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2025-2026学年上海华东师范大学附属周浦中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共4小题，共12分。
1.袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（　　）
A. B. C. D. 1
2.某校高二年级有6个班，现有4名插班生安排到该年级的两个班中，且每班安排2名，则不同的安排方案种数为（　　）
A. B. C. D.
3.已知函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（　　）
A. 函数y=f（x）在点x=-2处的切线斜率小于零
B. 函数y=f（x）在区间（-1，1）上严格增
C. 函数y=f（x）在x=1处取得极大值
D. 函数y=f（x）在区间（-3，3）内至多有两个零点
4.若A，B两点关于点P（1，1）成中心对称，则称（A，B）为一对“相关点”，同时把（A，B）和（B，A）视为同一对“相关点”.已知图像上有两对“相关点”，则a等于（　　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.若，则n的值为 .
6.函数在x=1处的瞬时变化率 .
7.5人站成一排，其中甲站中间，共有 种排法.（用具体数字作答）
8.在的二项展开式中的常数项 .
9.已知函数f（x）=x3-ax+1的一个驻点为x=1，则实数a= ______.
10.已知，则a1-2a2+3a3-4a4+5a5= .（用数字作答）
11.已知函数f（x），g（x）满足：f（x）+x2g（x）=ex-x,且f（1）=1，则f′（1）+g′（1）= .
12.某校艺术节总汇演，已知高一，高二，高三分别选送了4，3，2个节目，若高二的节目彼此都不相邻，高三的节目必须相邻，共计有 种出场顺序.（用具体数字作答）
13.已知函数f（x）=aex-x-2的值恒大于零，则实数a的取值范围为 .
14.若曲线y=（x+2+a）ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 .
15.记定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f'（x），且f'（x）-f（x）＞0，f（1）=1，则不等式f（x）＞ex-1的解集为______．
16.设函数f（x）=|x3-6x2+ax+b|，若对任意的实数a和b，总存在x0∈[0，3]，使得f（x0）≥m，则实数m的最大值为______
三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4.现从盒子中随机抽取卡片.
（1）若一次抽取3张卡片，事件A表示“3张卡片上数字之和大于7”，求P（A）；
（2）若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，事件B表示“两次抽取的卡片上数字之和大于6”，求P（B）.
18.(本小题10分)
已知a为非零实数，考虑（x+a）n二项展开式.
（1）若a=1，且展开式中x3的系数是x的系数的7倍，求n的值；
（2）若n=7，且展开式中x3的系数是x的系数与x2的系数的算术平均数，求a的值.
19.(本小题10分)
某体育公园欲建连片的羽毛球馆若干间，用200万元购买土地15000平方米.该公园每间球馆的建设面积为1500平方米，球馆的总建筑面积的每平方米平均建设费用与球馆数有关：当建x间球馆时，每平方米的平均建设费用（单位：元）可近似用表示.为了使该球馆每平方米的综合费用最省（综合费用是建设费用与购地费用之和），该体育公园应建几个球馆？
20.(本小题12分)
设函数f（x）=xlnx-ax2+（2a-1）x,a∈R.
（1）若a=0，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）令g（x）=f′（x），求g（x）的单调区间；
（3）已知f（x）在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围.
21.(本小题12分)
对于函数y=f（x）的导函数y=f′（x），若在其定义域内存在实数x0和t,使得f（x0+t）=（t+1） f′（x0）成立，则称y=f（x）是“跃点”函数，并称x0是函数y=f（x）的“t跃点”.
（1）若函数y=sinx-m（x∈R）是“跃点”函数，求实数m的取值范围；
（2）若函数f（x）=-x3+k是定义在R上的“0跃点”函数，且在定义域内存在三个不同的“0跃点”，求实数k的取值范围；
（3）若函数y=ex+bx+c是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在2个“1跃点”，求实数b,c满足的条件.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】7．
6.【答案】
7.【答案】24．
8.【答案】1760．
9.【答案】3
10.【答案】15
11.【答案】3-e．
12.【答案】28800．
13.【答案】（e，+∞）．
14.【答案】（-∞，-6）∪（-2，+∞）．
15.【答案】{x|x＞1}
16.【答案】2
17.【答案】解：（1）一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4，
若一次抽取3张卡片，共包含个基本事件，其中事件A={（1，3，4），（2，3，4）}包含2个基本事件，
所以．
（2）若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，共包含4×4=16个基本事件，
其中事件B={（3，4），（4，4），（4，3）}包含3个基本事件，
所以．

18.【答案】n=8 a=2或a=-5
19.【答案】5．
20.【答案】解：（1）若a=0，则f（x）=xlnx-x,从而f′（x）=lnx+1-1=lnx,
故f′（1）=0，从而曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，故所求切线为直线y=f（1）．
又f（1）=-1，故所求切线方程为y=-1．
（2）由g（x）=f′（x）=lnx-2ax+2a,知．
当a≤0时，，故g（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＞0时，；
从而g′（x）＞0的解集是，g′（x）＜0的解集是．
这表明g（x）在上单调递增，在上单调递减．
综上，当a≤0时，g（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，g（x）在上单调递增，在上单调递减．
（3）首先我们有f′（1）=ln1-2a+2a=0．
当时，由上一问结论，知f′（x）=g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
这意味着当0＜x＜1时，f′（x）＜f′（1）=0；当x＞1时，f′（x）＜f′（1）=0．
故f（x）在（0，1）和（1，+∞）上均单调递减，从而x=1不是f（x）的极值点，不满足条件；
当时，由上一问结论，知f′（x）=g（x）在上单调递增，
而，故f′（x）在上单调递增．
这表明当时，有f′（x）＞f′（1）=0，从而f（x）在上单调递增，
故x=1不可能是f（x）的极大值点，不满足条件；
当a≤0时，由上一问结论，知f′（x）=g（x）在（0，+∞）上单调递增，
故f′（x）在（1，+∞）上单调递增．
这表明当x∈（1，+∞）时，有f′（x）＞f′（1）=0，从而f（x）在（1，+∞）上单调递增，
故x=1不可能是f（x）的极大值点，不满足条件；
当时，由上一问结论，知f′（x）=g（x）在上单调递减．
注意到此时，故当时，f′（x）＞f′（1）=0；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜f′（1）=0．
从而f（x）在上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
这说明x=1是f（x）的极大值点，满足条件．
综上，a的取值范围是．
21.【答案】 （-4，0） b＜0且
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