29 cm的照片配相框，要求相框的四条边宽度相等，并且相框边的面积是照片面积的四分之一, 相框边的宽度应是多少厘米（结果保留小数点后一位）？
解：设相框边的宽度为 x cm，
(22+2x)(29+2x) = 797.5
整理，得 4x2＋102x 159.5＝0.
此时 a=4，b=，c= 159.5，
所以 Δ= b2－4ac = 24×4×( 159.5) = 12956.
所以 x = ≈ ，
因为x取正值，
x=
7、 一个直角三角形的三边长均为正整数，斜边的长比一直角边的长大1，比另一直角边的长大8，这样的直角三角形存在吗？如果存在，有多少个？
解：设斜边长为 x，
则一条直角边长x 1，另一条直角边长x 8 .
可列方程：(x 1) 2 +(x 8)2 = x 2
整理，得 x2 18x + 65 ＝0.
解这个方程，得x1＝5，x2＝13.
当 x = 5时，
边长不能为负数，舍去
直角边：5 1=4, 5 8= 3
当 x = 13时，
直角边：13 1=12, 13 8=5
由勾股定理a2+b2=c2得
52 +122 =25+144=169=132
所以这样的直角三角形存在，只有 1 个.
拓广探索
8、如图，要设计一幅宽20cm，长30 cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2. 如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度（结果保留小数点后一位）？
解: 设横彩条的宽度为3xcm,
则空白部分的长：30 2×2x = 30 4x
空白部分的宽：20 2×3x = 20 6x
图案总面积：30×20 = 600 cm2
所以空白部分面积：600×(1 )=450 cm2
因此可列方程：(30 4x)(20 6x)=450
整理，得 12x2 130x + 75 ＝0.
竖彩条的宽度为 2xcm .
此时 a=12，b=130，c=，
所以 Δ= b2－4ac=(130)24×12×75 = 13300
x＝ = ≈
即 x1 ≈ 10.22
.
横彩条宽度：3x ≈ 3×0.61 ≈ 1.8 cm
竖彩条宽度：2x ≈ 2×0.61 ≈ 1.2 cm
9.如图，线段AB的长为1，点C，D，E在线段AB上.
（1）若AC2 = BC AB，求线段AC的长；
（2）在（1）的条件下，若AD2 = CD AC，求线段AD的长；
（3）在(1)(2)的条件下，若AE2 = DE AD, 求线段AE的长.
上面各题的结果反映了什么规律？
（1）解：设 AC = x，则 BC = AB AC = 1 x，
由 AC2 = BC AB，得：
x2 = (1 x) 1
整理，得 x2 + x 1 ＝0.
用求根公式解得： = .
因为x取正值，
所以 AC = .
由 AD2 = CD AC，得：
y2 = (AC y)×AC
y2 + AC × y AC2 = 0.
（2）解： CD = AC AD ，
= .
设 AD = y .
因为取正值，
所以 = × AC .
因为AC = ，
所以 = ()2 .
由 AE2 = DE AD，得：
z2 = (AD z)×AD
z2 + AD × z AD2 = 0.
（3）解： DE = AD AE ，
= .
设 AE = z .
因为取正值，
所以 = × AD .
因为AD = ，
所以 = ()3 .
这三个结果呈现出等比数列的规律：
AC = ( )1
AD = ( )2
AE = ( )3
其中 ≈ 0.618，是黄金分割比.
所以每次按“黄金分割”的方式截取线段，得到的新线段长度，都是上一次线段长度乘以黄金分割比，即 = ( )n .
作业布置
完成对应课时练习．
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习题25.1
复习巩固
1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
(1) 4x2 + 5x = 81
解：方程一般形式为：4x2+5x－81= 0.
其中二次项系数为4，
一次项系数为5，
常数项为－81.
(2) x(x + ) = 0;
解：方程一般形式为：x2 + x = 0.
其中二次项系数为1，
一次项系数为，
常数项为0.
(3) (2x－3)(x－1)=0.
解：方程一般形式为：2x2 －5x + 3 = 0.
其中二次项系数为2，
一次项系数为，
常数项为3.
(4) (3x－2)(x +1)=x(2x +1).
解：方程一般形式为：x2 －2 = 0.
其中二次项系数为1，
一次项系数为，
常数项为－2.
2.根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：
（1）一个圆的面积是2π ，求半径r；
解：设这个圆的半径为r .
由圆的面积公式，得πr2 = 2π,
所以r2 = 2，即r2－2 = 0.
（2）一个直角三角形的两条直角边相差3，面积为9，求较长的直角边的长x.
解：设这个直角三角形较长的直角边为x，
则另一条直角边为(x－3).
根据题意，得x(x－3)=9,
整理，得x2－3x－18=0.
（3）一个直角三角形的一条直角边长是另一条直角边长的2倍，斜边长为5，求较短直角边的长.
解：设直角三角形的较短直角边长为x，
则较长直角边长为2x .
根据题意，得 = ,
整理，得5x2－25 = 0.
3. 下列哪些数是方程x2+x－12=0的根
－ 4，－ 3 ，－ 2， － 1， 0，1，2，3，4.
把每个数代入方程x2+x－12=0，左边计算结果等于 0 就是根.
综合运用
4. 南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载了这样一个问题：
直田积（矩形面积）八百六十四步，只云阔不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步.
根据此问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式.
解：设矩形的宽为x步，
则长为 (x + 12) 步 .
根据题意，得 (x + 12) = 864,
整理，得x2 + 12x －864 = 0.
拓广探索
5.如果2是方程c=0的一个根，求解如下问题：
（l）常数c是多少？
解：因为 2 是方程 c = 0的根，
把 x=2 代入方程，
得，c = 4
（2）此方程是否有其他根？如果有，求出这个根.
有其他根
解：由 (1) 得：c = 4，
所以原方程为－4 = 0
解得：x1 =2，x2 =－2
所以此方程另一个根是－2 .
作业布置
完成对应课时练习．
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习题25.2
复习巩固
1、解下列方程：
（1）36x2 1 = 0；
解：移项，得 = 1，
由此可得 = ，
所以 x1 = ，x2 = －.
直接开平方： = ± = ±
（2）4x2 = 49;
解：原方程可化为： = ，
所以 x1 = ，x2 = － .
直接开平方： = ± = ±
（3）(x+5)2 =25；
解：直接开平方： = ±
即 = 或 =
所以 x1 = ，x2 = － .
（4）x2+2x+1= 4.
解：原方程可化为： = 4，
所以 x1 = ，x2 = － .
直接开平方： = ± = ±
2、填空：
(1) x2+6x+_____= ( x+_____)2；
(2) x2 x+_____= ( x _____)2；
(3) 4x2+4x+_____= ( 2x+_____)2；
(4) x2 x+_____= ( x _____)2.
9
3
1
1
（1）x2+10x +16 = 0；
解：移项，得 x2+10x = 16
配方，得 x2+10x +52 = 16+52
(x+5)2 =9
由此可得 x+5 =±3
x1= 2 ， x2= 8
3、 用配方法解下列方程：
（2）x2 －x － = 0；
解：移项，得 x2 － x =
配方，得x2 － x +( )2 = +( )2
(x － )2 = 1
由此可得 x－ =±1
x1= ， x2= －
（3）3x2+6x －5 = 0；
解：移项，得 3x2+6x =5
二次项系数化为1，得 x2+2x =
配方，得 x2+2x +12 = +12 ,
由此可得 x+1 =±
x1= －1+ ， x2=－1－
(x +1)2 =
解：移项，得 4x2 －x =9
二次项系数化为1，得 x2－ x =
配方，得 x2－ x +()2 = +()2 ，
由此可得 x－=±
(x－ )2 =
x1= ， x2=
（4）4x2 －x －9 = 0.
4、利用一元二次方程根的判别式判断下列方程的根的情况：
(1) 2x2 3x =0； (2) 16x2-24x+9=0；
方程有两个不等的实数根
解：Δ=b2 4ac
解：Δ=b2 4ac
方程有两个相等的实数根
=( 3)2 4×2×( )
=21>0
=( 24)2 4×16×9
=0
(3) x2 4 x+9=0； (4) 3x2+10=2x2+8x.
方程无实数根
解：Δ= b2 4ac
解：化简，移项得
方程有两个不等的实数根
= ( 4)2 4×1×9
= 4＜0
x2 8x+10=0
Δ=b2 4ac
=( 8)2 4×1×10
=24>0
5、用公式法解下列方程：
(1) x2+x 12=0;
解：a=1，b=1，c= 12
Δ= b2－4ac =12 4×1×( 12) = 49>0
x＝ = =
x1 = .
(2) x2 x = 0;
解：a=1，b= ，c =
Δ= b2－4ac =( )2 4×1×( ) = 3 >0
x＝ = =
x1 = .
(3) x(x 4)=2 8x ;
解：方程化为 x2+4x 2=0
a=1，b=4，c= 2
Δ= b2－4ac = 42 4×1×( 2) = 24>0
x＝ = = 2
x1 = .
(4) x2+2x+10=0.
解：a=1，b=2，c=10
原方程无实数根
Δ= b2－4ac = (2)2 4×1×10 = 20＜0
6、用因式分解法解下列方程：
（1）3x2 12x = 12；
解： 移项、化简，得x2 4x + 4=0.
因式分解，得(x 2)2=0.
x 2 =0 ,
即 x1= x2= .
（2）4x2 144= 0；
解： 4(x2 36) = 0
因式分解，得4(x + 6)(x 6) = 0.
于是 x+ 6 =0 或 x 6 =0,
即 x1= 6x2= .
（3）3x(x 1) =2(x 1)；
解： 移项，得 3x(x 1) 2(x 1) = 0.
因式分解，得(x 1)(3x 2) = 0.
于是 x 1 =0 或 3x 2 =0,
即 x1= 1x2= .
（4）(2x 1)2= (3 x)2.
解：移项，得 (2x 1)2－(3 x)2 = 0 .
化简，得(x + 2)(3x 4) =0,
即 x1= 2x2= .
由平方差公式：a2－b2 = (a+b)(a-b)
得 [(2x 1) + (3 x)] [(2x 1)－(3 x)] = 0 .
于是 x + 2 =0 或 3x 4 =0,
7、求下列方程两个根x1，x2的和与积：
（1）x2－3x+2=10； （2）5x2+x 5=0；
解：x1+x2 = 3
解：x1+x2=
x1x2 = 8
x1x2 = 1
（3）x2+x=5x+6； （4）7x2 5=x+8.
解：化简得
解：化简得
x1+x2=4
x1x2= 6
x2 4x 6=0
7x2 x 13=0
x1+x2=
x1x2=
综合运用
8、一个直角三角形的两条直角边的长相差5，面积是7，求斜边的长.
解：设较短的一条直角边为x，则较长直角边为(x+5).
根据题意，得x(x+5)=7， 整理，得 x2+5x 14=0,
解得x1=2，x2= 7（不合题意，舍去）
∴当x=2时，x+5=7.
由勾股定理，得 = .
答：这个直角三角形斜边的长为 .
9、用适当方法解下列方程：
（1）3x2=54； （2）x2 4x=8；
解：x2 = 18
x = ±
x1=
x2= .
解：x2 4x +4 = 8 + 4
(x 2)2 = 12
x 2= ±
x1= 2 +
x2= 2 .
(3) 3x2 1=2x;
解： 3x2 2x 1 = 0.
(3x+1)(x 1) = 0.
3x+1 =0 或 x 1 =0,
x1= x2= .
(4) x2 6x+9 = (5 2x)2.
解：(x 3)2 = (5 2x)2 .
( x + 2)(3x 8) =0,
即 x1= 2x2= .
(x 3)2 (5 2x)2 = 0
[(x 3) + (5 2x)] [(x 3)－(5 2x)] = 0 .
x + 2 =0 或 3x 8 =0,
10、无论p取何值，方程(x 3)(x 2) p2=0总有两个不相等的实数根吗？如果有，求出这两个根；如果没有，说明理由.
解：方程可化为x2 5x+6 p2=0，
∴Δ= b2 4ac=( 5)2-4×1×(6 p2) = 4p2+1.
∵p2 ≥ 0，
∴4p2+1＞0，即Δ>0，
∴无论p取何值，方程(x 3)(x 2)-p2 = 0总有两个不等的实数根.
拓广探索
11、已知方程2x2 6x+3=0的两个根为x1，x2，求下列式子的值：
（1） + ； （2）x12+x22 .
（1） + = = = 2
（2）x12+x22 = (x1+x2)2 2 x1x2 = 32 2 × = 6
12.（1）因为x3 8x2+19x 12=(x 1)(x 3)(x 4)，所以1，3，4是一元三次方程x3 8x2+19x 12=0的三个根，计算1+3+4，1×3+3×4+4×1，1×3×4的值，它们与一元三次方程x3 8x2+19x 12=0的系数有什么关系？
解: 1+3+4=8，
1×3+3×4+4×1=19，
1×3×4=12，
因为x3 8x2+19x 12=0,
一元三次方程一般形式：x3 + ax2 + bx + c = 0 .
所以 a = 8，b = 19，c = 12 .
所以 1+3+4 = a，
1×3+3×4+4×1 = b，
1×3×4 = c .
（2）如果一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0有三个实数根x1，x2，x3，那么ax3+bx2+cx+d可以化为a(x x1)(x x2)(x x3)，由此你能发现x1，x2，x3与一元三次方程的系数a，b，c，d之间的关系吗？
解: ax3+bx2+cx+d = a(x x1)(x x2)(x x3)，
x3 + x2 + x + = (x x1)(x x2)(x x3)
= x3 (x1+x2+x3)x2 + (x1x2 + x2x3
+x1x3)x x1x2x3
所以 x1+x2+x3 = ，
x1x2 + x2x3 +x1x3 = ，
x1x2x3 = .
作业布置
完成对应课时练习．
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