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2025-2026学年甘肃省陇南州文县第二中学、第三中学、东方学校高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.下列命题正确的是（　　）
A. 三个点可以确定一个平面
B. 长方体一定是直四棱柱，正四棱柱一定是长方体
C. 一条直线和一个点可以确定一个平面
D. 两条直线可以确定一个平面
2.设，则的虚部是（　　）
A. B. C. D.
3.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a,b,c,若a=1，A=135°，则的值为（　　）
A. B. C. D.
4.如图，△A′B′C′是利用斜二测画法画出的△ABC的直观图，其中A′C′∥y′轴，A′B′∥x′轴，A′B′=B′C′=，则△ABC的周长为（　　）
A.
B.
C.
D.
5.下列说法中，正确的是（　　）
A. 有一个面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥
B. 用一个平面去截圆锥，圆锥底面与截面之间的部分是圆台
C. 底面是正方形，有两个侧面是矩形的棱柱是正四棱柱
D. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
6.在平行四边形ABCD中，若点E满足，DE与AC交于点M，，则x+y=（　　）
A. B. C. D.
7.在三棱锥A-BCD中，BC⊥BD，AB=AD=BD=，BC=6，平面ABD⊥平面BCD，则三棱锥A-BCD的外接球体积为（　　）
A. 36π B. C. D. 288π
8.设O为坐标原点，F1，F2为椭圆的两个焦点，点P在C上，，则|OP|=（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知单位向量，的夹角为θ，则下列结论正确的有（　　）
A.
B. 在方向上的投影向量为
C. 若，则θ=60°
D. 若，则
10.已知z1，z2为复数，下列说法正确的是（　　）
A. |z1 z2|=|z1| |z2| B.
C. 若|z1+1|=|z2+1|，则z1=z2 D. 若|z1|＞|z2|，则
11.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,则下列说法正确的是（　　）
A. 若△ABC是锐角三角形，则sinA＞cosB
B. 若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形
C. 若sin2A＞sin2B+sin2C，则△ABC是钝角三角形
D. 若b=4，c=3，，则满足这组条件的三角形有两个
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，则与的夹角为 .
13.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，已知角，b=4，若△ABC是锐角三角形，则△ABC的面积为S的取值范围为 .
14.已知平面内有5个互不相等的单位向量.若这5个向量中恰有1对向量互相平行，恰有3对向量互相垂直，则的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z1，z2是关于x的方程x2+px+q=0的两个根，且.
（1）求p,q的值；
（2）记复数z1，z2，z在复平面内对应的点分别为A，B，C，已知O为坐标原点，且，求复数z.
16.(本小题15分)
如图，三棱台ABC-A1B1C1中，侧面四边形ACC1A1为等腰梯形，底面三角形ABC为正三角形，且AC=2A1C1=4，设D为棱A1C1上的点.
（1）若D为棱A1C1的中点，求证AC⊥BD；
（2）若三棱台ABC-A1B1C1两底面间的距离为，且侧面ACC1A1⊥底面ABC，试探究是否存在点D，使直线BD与平面BCC1B1所成角的正弦值为？若存在，确定点D的位置；若不存在，说明理由.
17.(本小题15分)
已知函数.
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）在锐角△ABC中，设角A，B，C所对的边分别是a,b,c,若f（A）=0且a=3，求△ABC周长的取值范围.
18.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,已知，D为边BC上一点，且AD=2.
（1）求角A的大小；
（2）若BD=2DC，且，求a的值；
（3）若AD为角平分线，求AB+3BD的最小值.
19.(本小题17分)
如图1，椰子树是海南最具代表性的树木之一，树干笔直无分枝，叶片形似巨大的羽毛伞.如图2，D、C两处观测点与树干底部点B在同一水平面内，树干AB垂直于水平面，某同学在地面D处，测得树干顶端A处的仰角为30°，D、C两处相距20米，，.
（1）求观测点D到树干底部点B的距离BD的长度；
（2）求在树干顶端A处观测到C、D两点的夹角∠DAC的余弦值.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】AB
10.【答案】AB
11.【答案】AC
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】p=-1，q=1；

16.【答案】证明：如图：取AC中点O，连接OB，OD，
因为四边形ACC1A1为等腰梯形，且D为A1C1中点，所以AC⊥OD，
又△ABC为正三角形，所以AC⊥OB，
OB，OD 平面BOD，OB∩OD=O，所以AC⊥平面BOD，
又BD 平面BOD，
所以AC⊥BD 存在，当D与A1点重合时，直线BD与平面BCC1B1所成角的正弦值为
17.【答案】函数的最小值正周期T=π；函数的单调递增区间为[-+kπ，+kπ]，k∈Z；
（3+3，9]
18.【答案】；
；
．
19.【答案】解：（1）由题意某同学在地面D处，测得树干顶端A处的仰角为30°，D、C两处相距20米，
在△DBC中，由正弦定理可得，
因为，所以．
又DC两处相距20米，故，所以BD的长为米；
（2）在Rt△ADB中，由在D处测得树干顶端A处的仰角为30°，
可得，则．
由（1）知，由，得，
由BD=DAcos30°，得．
在Rt△ABC中，由AB=BC=20，得．
在△DAC中，由余弦定理得．
故在A处观测到C、D两点的夹角∠DAC的余弦值为．

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