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2025-2026学年上海市嘉定区育才中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共4小题，共18分。
1.已知z∈C，“z=”是“z为实数”的（　　）条件
A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要
2.在△ABC中，a3+b3=c3，则三角形的形状一定是（　　）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
3.在△ABC中，∠A=60°，a=，b=4，满足条件的△ABC（　　）
A. 无解 B. 有解 C. 有两解 D. 不能确定
4.定义：非零向量、的外积记作是一个向量，其中，命题①在数值上等于以、为邻边的平行四边形面积；命题②，则两个命题的真假为（　　）
A. ①真，②真 B. ①真，②假 C. ①假，②真 D. ①假，②假
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知扇形半径为1，圆心角为150°，则面积为 .
6.计算：i+i2+…+i2026= .
7.已知△ABC中，，若，，则用、表示= .
8.复数z=（1+2i）（3-i），则= .
9.若复数z=（m2-2m-3）+（m2-1）i为纯虚数，则实数m= ．
10.已知x2+2ai=0有实数根，则实数a= .
11.已知，，，则在方向上的投影向量为 .
12.已知，，若与夹角为钝角，则k的取值范围为 .
13.函数，如图，则f（x）= .
14.在复平面内，复数z1，z2，z3对应点分别为Z1，Z2，Z3，若|z1|=|z2|=， =0，|z1+z2-z3|=2，则|z3|的取值范围是 .
15.已知△OAB中，，，，，P为△OAB外心，则= .
16.已知函数f（x）=asinx+cos2x（a∈R）在（0，nπ）内恰有2025个零点，则正整数n= .
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题15分)
已知，，
（1）当m=-4时，求及；
（2）若与平行，求实数m的值.
18.(本小题15分)
已知函数f（x）=cotx.
（1）写出函数定义域，判断函数奇偶性并说明理由；
（2）写出函数单调区间，并用定义证明其在单调区间上的单调性.
19.(本小题16分)
某地区要设计建造一个自然保护区，如图所示，在一块矩形区域ABCD中（其中AB为60米，AD为30米），过道EF将其分为两个主要区域，休闲区为以D为圆心，AD为半径的四分之一圆，绿化区为四边形BEFC，且EF与圆弧相切，记切点为G.（计算结果保留两位小数）
（1）若∠ADE=25°，求EF的长；
（2）E点在线段AB上何处时，才能使绿化区的面积最大，求出最大值.
20.(本小题16分)
已知函数.
（1）求函数的最小正周期、对称轴和零点；
（2）若，，求cosα的值；
（3）若关于x的方程f（x）-m=2在x∈[0，π]上有两个不同的解x1、x2，求实数m的取值范围及x1+x2的值.
21.(本小题16分)
对于定义域为R的函数g（x），若存在正常数T，使得cosg（x）是以T为周期的函数，则称g（x）为余弦周期函数，且称T为其余弦周期.已知f（x）是以T为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R，设f（x）为R上的严格增函数，f（0）=0，f（T）=4π.
（1）证明是以8π为余弦周期的余弦周期函数；
（2）设a＜b,证明对任意c∈[f（a），f（b）]，存在x0∈[a,b]，使得f（x0）=c；
（3）证明：“u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上的解”的充要条件是“u0+T为方程cosf（x）=1在[T，2T]上的解”，并证明对任意x∈[0，T]都有f（x+T）=f（x）+f（T）.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】
6.【答案】-1+i．
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】3
10.【答案】0．
11.【答案】和
12.【答案】
13.【答案】tan（2x+）
14.【答案】[0，4]．
15.【答案】6．
16.【答案】1350．
17.【答案】π-arccos，10 m=6
18.【答案】定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，函数为奇函数 单调递减区间为（kπ，kπ+π），k∈Z，无单调递增区间，
证明：，
则f（x）=cotx的周期为π，
当x∈（0，π），设0＜x1＜x2＜π，∴0＜x2-x1＜π，sin（x2-x1）＞0，sinx1＞0，sinx2＞0，sinx1sinx2＞0，
则
=＞0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，f（x1）＞f（x2），
即f（x）=cotx在（0，π）上单调递减，
则f（x）=cotx在（kπ，kπ+π），k∈Z上单调递减，无单调增区间
19.【答案】39.16米 点E距离点A为17.32米时，绿化区面积最大，最大值为1020.58平方米
20.【答案】T=π，对称轴，零点或 -3＜m＜1且，或
21.【答案】，
cosh（x+8π）=cos（h（x）+8π）=cosh（x），
所以存在正常数T=8π使得cosh（x+T）=cosh（x）对一切x∈R成立，
故h（x）是以8π为余弦周期的余弦周期函数 若c=f（a）或c=f（b），分别取x0=a或x0=b即可．
下设f（a）＜c＜f（b）．
构造集合A={x∈[a，b]|f（x）＜c}．
因为f（a）＜c，所以A非空；又A [a，b]，所以A有上界．
设x0=supA．
下面证明f（x0）=c．
若f（x0）＜c，由于f的值域为R，存在u∈R，使得．
由严格增性可知u＞x0．
又因为f（u）＜c＜f（b），所以u＜b，这与x0是A的上确界矛盾．
若f（x0）＞c，由于f的值域为R，存在v∈R，使得．
由严格增性可知v＜x0．
根据上确界的定义，在（v，x0]内存在x∈A．
于是x＞v，从而f（x）＞f（v）＞c，这与x∈A矛盾．
因此只能有f（x0）=c，命题得证 先证明充要条件．若u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上的解，则u0∈[0，T]，且cosf（u0）=1．
由于cosf（x）是以T为周期的函数，所以cosf（u0+T）=cosf（u0）=1．
又u0+T∈[T，2T]，所以u0+T为方程cosf（x）=1在[T，2T]上的解．
反过来，若u0+T为方程cosf（x）=1在[T，2T]上的解，则cosf（u0+T）=1．
由周期性得cosf（u0）=cosf（u0+T）=1，且u0∈[0，T]，所以u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上的解．充要条件得证．
下面证明f（x+T）=f（x）+f（T）．
由第（2）问可知，f在[0，T]上能取遍[0，4π]中的所有值．
又f严格递增，所以方程cosf（x）=1在[0，T]上的解恰好对应f（x）=0，f（x）=2π，f（x）=4π，
因此它在[0，T]上有且只有3个解．
由上面已证的充要条件，方程cosf（x）=1在[T，2T]上也有且只有3个解．
因为cosf（2T）=cosf（T）=cos4π=1，且f（2T）＞f（T）=4π，所以存在整数m≥3，使得f（2T）=2mπ．
又由第（2）问可知，f在[T，2T]上能取遍[4π，2mπ]中的所有值．
于是方程cosf（x）=1在[T，2T]上的解对应f（x）=4π，6π，8π，…，2mπ，共有m-1个．
因此m-1=3，即m=4，所以f（2T）=8π．
任取x0∈[0，T]，令c=cosf（x0）．
设方程cosf（x）=c在[0，T]上的全部解依次为x1＜x2＜…＜xn．
由于f严格递增，f（x1），f（x2），…，f（xn）正好是在区间[0，4π]内满足cosu=c的所有u值，并且按从小到大排列．
由周期性可知，x1+T，x2+T，…，xn+T是方程cosf（x）=c在[T，2T]上的全部解，且仍按从小到大排列．
又因为f在[T，2T]上严格递增且取遍[4π，8π]，
所以该方程在[T，2T]上的全部解对应的函数值应为f（x1）+4π，f（x2）+4π，…，f（xn）+4π．
于是对每个i=1，2，…，n，都有f（xi+T）=f（xi）+4π．
由于x0是上述某个xi，所以f（x0+T）=f（x0）+4π=f（x0）+f（T）．
故对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）
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