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29.3 弧长和扇形面积
习题29.3
人教版 九年级 数学（上）
第29章　圆
复习巩固
1.填空题：
(1).75°的圆心角所对的弧长是 2.5π cm，则此弧所在圆的半径是 cm；
(2).一个扇形的弧长是 20π cm， 面积是 240π cm2，则扇形的圆心角是 ；
(3).用一个圆心角为120°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为______.
6
150
2.如图，两个大小一样的传送轮连接着一条传送带，求这条传送带的长.(结果保留小数点后一位)
解：设传送轮的半径为 ，圆心距为 ，传送带总长为 。
已知传送轮的直径为 ，则
传送带的直段有上下两条，每条长度等于两轮圆心距 ，
两个大小相同的传送轮，传送带在每个轮上的弧长均为半圆，合起来正好构成一个完整的圆的周长：
3.如图，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆.求图中阴影部分的面积.
解： S阴影=4S半圆-S正方形
=4 -
=-
4. Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，BC = 4. 把它分别沿三边所在直线旋转一周. 求所得三个几何体的全面积.
解:当沿AC所在直线旋转一周，得到几何体的全面积为36m;当沿BC所在直线旋转一周，得到几何体的全面积为24m;当沿AB所在直线旋转一周，得到几何体的全面积为
综合运用
5.在航海中，常用海里(单位：n mile)作为路程的度量单位. 把地球看作球体，1 n mile近似等于赤道所在的圆中1′的圆心角所对的弧长. 已知地球半径(也就是赤道所在圆的半径)约为 6370 km，1 n mile约等于多少米(π取3.14，结果取整数)？
解: 1 n mile=
= 6370
1.852(km)
1852m
答：1 n mile约等于1852米.
6. 如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB， AC夹角为120°，AB的长为 30 cm，扇面 BD 的长为20 cm，求扇面的面积.
解: 扇形的面积为：
=(c)
6.如图，粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面圆的周长为 32 m，母线长7 m. 为了防雨，需要在它的顶部铺上油毡，所需油毡的面积至少是多少？
解: S=lr=
答:所需油毡的面积至少是112.
8.如图，从一块直径是 1 m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，求被剪掉的部分的面积；如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是多少？
拓广探索
（1）求剩余部分的面积
剪下的扇形圆心角为 ，且 为圆的直径，，
扇形半径 。
（2）求圆锥底面圆的半径
扇形的弧长就是圆锥底面的周长。
扇形弧长：
设圆锥底面圆的半径为 ，则底面周长 ：
9.如图，有一个圆形花坛，要把它分成面积相等的四部分，以种植不同的花卉，请你提供设计方案。
方案一：两条互相垂直的直径分割过圆心作两条互相垂直的直径，将圆分成 4 个圆心角为 的扇形，每部分面积相等。
方案二：同心圆分割
以圆心为中心，作两个半径不同的同心圆，再作两条互相垂直的直径，将圆环和内圆各分成 4 份，使每部分的面积相等。
方案三：花瓣形分割
以圆的四等分点为圆心，以圆的半径为半径，在圆内画 4 个半圆，形成的花瓣形区域与剩余区域面积相等，均为圆面积的 。
作业布置
学生用书对应课时练习．
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习题29.2
复习巩固
1.如图，在半径为1的⊙O中，弦AB的长为1.
(1)求AOB的度数;
(2)求点O到AB的距离.
(1)解：、是的半径，的半径为，
。
又 弦，
。
是等边三角形。
根据等边三角形的性质，三个内角均为，
。
(2)解：过点作于点，则的长度就是点到的距离。
C
点到的距离为。
OC===
根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，
。
在中，，，
由勾股定理：
2.在中，，，求的度数
解：，
（同圆中，等弧对等弦），
是等腰三角形，。
三角形内角和为
。
3.在中，，，求的度数。
解：
（同弧所对的圆周角是圆心角的一半）。
已知，
答：。
4.用直角曲尺检查半圆形的工件，哪个工件是合格的？为什么？
解：中间的工件是合格的。
理由：根据圆周角定理的推论，直径所对的圆周角是直角。
当直角曲尺的顶点落在半圆上，且两边分别与半圆的直径两端接触时，曲尺的直角顶点对应的角就是直径所对的圆周角，此时工件的边缘就是标准的半圆。
左右两个工件，曲尺的两边没有同时与半圆的直径两端接触，说明它们的弧不是以曲尺的两个接触点连线为直径的半圆，因此不合格。
5.求证：圆内接平行四边形是矩形。
证明：已知四边形是圆内接平行四边形
（平行四边形对角相等）。
（圆内接四边形对角互补）。
四边形是平行四边形，
又 四边形是圆内接四边形，
联立得：。
有一个角是直角的平行四边形是矩形，
圆内接平行四边形是矩形。
综合运用
7.是的两条平行弦，是的垂直平分线。求证：垂直平分。
证明:
是的垂直平分线，
且是的弦，
经过圆心。
，
。
又过圆心，且垂直于弦，
平分。
综上，垂直平分。
8.一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，，是上一点，，垂足为，，求这段弯路所在圆的半径长。
解：设圆的半径为，
那么OD=(x-45)m.
在Rt△OBD中, +=,
解得x=272.5.
则这段弯路的半径为272.5 m
9.如图是上的两点，，是的中点。求证：四边形是菱形。
证明：是的中点，
，
。
（均为圆的半径）
和都是等边三角形。
，，
。 四边形是菱形。
10. 如图，A，P，B，C是○O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°. 判断△ABC的形状，并证明你的结论.
解:△ABC是等边三角形.
证明如下:
ABC= APC=60°
BAC= CPB=60°,
ACB= 180°- ABC+ BAC =60°,
△ABC是等边三角形
11.如图， 是上的两条弦，，判断和的长是否相等，并证明你的结论。
解：，证明如下：
。
即。
，
，
。
12.如图， 是上的两条弦，，，垂足分别为。如果，和的大小有什么关系？为什么？
解：，
在中：
理由如下：连接。
，，
，（垂径定理）。
在中，由勾股定理：
，且，
，即。
，
，即。
拓广探索
13.如图，铁路和公路在点处交会，，在点处有一栋居民楼，。如果火车行驶时，周围以内会受到噪声的影响，那么火车在铁路上沿方向行驶时，居民楼是否会受到噪声的影响？如果火车行驶的速度为，居民楼受噪声影响的时间为多少秒？
（结果保留小数点后一位）
解：以为圆心，为半径作圆，交于点B，过点作于点。
B
C
OC==100（m）
会受到噪声影响
BO=2OC=200m=km
居民楼会受到噪声影响，受影响时间约为秒。
AO=100m
14.如图，一个海港在范围内是浅滩。为了使深水船只不进入浅滩，需要测量船所在的位置与两个灯塔的视角，并把它与已知的危险角（上任意一点与两个灯塔所成的角）相比较，航行中保持。
你知道这样做的道理吗？
解：根据圆周角定理：
是弧所对的圆周角，大小固定不变。
当点在外（深水区域）时， 是圆外角，此时。
当点在上（浅滩边缘）时，。
当点在内（浅滩区域）时，
是圆内角，此时。
因此，航行中保持，
就能保证船始终在弧外的深水区域，避免进入浅滩。
作业布置
完成对应课时练习．
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29.1.1　圆的有关概念
习题29.1
人教版 九年级 数学（上）
第29章　圆
复习巩固
1.已知点A，B在⊙上，点C，D在⊙上，判断下列说法是否正确:
(1)若AB=CD，则⊙与⊙是等圆;
(2)若A= C，则⊙与⊙是等圆;
(3)若AB=CD，则AB与CD是等弧;
(4)若B= D，则AB与CD是等弧.
2.体育课上，李明和王芳的铅球成绩分别是6.2m和5.1m，他们投出的铅球分别落在图中哪个区域内
李明的成绩是6.2m，满足66.27，所以落在6m到7m之间的区域。
王芳的成绩是5.1m，满足55.16，所以落在5m到6m之间的区域。
3.画出由所有到已知点O的距离大于或等于2cm，并且小于或等于3cm的点组成的图形.
4.求证:直径是圆中最长的弦.
证明:连接OC、OD。
在△OCD中，根据三角形两边之和大于第三边:
OC+OD>CD
AB是直径，OC、OD是半径，
AB=OA+OB =OC +OD
代入不等式得AB>CD
直径大于任意一条非直径的弦，即直径是圆中最长的弦。
综合运用
5.矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点.求证:E，F，G，H四个点在以点O为圆心的同一个圆上。
证明:四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质:矩形的对角线相等且互相平分，
AC=BD,且OA=OC=AC,OB=OD=BD.
因此OA=OB=OC=OD.
点E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，
根据中点的定义，有:
OE=OA,OF=OB,OG=OC,OH=OD
结合OA=OB=OC=OD，
可得OE=OF=OG=OH
点 E、F、G、H 在以点 O 为圆心的同一个圆上。
6.张华不小心把家里的一块圆形玻璃镜打碎了，为了定制一块同样大小的玻璃镜，需要确定原玻璃镜的半径，工人师傅在如图所示的玻璃镜残片的边缘描出了点A，B，C，
给出ABC，你能找到这块
圆形玻璃镜的半径吗
作图说明.
7.如图，在⊙O中，AB，CD为直径.求证AD//BC.
证明:AB、CD是⊙O的直径，
OA=OB，OD=OC(圆的半径相等)。
在△AOD和△BOC中:
OA=OB
AOD=BOC(对顶角相等)
OD=OC
△AOD△BOC(SAS全等判定)
A=B (全等三角形的对应角相等)
A和B是直线AD、BC被直线AB所截形成的内错角，且内错角相等
ADBC（内错角相等，两直线平行)。
8.用反证法说明:在同一平面内，一条直线与两条平行线中的一条相交，必定与另一条也相交.
证明:假设结论不成立，即假设:直线c与直线b平行。
根据:同一平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行
这与已知条件直线c与直线a相交互相矛盾,因此假设不成立。故:在同一平面内，一条直线与两条平行线中的一条相交，必定与另一条也相交。
拓广探索
9.在⊙O中，点C，D在弦AB上，且AC=BD.
(1)如图(1)，弦AB经过圆心O，求证OC=OD;
(2)如图(2)，弦AB不经过圆心O，OC与OD是否仍相等 说明理由.
证明:
AB是⊙O的直径，
OA=OB(圆的半径相等)。
又AC= BD,
OA-AC=OB-BD,
即OC=OD.
(2) OC=OD，仍然相等。
理由:
过点O作OE上AB于点E，
根据垂径定理:垂直于弦的直径平分弦，
AE=BE.
又 AC=BD,
即CE= DE.
根据垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得OC=OD。
E
AE - AC= BE -BD,
OE是线段CD的垂直平分线，
OEAB,
作业布置
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