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25.2　降次——解一元二次方程
25.2.4　一元二次方程的根与系数的关系
新课导入
(1)一元二次方程的一般形式：
___________________________________；
(2)一元二次方程的求根公式：
___________________________________；
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
(b2－4ac≥0)
(3)一元二次方程的系数与根有着密切的关系，今天让我们进一步研究一元二次方程的根与系数a，b，c之间的关系．
探究新知
1．解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x1＋x2，x1x2的值，它们与前面的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？
一元二次方程 x1 x2 x1＋x2 x1x2
x2＋6x－16＝0
x2－2x－5＝0
2x2－3x＋1＝0
5x2＋4x－1＝0
8
2
6
16
＋1
＋1
2
5
1


1
思考：
观察求根公式 ，它有什么特点？
由此考虑一元二次方程的两个根与系数的关系，你能获得什么启发？
提出问题：
(1)公式完全由一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的系数__________构成，无需额外运算即可表示方程的根；
a，b，c
(2)“±”符号决定了方程在有实数根时，通常有两个根x1＝______________，x2＝______________；
(3)通过对两个根进行代数运算，你能得到根与系数有怎样的关系吗？
整体上看，两个根分别是“m+n”和“m n”的形式，而且式子“n”中含有根号，这种形式的式子相加可以消去“n”，相乘可以去掉“n”中的根号，从而使形式简洁.
因为 ， ，
所以 += +
= ·
=
= ，
=
= .
由此得出，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，与其系数a，b，c有如下关系：
+=
=
上述关系还可以用如下方法得出.
我们知道，如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的左边可以分解因式为a( )( )，那么方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为和.
反过来，如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为和，那么
ax2＋bx＋c＝ a( )( )，
即 ax2＋bx＋c ＝ ax2 a(+) + a .
由此可得 a(+) = b ,
a = c .
因此
+=
=
知识归纳
若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，则有x1＋x2＝－，x1x2＝.
即：任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于______________________
_____________，两个根的积等于_____________
_____________．
一次项系数与二次项系数的比的相反数
常数项与二次项系数的比
方程的根是由什么决定的？
在运用根与系数的关系解决具体问题时，是否需要考虑根的判别式Δ＝b2－4ac ≥ 0呢？为什么？
例 1
例题与练习
根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积：
(1) x2-6x-15=0；
解：+ = = ( 6) = 6,
= = 15 .
(2) 3x2+7x-9=0；
解：+ = = ,
= = = 3 .
(3) 5x 1=4x2 .
+ = = = ,
= = .
解： 4x2 5x +1 = 0
例 2
已知a，b为实数，且满足a2－2a－1＝0，b2－2b－1＝0，求＋的值．
解：当a＝b时，＋＝2.
当a≠b时，a，b可看作方程x2－2x－1＝0的两根，
则a＋b＝2，ab＝－1，
因此＋＝＝＝－6.
因此＋的值为2或－6.
(1) x2 3x=15； (2) 3x2+2=1 4x；
解：x1+x2 = 3
解：化简得 3x2+4x+1=0
1. 不解方程，求下列方程两个根的和与积：
x1x2 = 15
x1+x2 =
x1x2 =
(3) 5x2 1=4x2 x； (4) 2x2 x+2=3x+1.
解：化简得 x2+x 1=0
x1+x2 = 1
x1x2 =
解：化简得 2x2 4x+1=0
x1+x2 = 2
x1x2 =
2．已知一元二次方程2x2－5x＋1＝0的两根为m，n，则m2＋n2＝_______．
3.设一元二次方程x2－7x＋3＝0的两根为x1，x2，则x1＋x2＝______，x1x2＝______，(x1－2)(x2－2)＝______．
7
3
－7
4．已知关于x的一元二次方程x2＋(2m－1)x＋m2＝0有两个实数根x1，x2.
(1)求实数m的取值范围；
解：(1)∵原方程有两个实数根，
∴Δ＝(2m－1)2－4m2＝4m2－4m＋1－4m2＝－4m＋1≥0，
解得m≤.
(2)假使存在实数m使得x12－x22＝0，
(2)是否存在m使得x12－x22＝0成立？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
∴x1＋x2＝0或x1＝x2.
当x1＋x2＝0时，－(2m－1)＝0，
与(1)中m≤相矛盾，舍去．
当x1＝x2时，Δ＝0，
∴m＝.
解得m＝＞，
课堂小结
一元二次方程根与系数的关系：
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的两根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：x1＋x2＝－，x1x2＝.
随堂检测
1、以2和 为根的一元二次方程可以是( )
A.
B.
C.
D.
C
2、已知，是关于的方程的两个根，且 ，则 ( )
A. B. 1
C. D. 4
C
3、设x1，x2是一元二次方程x2 7x-5=0的两个实数根，则的值为 .
4、设x1，x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，则：
（1）x12 x2 + x1 x22 = ；
（2）(x1 x2)2 = .
3
10

解：设其中一个数为x，则另一个数为(8-x).
5、已知两个数的和为8，积为9.75，求这两个数.
根据题意，得x(8-x)=9.75，
整理，得x2-8x+9.75=0.
解得x1=6.5, x2=1.5.
当x=6.5时，8-x=1.5；当x=1.5时，8-x=6.5 .
∴这两个数是6.5和1.5.
作业布置
(1)教材P17　习题25.2第7题；
(2)对应课时练习．
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine

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