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2025-2026学年山东省临沂市蒙阴县实验中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.若z（1+i）=1-5i,则=（　　）
A. -2-3i B. -2+3i C. 3-3i D. 3+3i
2.已知向量，若，则实数m=（　　）
A. -4 B. -2 C. 2 D. 4
3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知a=2，b=2，B=45°，则A等于（　　）
A. 30°或150° B. 60° C. 60°或120° D. 30°
4.一个水平放置的平面四边形ABCD，用斜二测画法画出的直观图为如图所示的矩形A′B′C′D′，已知A′B′=2，O′是A′B′的中点，则原四边形ABCD的周长为（　　）
A. 6
B. 8
C. 10
D.
5.若，，向量与的夹角为120°，则向量在向量上的投影向量为（　　）
A. B. C. D.
6.圆台的上、下底面半径分别为10和20，它的侧面展开所得的扇环所对的圆心角为180°，则圆台的体积为（　　）
A. B. C. 7000π D.
7.如图，在梯形ABCD中，，E为线段AB的中点，先将梯形挖去一个以BE为直径的半圆，再将所得平面图形以直线AB为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为（　　）
A. B. C. 7π D. 6π
8.在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a,b,c,若，，则sinA+sinC=（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知复数z1，z2，其中i为虚数单位，下列说法正确的是（　　）
A. i2025=i B. |z1|＞|z2|，则z1＞z2
C. D.
10.已知点A（1，2），B（3，1），C（4，m+1）（m∈R），则下列说法正确的是（　　）
A. B. 若，则m=-2
C. 若，则 D. 若，的夹角为钝角，则m＜2
11.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,则如下判断正确的是（　　）
A. 若A＞B，则sinA＞sinB
B. 若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形或直角三角形
C. 若sin2A+sin2B＞sin2C，则△ABC是锐角三角形
D. 若a=10，b=9，B=60°，则符合条件的△ABC有两个
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，的夹角为，，，则= .
13.已知某棱长为的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球的表面积为 .
14.宁化县的慈恩塔始建于唐末年间，现在的慈恩塔是1998-2006年重建的，如图1.某人为了测量塔高CD，在A点处测得仰角为45°，在B点处测得仰角为60°，A、B两点间的距离为30米，∠ACB=30°，如图2，则塔的高度为 米.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数，且|z|=2，a为实数.
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若z为纯虚数，复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数b的取值范围.
16.(本小题15分)
已知向量，满足，，向量的夹角为60°.
（1）求的值；
（2）求向量与的夹角θ的余弦值.
17.(本小题15分)
已知△ABC中，a,b,c分别为角A，B，C的对边，且a2+c2+ac=b2.
（1）求B；
（2）若a=3c,D是AC的中点，且，求△ABC的面积.
18.(本小题17分)
一个圆锥的底面半径为2，高为6，在圆锥内部有一个高为x的内接圆柱.
（1）求该圆锥的表面积S′；
（2）用x表示圆柱的轴截面面积S；当x为何值时，求S最大值.
19.(本小题17分)
如图，A、B是海面上位于东西方向相距5（3+）海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，试求：
（1）轮船D与观测点B的距离；
（2）救援船到达D点所需要的时间．
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】AC
10.【答案】AC
11.【答案】ABD
12.【答案】2
13.【答案】4π．
14.【答案】30
15.【答案】（Ⅰ）a=±2．
（Ⅱ）．
16.【答案】-11
17.【答案】；
．
18.【答案】 ；当x=3时，Smax=6
19.【答案】解：（1）由D在A的北偏东45°，在B的北偏西60°，
∴∠DAB=45°，∠DBA=30°，
∴∠ADB=105°，
由正弦定理得=，
∴=，
又sin75°=sin（30°+45°）=sin30°cos45°+cos30°sin45°=，
∴BD=10，
答：轮船D与观测点B的距离为10海里；
（2）△BCD中，BD=10，BC=20，∠DBC=60°，
∴DC2=BD2+BC2-2BD×BC×cos60°=300+1200-2×10×20×，
∴DC2=900，解得DC=30，
∴t==1（小时），
答：救援船到达D所需的时间为1小时．
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