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25.1　一元二次方程的概念
新课导入
1．你能举例说明一元一次方程的概念吗？
如2026＋18x＝2025，这样只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫作一元一次方程．
2．下列是一元一次方程的是：________．(填序号)
①x－1＝2x＋1； ②x－3；
③4x＋3y＝1； ④x2－x(x＋1)＝0.
①④
探究新知
问题1 如图 25.1-1，有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm。在它的四角各切去一个同样大小的正方形铁皮，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（图 25.1-2）。
如果要制作的无盖方盒的底面积为 3 600 cm ，那么矩形铁皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮？如何用一元二次方程解决实际问题？提供一些一元二次方程的典型例题一元二次方程的解法有哪些？
(1)本问题中的等量关系是什么？应该设哪个量为未知数？
(2)若设各角切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为__________cm，宽为__________cm；
(3)请根据题意列出方程，你能化简该方程吗？
提出问题：
(100－2x)
(50－2x)
设各角切去的正方形铁皮的边长为xcm，则盒底的长为（100-2x）cm，宽为（50-2x）cm，根据方盒的底面积为3 600 cm’，可列得方程
(100-2x)(50-2x) = 3 600.
整理并化简，得
-75x+350=0. ②
由方程②可以得出各角所切正方形铁皮的边长.
方程②中未知数的个数和最高次数各是多少？
问题2 要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场）. 根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天
安排4场比赛，组织者应邀请多
少支球队参赛？
(1)说说“每两个队之间比赛1场”的含义，甲队对乙队和乙队对甲队的比赛是同一场比赛吗？
提出问题：
(2)问题中比赛总场次是多少？等量关系是什么？
(3)请设出未知数，列出方程式，并将所列方程化简．
设应邀请x支球队参赛，每支球队要与其他（x-1）支球队各赛1场，则此次邀请赛共需进行x（x-1）场，所以可列得方程
x（x-1） = 28 .
整理并化简，得
- x – 56 = 0. ③
由方程③可以得出应邀请的球队数.
为什么需要进行x（x-1）场
方程③中未知数的个数和最高次数各是多少？
小明用30 cm的铁丝围成一斜边长等于13 cm的直角三角形，求该直角三角形的两直角边长．
本题必须设两个未知数吗？
如果只设一个未知数，那么方程应该怎样列？
思考：
- x – 56 = 0
-75x + 350 = 0
- 5x – 25 = 0
这几个方程有什么共同点？
知识归纳
1．一般地，如果方程中只含有______个未知数，且含有未知数的式子都是______，未知数的最高次数是______，这样的方程叫作一元二次方程．
一
整式
2
2．一元二次方程的一般形式是_______________
_____，其中______是二次项，______是二次项系数；______是一次项，______是一次项系数；______是常数项．
二次项系数a为什么不能为0
一元二次方程中的a，b，c可以是些什么样的数？
ax2＋bx＋c＝0
ax2
a
bx
b
c
(a≠0)
3．方程－x2＋3x＝0中二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是______.
4．使一元二次方程的________________的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，也叫作一元二次方程的根．
－1
3
0
左右两边相等
一元二次方程的特殊形式 二次项系数 一次项系数 常数项
ax2+bx+c=0 (a≠0，b≠0) a b 0
ax2+c=0(a≠0，c≠0) a 0 c
ax2=0(a≠0) a 0 0
一元二次方程的特殊形式:
例 1
例题与练习
判断下列各方程是不是一元二次方程．
(1)x2－3xy＋4y2＝0；
(2)y2＝3y＋2；
(3)x＋－3＝0.
例 2
将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．
解：去括号，得
3- 3x = 5x + 10
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式
3- 8x - 10 = 0
3 - 8x - 10 = 0
二次项系数为3
一次项系数为－8
一般形式为
常数项为－10
例 3
已知a是方程2x2＋x－2＝0的根，求代数式4a2＋2a的值.
解：由题意，得2a2＋a－2＝0，
∴2a2＋a＝2，
∴4a2＋2a＝4.
1，把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
(1) 5x2－1=4x；
解：方程一般形式为：5x2－4x－1=0.
其中二次项系数为5，一次项系数为－4，常数项为－1.
(2) 4x2=81;
(3) 4x(x+2)=25;
解：方程一般形式为：4x2－81=0.
其中二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为－81.
解：方程一般形式为：4x2+8x－25=0.
其中二次项系数为4，一次项系数为8，常数项为－25.
(4) (3x－2)(x+1)=5x－2.
解：方程一般形式为：3x2－4x =0.
其中二次项系数为3，一次项系数为－4，常数项为0.
2.根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：
（1）4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长；
解：设正方形的边长为x .
可列一元二次方程式：4x2 = 25.
化为一般形式为：4x2 －25 = 0.
（2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长；
解：设矩形宽为x，则长为：x+2 .
可列一元二次方程式：x(x+2) =100.
化为一般形式为：x2 －2x－100 = 0.
（3）把长为1m的木条分成两段，使较短一段的长与木条全长的积，等于较长一段长的平方，求较短一段的长.
解：设较短一段长为x m，
可列一元二次方程式：x 1 = .
化为一般形式为：x2 －3x +1 = 0.
则较长一段长为 (1 x) m.
3．(教材P4习题T3变式)下列数：6，－6，8，－8，12，－12，2，－2，是方程x2－2x－48＝0的根有 (　 　)
A．1个　　　　　B．2个　　　　　
C．3个　　　　　D．4个
B
4．若关于x的方程(m－1)xm2+1－3x＋2＝0是一元二次方程，则此一元二次方程为________________．
－2x2－3x＋2＝0
课堂小结
我们学习了一元二次方程的哪些知识？
一元二次方程的一般形式是什么？
一般形式中有什么限制？
你会解一元二次方程吗？
随堂检测
1. 一元二次方程3x2=5x的二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A. 3，5 B. 3，0
C. 3，-5 D. 5，0
C
2.关于x的方程(a-1)x2+4x-3=0是一元二次方程， 则（ ）
A. a＞1 B. a=1
C. a≠1 D. a≥0
C
作业布置
(1)教材P4　习题25.1第1，2，3题；
(2)对应课时练习．
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine

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