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2025-2026学年四川省成都市新都区第一中学北星中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.数列{an}的前四项依次是9，99，999，9999， 则数列{an}的通项公式可以是（　　）
A. an=9n B. C. D.
2.已知函数，则的值为（　　）
A. 0 B. C. D.
3.下列求导正确的是（　　）
A. B.
C. （xex）′=（x+1）ex D. （sin2x）′=cos2x
4.等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3+a7=18，a6+2a5=29，则S10=（　　）
A. 90 B. 100 C. 110 D. 200
5.已知函数，则函数f（x）（　　）
A. 既有极大值也有极小值 B. 有极大值无极小值
C. 有极小值无极大值 D. 有2个零点
6.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm=7，S3m=33，则S2m=（　　）
A. 18 B. 19 C. 20 D. 21
7.已知函数f（x）=x（x-a）2在x=1处取得极大值，则a的值是（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8.已知等比数列{an}，满足a1a2=1，则下面说法正确的是（　　）
A. 若a1＞1，则数列{an}是递增数列 B. 若0＜a1＜1，则数列{an}是递减数列
C. 若-1＜a1＜0，则数列{an}是递增数列 D. 若a1＜-1，则数列{an}是递增数列
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知函数f（x）的定义域为R，f（x）的导函数f′（x）的图像大致如图所示，则下列结论中正确的是（　　）
A. f（x）在（2，3）上单调递减
B. x=0是f（x）的极小值点
C. x=3是f（x）的极大值点
D. 曲线y=f（x）在x=2处的切线斜率为2
10.如图的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.在图中4个大三角形中，灰色三角形的个数依次构成一个数列{an}的前4项，设数列{an}的前n项和为Sn，则（　　）
A. a3=9 B. S4=36 C. a5=81 D. S6=364
11.记Sn为数列{an}的前n项和，已知nSn+1=（n+1）Sn+n（n+1），S2=6，则（　　）
A. a1=1 B. Sn-8n取最小值时n=3
C. 是等差数列 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.记Sn为等比数列{an}的前n项和，且a1+a3=1，a2+a4=2，则Sn= .
13.已知函数f（x）=mex-x-1有两个零点，则m的取值范围是 .
14.高斯被认为是历史上最重要的数学家之一.在求1到100这100个自然数的和时，10岁的高斯是这样算的：1+100=101，2+99=101，…，50+51=101，共有50组，所以1+2+3+…+100=50×101=5050，这就是著名的高斯算法，教材中推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法.已知等比数列{an}的各项均为正数，且公比不等于1，a1a2024=1，试根据提示探究：若，则f（a1）+f（a2）+…+f（a2024）= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）.
（1）若a=-2，求证：f（x）在（1，+∞）上是增函数；
（2）当a=-4时，求函数f（x）在[1，e]上的最大值与最小值及相应的x值.
16.(本小题15分)
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，.
（1）证明：AE⊥DF；
（2）求直线BC与平面AEF所成角的正弦值.
17.(本小题15分)
已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1，数列{bn}的前n项和Sn满足4Sn=（2n+1）bn+1.
（1）求{an}，{bn}的通项公式；
（2）设cn=（an+1） （bn+2），求数列{cn}的前n项和Tn.
18.(本小题17分)
设点A（-2，0），B（2，0），直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积为.
（1）求点P的轨迹方程C；
（2）若F1（-1，0），F2（1，0）.
①当时，求△PF1F2的面积；
②求的取值范围.
19.(本小题17分)
已知函数.
（1）当a=1时，讨论f（x）的图象与直线y=m的交点个数；
（2）对任意的x∈（0，+∞），恒成立，求a的值；
（3）证明：，n∈N*.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】CD
10.【答案】ACD
11.【答案】CD
12.【答案】（2n-1）
13.【答案】（0，1）
14.【答案】1012
15.【答案】证明：由题可知函数的定义域（0，+∞），
因为a=-2，所以f（x）=-2lnx+x2，
所以，
x＞1，f′（x）＞0，
所以f（x）在（1，+∞）上是增函数 当时，函数f（x）有最小值为，当x=e时，函数f（x）有最大值为f（e）=e2-4
16.【答案】因为，所以E为PD中点，
因为侧面PAD是正三角形，所以AE⊥PD，
因为底面ABCD是正方形，所以CD⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD 平面ABCD，
所以CD⊥平面PAD，
而AE 平面PAD，
所以CD⊥AE，
又AE⊥PD，PD∩CD=D，PD，CD 平面PCD，
所以AE⊥平面PCD，
因为DF 平面PCD，
所以AE⊥DF
17.【答案】解：（1）由an+1=2an+1，得an+1+1=2（an+1），
因为a1=1，所以an+1＞0，
所以，
所以{an+1}是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，即；
由4Sn=（2n+1）bn+1①，
得4Sn-1=（2n-1）bn-1+1②，
①-②，得4bn=（2n+1）bn-（2n-1）bn-1（n≥2），
即（2n-3）bn=（2n-1）bn-1（n≥2），
即，
当n=1时，b1=1，b2=3，所以，
所以bn=2n-1（n≥2），
因为b1=1符合上式，所以；
（2）由（1）知，，
所以Tn=c1+c2+c3+ +cn
=3×21+5×22+7×23+ +（2n+1）×2n③，
所以2Tn=3×22+5×23+7×24+ +（2n-1）×2n+（2n+1）×2n+1④，
③-④，得-
=，
所以．
18.【答案】；
（i）；（ii）[2，3）．
19.【答案】当时，f（x）的图象与直线y=m的交点个数为0；当或m≤0时，f（x）的图象与直线y=m的交点个数为1；当时，f（x）的图象与直线y=m的交点个数为2 a=1 证明：由（2）得，当a=1时，有lnx-x+1≤0，当且仅当x=1时等号成立，
因此n∈N*时，，
因此，即，
因此，
因此，
因此，
因此，，，……，
因此，
因此，即，
因此，n∈N*
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