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25.2　降次——解一元二次方程
25.2.1　配方法
第2课时 用配方法解一元二次方程
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1．填空：
(1)x2＋6x＋______＝(x＋______)2；
(2)x2－5x＋(______)2＝(x－______)2；
(3)x2＋x＋(______)2＝(x＋______)2.
9
3
????????
?
????????
?
????????
?
????????
?
2．若x2－mx＋64是一个完全平方式，则m的值是________．
±16
探究新知
解方程(x+3)2=5时，因为它的左边是含有x的完全平方式，右边是非负数，所以可以直接降次解方程.
对于任意一个一元二次方程，能否都转化为这种可以直接降次的形式再求解呢？
探究：
怎样解方程x2＋6x＋4＝0 ？
把方程(x＋3)2＝5化成一般形式，然后与所探究中的方程进行比较，你有什么发现？
如何将方程x2＋6x＋4＝0化成(x＋3)2＝5的形式呢？
要把方程x2＋6x＋4＝0转化为像(x＋3)2＝5这种形式的方程，关键是将方程的左边转化为一个完全平方式.
对方程x2＋6x＋4＝0移项，得 x2＋6x＝?4 .
由a2+2ab+b2 = (a+b)2，将上述方程两边同时加(????????)2，即9，方程左边就可以配成x2+2mx+m2形式的完全平方式，即x2＋6x＋9 ＝?4＋9.
?
左边写成完全平方形式，得(x+3)2＝5.
解这个方程，得x1=－3+????，x2=－3－????.
?
可以验证,－3±????是方程x2＋6x＋4＝0的两个根.
?
像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.
配方法的基本思路：
把方程化为(x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解.
把常数项移到方程右边之后，为什么要在x2＋6x＝－4的两边都加上9？加其他数行吗？
x2＋6x＋9 ＝?4＋9
配方是为了利用开方实现降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解.
通过x2＋6x＋4＝0的解题过程，你能说说配方的一般步骤是什么吗？
配方的关键是什么吗？
解方程3x2－2x－1＝0.
如果一个一元二次方程的二次项系数不为1，还能用配方法来解吗？
请将方程3x2－2x－1＝0的二次项系数化为1，并尝试解此方程.
解方程3x2－2x－1＝0.
解：移项，得：3x2 ?2x=1.
二次项系数化为1，两边同除以3得：x2 ? ????????x = ???????? .
?
配方，得：x2 ? ????????x + ???????? = ???????? + ????????
?
(??????????????)????= ???????? ，
?
x1= ???????? + ???????? = 1，x2= ?????????????????? = ?????????.
?
??????????????= ±????????
?
用配方法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边；
②二次项系数化为1，方程左、右两边同时除以二次项系数；
③配方，方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方；
④降次，利用平方根的意义降次；
⑤解两个一元一次方程，移项、合并同类项.
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (????+????)????= p .
?
（1）当p>0时，则????+????=±????，方程有两个不等的实数根x1 =?????+ ????，x2 = ??????????；
?
（2）当p=0时，则????+????=0，方程有两个相等的实数根x1 = x2 =?????；
?
（3）当p<0时，因为对任意实数x，都有(????+????)????≥0，所以方程无实数根.
?
知识归纳
1．通过配成____________形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法．
完全平方
2．对于任意一元二次方程，用配方法解的一般步骤：(1)先化成____________；
(2)将常数项移到等式右边；
(3)两边除以____________；
(4)方程两边都加上______________________；
(5)将等式左边化成________________；
(6)两边开方，并求出方程的解．
一般形式
二次项系数
一次项系数一半的平方
完全平方形式
(1)配方过程中，在等式两边加上的常数与一次项系数的关系如何？
提出问题：
(2)配方过程中，若等号右边为负数，这个方程有没有实数根？
(3)配方过程中还需注意哪些问题？
例 1
例题与练习
(1) x2-8x+1=0； (2) 2x2+1=3x； (3) 3x2-6x+4=0.
分析： (1) 方程的二次项系数为1，直接运用配方法.
解下列方程：
(2) 先把方程化成 2x2-3x+1=0.它的二次项系数为2，为了便于配方，需将二次项系数化为1，为此方程的两边都除以2.
(3) 与(2)类似，方程的两边都除以3后再配方.
解：移项，得：x2 ? 8x = ?1.
(1) x2-8x+1=0；
配方，得：x2 ? 8x + 42 = ?1+ 42，
(x ? 4)2 = 15
x ? 4 = ±????????
?
x1=????? +?????????，x2= ????－????????.
?
(2) 2x2+1=3x
解：移项，得：2x2 ?3x = ?1.
二次项系数化为1，得：x2 ? ????????x = ????????? .
?
配方，得：x2 ? ????????x + (????????)???? = ????????? + (????????)????
?
(??????????????)????= ???????????? ，
?
x1= ???????? + ???????? = 1，x2= ?????????????????? = ????????.
?
??????????????= ±????????
?
(3) 3x2-6x+4=0
因为(??????????)????=????????? < 0,
?
解：移项，得：3x2 ?6x = ?4.
二次项系数化为1，得：x2 ? ????x = ????????? .
?
配方，得：x2 ? ????x + ???????? = ????????? + ????????
?
(??????????)????=????????? ，
?
所以原方程无实数根.
例 2
求证：无论x为何值，代数式2x2－4x＋3的值恒大于0.
证明：2x2－4x＋3＝2(x2－2x＋????????)
?
∵(x－1)2≥0，
∴2(x－1)2＋1＞0，
∴无论x为何值，代数式2x2－4x＋3的值恒大于0.
＝2[(x－1)2＋????????]
?
＝2(x－1)2＋1.
二次三项式的配方与一元二次方程的配方有什么区别，请指出具体区别在什么地方？
二次三项式配方时，不能除以二次项的系数，只能提取二次项的系数，并添上括号，再用配方法构造一个完全平方式；而一元二次方程配方时，两边除以二次项系数后，再用配方法构造一个完全平方式．
1.填空：
(1) x2+10x +______= ( x +______)2；
(2) x2?12x +______= ( x ?______)2；
(3) x2+5x +______= ( x +______)2；
(4) x2? ????????x +______= ( x ?______)2.
?
25
5
36
6
????????????
?
????????
?
????????
?
????????
?
解：移项，得 x2+10x =－9
配方，得 x2+10x +52 =－9+52
(x+5)2 =16
由此可得 x+5 =±4
x1= －1 ， x2=－9
2. 解下列方程：
（1）x2+10x +9 = 0；
解：移项，得 x2 － x = ????????
?
配方，得x2 － x +( ???????? )2 = ???????? + ( ???????? )2
?
(x － ???????? )2 = 2
?
由此可得 x－???????? =±????
?
x1= ???????? + ????， x2= ????????－????
?
（2）x2 －x －???????? = 0；
?
解：移项，得 3x2+6x =4
二次项系数化为1，得 x2+2x = ????????
?
配方，得 x2+2x +12 = ?????????+12
?
由此可得 x+1 =±????????????
?
x1= －1+ ????????????， x2=－1－????????????
?
(x +1)2 = ????????
?
（3）3x2+6x －4 = 0；
解：移项，得 4x2 －6x =3
二次项系数化为1，得 x2－ ???????? x = ????????
?
配方，得 x2－ ????????x +( ?????????)2 = ???????? +( ???????? )2
?
由此可得 x－???????? =±???????????? ，
?
(x－ ???????? )2 = ????????????????
?
x1= ????+????????????， x2= ?????????????????
?
（4）4x2 －6x －3 = 0；
解：移项，得 x2+4x－2x=－11+9
x2+2x =－2
配方，得 x2+2x +12 = －2+12
原方程无实数根.
(x +1)2 =－1
（5）x2+4x－9 = 2x－11；
解：移项，得x2 +4x = 8x+4
x2 －4x = 4
配方，得x2 －4x+22=4+22
由此可得x－2 =±2????
?
x1= 2+2????， x2= 2－2????
?
(x－2)2 = 8
（6）x(x +4) = 8x+4.
3．代数式x2－8x＋18的值 (　 　)
A．恒为正　　　 B．恒为负　　　
C．可能为0　　　D．不能确定
A
4．把方程2x2＋6x－1＝0配方后得(x＋m)2＝k，则m＝______，k＝______．
5．式子－x2－4x－5，可配方为－(x＋______)2______，该式有最______值，是______．
????????
?
????????????
?
2
－1
大
－1
6．试证明：无论a为何实数，关于x的方程(a2－8a＋17)x2＋2ax＋1＝0都是一元二次方程．
证明：∵a2－8a＋17＝(a－4)2＋1＞0，
∴无论a为何实数，该方程都是一元二次方程．
课堂小结
1．配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤．
2．配方法是解一元二次方程的通法，它的重要性不仅仅表现在一元二次方程的解法中，也可通过配方，利用非负数的性质判断代数式的正负性，在今后学习二次函数，到高中学习二次曲线时，还将经常用到．
随堂检测
1、用配方法解方程 x2?4x?1=0，配方后正确的是（ ）
(x?2)2=5 B. (x?2)2=1
C. (x+2)2=5 D. (x?4)2=17
A
2、方程 x2+6x=5 配方后为（ ）
A. (x+3)2=14
B. (x+3)2=9
C. (x?3)2=14
D. (x+6)2=41
A
3、将 x2?8x+m=0 配方得 (x?4)2=11，则 m 的值为（ ）
5 B. -5
C. 16 D. -11
B
作业布置
(1)教材P17　习题25.2第2，3题；
(2)对应课时练习．
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine

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