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25.2　降次——解一元二次方程
25.2.3　因式分解法
新课导入
1．若ab＝0，则________________；若(x－a)(x－b)＝0，则方程的根为______________．
2．分解因式：
(1)2x2－2x＝___________；
(2)9x2＋12x＋4＝___________．
a＝0或b＝0
x1＝a，x2＝b
2x(x－1)
(3x＋2)2
3．将一个多项式进行因式分解，通常有哪几种方法呢？
(1)提公因式法：am＋bm＋cm＝____________；
(2)公式法：a2－b2＝______________，
a2±2ab＋b2＝__________．
m(a＋b＋c)
(a＋b)(a－b)
(a±b)2
探究新知
（1）提取公因式法：
am+bm+cm = m(a+b+c)
（2）公式法：
a2 b2 = (a+b)(a b)
（3）十字相乘法：
x2+(p+q)x2+pq = (x+p)(x+q)
因式分解的方法有哪些？
a2 ± 2ab +b2 = (a±b)2
（1）直接开平方法：
（2）配方法：
（3）公式法：
x2 = a(a≥0)或(mx+n)2 = a(a≥0)
(x+h)2=k(k≥0)
我们学过的解一元二次方程的方法有哪些？
( ≥ 0)
问题：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物体经过x s离地面的高度（单位：m）约为：
10x 5x2
根据上述规律，物体经过多少秒落回地面？
物体落回地面是什么含义？
你能列出方程吗？
10x 5x2 = 0
10x 5x2 = 0
如何解这个方程呢？
可以用配方法或公式法解方程.
配方法：
10x 5x2 = 0
解：移项，得： 5x2 +10x = 0.
二次项系数化为1，得：x2 2x = 0 .
配方，得：x2 2x + 1 = 1
，
x1= + = 2，x2= = .
±
公式法：
10x 5x2 = 0
解：方程化为 5x2 +10x = 0，
此时 a=5，b=，c=，
所以 Δ= b2－4ac=1024×(5)×0 = 100 >0
方程有两个不相等的实数根
x＝ = =
即 x1 = .
10x 5x2 = 0
你还有更简便的方法解这个方程吗？
设物体经过x s落回地面，这时它离地面的高度为0m，即 10x 5x2 = 0 .
将方程的左边分解因式，得 x (10 5x) = 0 .
这个方程的左边是两个一次因式的乘积，右边是0.我们知道，如果两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反之，如果两个因式中任何一个为0，那么它们的积也等于0.
如果ab=0，那么a=0，或b=0.
所以 x = 0 ，或 10 5x = 0
因此，方程10x 5x2 = 0的两个根是
x1 = .
对于这两个根，x1=表示物体抛离地面的时刻，即在0 s时物体被抛出，此刻物体的高度是0 m；而表示物体在抛离地面2 s时落回地面.
解方程10x 5x2 = 0 时，二次方程是如何降为一次的？
思考：
解方程10x 5x2 = 0时，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次. 这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
解方程：①3x2＋x＝0；②4x2＝－8x.
方程3x2＋x＝0中有常数项吗？方程左边可用何种方法分解因式？如何解该方程？
②中方程整理后与①中方程特征相同吗？请解此方程．
如何用因式分解法解一元二次方程？
①3x2＋x＝0； ②4x2＝－8x.
解：x(3x + 1) = 0
x = 0，或(3x + 1)= 0
x1 =
解：4x2 + 8x = 0
4x = 0，或(x + 2)= 0
x1 =
4x(x + 2) = 0
用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
（1）移项，把方程变形为x2+px+q=0的形式；
（2）把方程因式分解为(x-x1)(x-x2)=0的形式；
（3）把方程转化为两个一次方程x-x1=0或x-x2=0的形式；
（4）解两个一元一次方程，求出方程的根.
学习了配方法、公式法、因式分解法等求解一元二次方程的方法后，你能说说它们各自的特点吗？
思考：
配方法要先配方，再开方，进而降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式解方程；因式分解法要先将方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.
配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法只在解某些一元二次方程时比较简便.
总之，解一元二次方程的基本思路是：先将二次方程化为两个一次方程，即降次，再分别解两个一次方程.
解法 适用的方程类型
直接开平方法 x2=p或 (mx+n)2=p(m≠0，p≥0)
配方法 二次项系数为1，一次项系数为偶数的一元二次方程
公式法 所有的一元二次方程
因式分解法 一边化为0，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程
一元二次方程的解法及适用类型：
知识归纳
1．对于一元二次方程，先因式分解使方程化为两个一次式的______等于0的形式，再使这两个一次式分别等于____，从而实现______，这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法．
乘积
0
降次
2．用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①将方程右边化为_______；
②将方程左边分解成两个一次因式的_______；
③令每个因式分别为_______，得两个一元一次方程；
④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．
0
乘积
0
3．用因式分解法解一元二次方程需注意哪些细节问题？
配方法要先______，再______，进而降次；公式法直接利用__________解方程；因式分解法要先将方程一边化为___________________，另一边为_______，再分别使各一次因式等于_______．
配方
开方
求根公式
两个一次因式相乘
0
0
配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法只在解某些一元二次方程时比较简便．总之，解一元二次方程的基本思路是：先将二次方程化为_________，即_____，再分别解两个一次方程．
一次方程
降次
例 1
例题与练习
解下列方程：
（1）x(x-2)+x-2=0；
解： 因式分解，得 (x 2)(x+1)=0.
于是 x 2 =0 或 x+1 =0,
即 x1=2，x2= 1.
解： 移项、合并同类项，得4x2-1=0.
（2）5x2 2x = x2 2x + ；
因式分解，得(2x 1)(2x+1)=0.
于是 2x 1 =0或2x+1 =0,
即 x1= x2= .
例 2
用因式分解法解下列方程．
(1)7x(3－x)＝2(x－3)；
解： 移项，得 7x(x－3) 2(x－3) = 0.
因式分解，得(x 3)( 7x 2) = 0.
于是 x 3 =0或 7x 2 =0,
即 x1= 3x2= .
(2)16(x－7)2－9(x＋2)2＝0.
解：变形为平方差形式：[4(x－7)]2－[3(x+2)]2 = 0 .
于是4(x－7) + 3(x+2) =0 或4(x－7)－3(x+2) =0,
即 x1= x2= .
由平方差公式：a2－b2 = (a+b)(a-b)
得 [4(x－7) + 3(x+2)] [4(x－7)－3(x+2)] = 0 .
例 3
用适当的方法解下列一元二次方程．
(1)2(x＋3)2＝8;
解：(1)原方程系数化为1，可得
由此可得x＋3＝±2，
(x＋3)2＝4
x1＝－1，x2＝－5.
(2)4x2－4x＋1＝0；
(2)因为a＝4，b＝－4，c＝1，
Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×4×1＝16＞0，
方程有两个不相等的实数根，
x＝＝，
x1＝，x2＝.
(3)(3x－4)2＝9x－12;
(3)移项，得(3x－4)2－(9x－12)＝0.
因式分解，得(3x－4)(3x－4－3)＝0.
于是得3x－4＝0，或3x－7＝0，
x1＝，x2＝.
(4)x2－2x－99＝0.
(4)因式分解，得(x－11)(x＋9)＝0.
于是得x－11＝0，或x＋9＝0.
x1＝11，x2＝－9.
解一元二次方程时，应当仔细观察方程的形式和系数特点, 选取合适的方法解一元二次方程, 有利于减少计算量，从而提高计算的正确性．
在用公式法求解时，需先计算b2－4ac的值，若它小于0，则此方程无实数根．一般先考虑能否用直接开平方法或因式分解法，其次再考虑用公式法或配方法．
1. 解下列方程：
（1）x2+x = 0； （2）x2 2x = 0；
解：x(x+1)=0
解：x(x 2)=0
x1= 0， x2= －1.
x1= 0， x2= 2 .
x = 0或 x + 1=0
x=0 或 x 2=0
（3）3x2 6x = 3； （4）4x2 81 = 0；
解：3x2 6x+3=0
(x 1)2 = 0
x2 2x+1=0
x1= x2= 1.
解：(2x)2 92 =0
(2x+9)(2x 9)=0
2x+9=0 或 2x 9=0
x1= ， x2= －.
（5）3x(2x+1) = 4x+2； （6）(x- 4) 2 = (5 2x) 2 .
解：6x2 x 2=0
解：(x 4)2 (5 2x)2=0
(2x+1)(3x 2)=0
x1= －， x2= .
2x+1=0 或 3x 2=0
(x 4+5 2x)[x 4 (5 2x)]=0
(1 x)(3x 9)=0
x1= 1， x2= 3 .
1 x =0 或 3x 9 =0
2. 如图，把小圆形场地的半径增加5m，得到大圆形场地，大圆形场地与小圆形场地的面积比为9：4. 求小圆形场地的半径.
解：设小圆半径为x m，
则大圆半径为 (x+5) m .
由面积比 9:4，得： =
= ，
2(x+5) = 3x，
2x +10 = 3x，
x = 10.
3．解方程x－＝(－x)2最适合的方法是( )
A．配方法 B．公式法
C．因式分解法 D．直接开平方法
C
4．直角三角形的两条直角边长分别为方程x2－7x＋12＝0的两个实数根，则直角三角形的斜边长为______．
5
5．已知：(x2＋y2)(x2＋y2－1)＝6，求x2＋y2的值．
解：设 t = x2＋y2.
因为平方和非负，所以 t ≥ 0.
原方程变为：t(t 1)=6，
t2 - t - 6 = 0.
因式分解：(t 3)(t+2)=0.
解得：t1 =3，t2 = 2.
因为 t = x2＋y2 ≥ 0，舍去 t = 2.
所以 x2＋y2＝3.
课堂小结
这节课主要学习了用因式分解法解一元二次方程的概念及其解法，解法的基本思路是将一元二次方程转化为一元一次方程而达到目的，我们主要利用了因式分解“降次”. 在今天的学习中, 要逐步领会、掌握“转化”这一数学思想方法.
随堂检测
1、方程 的根是( )
A.
B.
C.，
D.，
D
2、由方程 可以得到的方程是( )
A. 或
B.
C.
D.
A
作业布置
(1)教材P17　习题25.2第6题；
(2)对应课时练习．
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine

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