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25.2　降次——解一元二次方程
25.2.2　公式法
新课导入
用配方法解方程：
(1)x2＋3x＋2＝0； (2)2x2－3x－5＝0.
解：(1)x1＝－1，x2＝－2；
(2)x1＝－1，x2＝.
任何一个一元二次方程都可以写成ax2＋bx＋c＝0的形式，我们是否也能用配方法求出它的解呢？想想看，该怎样做？
探究新知
探究：
任何一个一元二次方程都可以化成一般形式
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
能否用配方法得出它的解呢？
提出问题：
运用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？
结合“步骤”解方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，移项得_______________，二次项系数化为1，得_____________，两边同时加一次项系数一半的平方，得______________________．左边写成完全平方式，右边整理得_________________；
ax2＋bx＝－c
x2＋x＝－
x2＋x＋＝－
(x＋)2＝
移项，得ax2 + bx = －c
二次项系数化为1，得 x2＋x＝－
配方，得 x2＋x＋＝－ +
即 (x＋)2 ＝ ①
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
(x＋)2 ＝
两边能直接开平方求解吗？为什么？你觉得应该怎么办？
因为a≠0，所以4a2＞0.
(1)当b2－4ac >0时， >0，由①得：
方程有两个不等的实数根
x＋ = ±
x1 = .
式子b2-4ac的值有以下三种情况：
(2)当b2－4ac = 0时， =0，
由①可知, 方程有两个相等的实数根x1 = .
(3)当b2－4ac < 0时， < 0，
由①可知(x＋)2 < 0，而x取任何实数都不能使(x＋)2 < 0 成立，因此方程无实数根.
可以发现，式子可以判别一元二次方程的根的情况，因此把它叫作一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式，通常用希腊字母“△”表示，即
△=
Δ的符号 方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况
Δ＞0 有两个不等的实数根
Δ＝0 有两个相等的实数根
Δ＜0 无实数根
当Δ≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的实数根可写为x = 的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式.
解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
知识归纳
1．式子_________叫作一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式．Δ＞0 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)______________________；Δ＝0 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)____________________；Δ＜0 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)______________．
b2－4ac
有两个不相等的实数根
有两个相等的实数根
没有实数根
2．当________时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根可写为x＝的形式，这个式子叫作一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的__________．
Δ≥0
求根公式
一元二次方程根的情况是由什么决定的？
用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？需要注意什么问题？
①将一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0);
易错点：计算Δ的值时，注意a, b, c符号的问题.
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
②确定a，b，c的值；
③求出b2-4ac的值；
④若b2-4ac≥0，则利用求根公式求解；若b2-4ac＜0,则方程无实数根.
例 1
例题与练习
解：因为a=1，b= 4，c= 7
(1) x2 4x 7=0；
用公式法解下列方程：
所以 Δ= b2－4ac = ( 4)2 4×1×( 7) = 44 > 0
x＝ = = 2
即 x1 =.
(2) 2x2 2 x +1=0;
解：因为a=2，b= 2，c=1
所以 Δ= b2－4ac = ( 2)2 4×2×1 = 0
x1 = = =.
方程有两个相等的实数根
(3)5x2 3x = x+1；
解：方程化为5x24x1=0，
此时 a=5，b=4，c=1，
所以 Δ= b2－4ac=(-4)24×5×(1) = 36>0
方程有两个不相等的实数根
x＝ = =
即 x1 = .
解：方程化为x2-8x+17=0，
方程无实数根
(4)x2+17=8x.
此时 a=1，b=8，c=17，
所以 Δ= b2－4ac = (8)24×1×17 =4＜0
回到本章引言中列出的一元二次方程
x2 + 5x 25 = 0
用公式法解这个方程，得
x＝ =
即 x1 =
如果结果保留小数点后两位, 那么x1≈3.09，≈8.09
关于这两个根，只有x1≈3.09符合问题的实际意义，因此雕像腰部以下身长约为3.09 m.
例 2
不解方程，判断下列方程的根的情况．
(1)x2－2x＋1＝0；
解：(1)∵Δ＝b2－4ac
∴方程有两个相等的实数根；
＝(－2)2－4×1×1
＝0，
(2)∵Δ＝b2－4ac＝42－4×3×5＝－44＜0，
(2)3x2＋4x＋5＝0；
(3)－x2＋7x＋6＝0.
∴方程无实数根；
(3)∵Δ＝b2－4ac＝72－4×(－1)×6＝73＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
例 3
关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－1＝0有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
解：(1)依题意，得
Δ＝(2m＋1)2－4(m2－1)＝4m＋5＞0，
解得m＞－.
(2)答案不唯一，如：m＝1.
(2)写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．
此时方程为x2＋3x＝0，
解得x1＝－3，x2＝0.
例 3
关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－1＝0有两个不相等的实数根．
（1）x2+x－6 = 0；
1. 解下列方程：
解：因为a=1，b=1，c= 6
所以 Δ= b2－4ac = 12 4×1×( 6) = 25 > 0
x＝ = =
即 x1 =.
方程有两个不相等的实数根
（2） x2－ x － = 0；
解：因为a=1，b=－，c=－
所以 Δ= b2－4ac = (－)2 4×1×(－) = 4 > 0
x＝ =
即 x1 =
方程有两个不相等的实数根
（3）3x2 －6x + 4 = 0；
解：因为a=3，b=6，c=4，
所以方程无实数根.
所以 Δ= b2－4ac = (6)24×3×4 =12＜0
（4）2x2－3x = 0；
解：因为a=2，b=－，c=0
所以 Δ= b2－4ac = (－)2 4×2×0 = 9 > 0
x＝ = =
即 x1 =.
方程有两个不相等的实数根
（5）x2 +4x+8 = 4x+11；
解：方程化为x23 = 0，
此时 a=1，b=，c=3，
所以 Δ= b2－4ac = 024×1×(3) = 12>0
方程有两个不相等的实数根
x＝ = =
即 x1 = .
（6）x(2x－4) = 5－8x.
解：方程化为2x24x5=0，
此时 a=2，b=4，c=5，
所以 Δ= b2－4ac=424×2×(5) = 56>0
方程有两个不相等的实数根
x＝ = =
即 x1 = .
2．若关于x的一元二次方程x2＋4x＋k＝0有两个相等的实数根，则 (　 　)
A．k＝－4　　　　B．k＝4　　　　
C．k≥－4　　　　D．k≥4
B
3．关于x的一元二次方程x2＋ax－1＝0的根的情况是 (　 　)
A．没有实数根
B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根
D
4．若关于x的一元二次方程x2－4x－m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是__________．
m＞－4
课堂小结
1．求根公式的概念及其推导过程．
2．公式法的概念．
3．运用公式法解一元二次方程的步骤：
(1)将所给的方程化成一般形式，注意移项要变号，尽量让a＞0；
(2)找出系数a，b，c，注意各项系数及符号；
(3)计算b2－4ac的值，若结果为负数, 方程无解；若结果为非负数，代入求根公式算出结果．
随堂检测
1、一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根，则b2-4ac满足的条件是（ ）
A. b2-4ac=0 B. b2-4ac＞0
C. b2-4ac＜0 D. b2-4ac≥0
B
2、已知一元二次方程：①x2+2x+3=0，②x2 2x 3=0.下列说法正确的是（ ）
A. ①②都有实数解
B. ①无实数解，②有实数解
C. ①有实数解，②无实数解
D. ①②都无实数解
B
3、如图， 有一块矩形铁皮， 长100 cm， 宽50 cm， 在它的四角各切去一个同样的正方形， 然后将四周突出部分折起 ， 就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2， 那么铁皮各角应切去多大的正方形？
x2－75x+350 = 0
Δ=b2－4ac=( 75)2 4×1×350 = 5625 1400=4225＞0
因为铁皮宽 50cm，x < 25
所以x=70 不符合实际，舍去.
答：各角应切去边长为5cm的正方形.
解：设各角应切去xcm的正方形.
x = = ，
x1＝=70，x2＝ = 5 .
作业布置
(1)教材P17　习题25.2第4，5题；
(2)对应课时练习．
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine

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