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2025-2026学年四川省凉山州西昌市高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知（其中i是虚数单位），则z的共轭复数为（　　）
A. 2-i B. 2+i C. 10-5i D. 10+5i
2.下列各组向量中，能作为基底的是（　　）
A. ， B.
C. ， D.
3.在△ABC中，已知c=5，b=4，A=60°，则a=（　　）
A. 3 B. C. D. 21
4.已知向量，，若与共线，则m的值为（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5.在△ABC中，已知AB=2，BC=1，∠ABC=60°，则△ABC的面积为（　　）
A. B. 1 C. D.
6.已知平面向量，则在上的投影向量为（　　）
A. （0，3） B. （3，6） C. （0，6） D.
7.某同学要测量一旗杆CD的高度，他在地面选择了A，B两个观测点，且A，B，C三点在同一直线上，如图所示，在A处测得该旗杆顶端D的仰角为α，在B处测得该旗杆顶端D的仰角为β.若AB=a,，则旗杆CD的高度为（　　）
A. B.
C. D.
8.已知G为△ABC的重心，过G的直线与AB，AC边分别交于M，N点，若，则的最小值为（　　）
A. B. C. 2 D. 4
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列各式的值为的是（　　）
A. B. C. D.
10.在△ABC中，（　　）
A. 若sinA＞sinB，则A＞B
B. 若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形
C. 若sinA+cosB=0，则△ABC为钝角三角形
D. 若A，B是锐角，sinA＞cosB，则△ABC为锐角三角形
11.已知复数z1=2-i在复平面上对应的点为P1，复数z2满足|z2-i|=1，则下列结论中正确的是（　　）
A. 点P1的坐标为（2，-1） B.
C. |z2-z1|的最大值为 D. |z2-z1|的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设i为虚数单位，则= .
13.若在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若b2+c2-a2=bc，则A=______．
14.函数f（x）=sin（ωx+3φ）-2sinφcos（ωx+2φ）（ω＞0，0＜φ＜π），设T为函数f（x）的最小正周期，，且函数f（x）在（0，π）上单调递增，则ω的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
（1）已知，，求的值；
（2）已知tan（α-β）=2，tan（α+β）=3，求tan2α，tan2β的值.
16.(本小题15分)
已知向量，
（1）若∥，求；
（2）若，求与夹角的余弦值.
17.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B所对的边长分别为a,b,若.
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC为锐角三角形，a=2，求△ABC面积S的最大值.
18.(本小题17分)
已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中点A为图象上的最高点，点B，C为图象与x轴的两个相邻交点，且，.
（1）求f（x）的解析式；
（2）当时，求f（x）的值域；
（3）将函数f（x）的图像向右平移后得到g（x），若f（x）-g（x）＜m恒成立，求m的取值范围.
19.(本小题17分)
设Ox、Oy是平面内相交成α（0＜α＜π）的两条射线，、分别是与Ox、Oy同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为α-仿射坐标系，α-仿射坐标系中，对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数使得，我们把有序实数对（x,y）叫做向量的α-仿射坐标，记作.已知在如图所示的α-仿射坐标系中，B，C分别在x轴、y轴正半轴上，点D、F分别为OC、BC的中点，且.
（1）若α-仿射坐标系中，，请用与的坐标表示；
（2）在仿射坐标系中，若.
i.求与的仿射坐标；
ii.求.
（3）在仿射坐标系中，若，，，求的最大值.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】AB
10.【答案】AC
11.【答案】ABC
12.【答案】1
13.【答案】60°
14.【答案】
15.【答案】 tan2α=-1，
16.【答案】解：（1）因为，所以1×t=2×2，
解得t=4，所以=（2，4），
所以；
（2）因为，所以，
所以t=-3，所以=（2，-3），而，
所以（）=4×2+4×（-3）=-4，
||==，||==，
则cos===-．

17.【答案】解：（1）根据边角转换可得，则，
0＜A＜π，则或；
（2）由题意知，，
令，，
，，
=，
，则，
则当θ=0时，，
所以△ABC面积S的最大值为．

18.【答案】
19.【答案】x1x2+（x1y2+x2y1）cosα+y1y2 ①，；②
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