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2025-2026学年湖北省黄冈市浠水县第一中学学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.复数的虚部为（　　）
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
2.已知向量，，若与的夹角为60°，则=（　　）
A. B. C. 2 D. 3
3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,若sinBsinC=sin2A，（b+c+a）（b+c-a）=3bc,则△ABC的形状为（　　）
A. 直角三角形 B. 等腰非等边三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形
4.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且满足，的三角形有两个，则b的取值范围为（　　）
A. B. C. （1，2） D.
5.将函数y=cos2x的图象向右平移个单位长度，再把所得图象各点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），所得图象的一条对称轴为x=（　　）
A. B. C. D.
6.如图所示，为了测量A，B处岛的的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°，北偏东45°方向，再往正东方向行驶20海里至C处，B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛的间的距离为（　　）
A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里
7.设函数f（x）=sin（ωx+φ），A＞0，ω＞0，若f（x）在区间[，]上单调，且f（）=f（）=-f（），则f（x）的最小正周期为 （　　）
A. B. 2π C. 4π D. π
8.已知正三角形ABC的边长为6，，P是线段DE上的动点（含端点），则的取值范围是（　　）
A. [12，16] B. [2，6] C. [-16，-12] D. [-6，-2]
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列各式的值正确的是（　　）
A. B.
C. D. （1+tan13°）（1+tan32°）=2
10.下列说法中正确的有（　　）
A. 两个非零向量，，若，则与共线且反向
B. 向量，能作为平面内的一组基底
C. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量是
D. 若非零向量，满足：，则与的夹角为30°
11.“费马点”指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点.在△ABC中，当最大内角小于120°时，费马点P满足∠APB=∠BPC=∠APC=120°，当最大内角不小于120°时，最大内角的顶点为费马点.已知在△ABC中，，（sinA+sinC）（a-c）=（a-b）sinB，点P为△ABC的费马点，则（　　）
A.
B.
C. PA：PB：PC=4：1：2
D. 在上的射影向量为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量=（0，1），=（1，x），若，则x= .
13.在平面直角坐标系xOy中，已知锐角α的终边与单位圆交于A（x1，y1），角的终边与单位圆交于B（x2，y2），若，则的值为 .
14.某学习小组在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）.如图，已知锐角△ABC的三条圆弧沿△ABC三边翻折后交于点P.若AB=3，且△ABC外接圆的半径为2，则sin∠PAC= ；若，且CP=3，则的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z=（2m2-7m+6）+（m-2）i,其中m∈R.
（1）若z在复平面内对应的点位于第一象限，求实数m的取值范围；
（2）若z是纯虚数，求的模.
16.(本小题15分)
在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．
（1）求角A的大小；
（2）若a=4，b+c=8，求△ABC的面积．
17.(本小题15分)
如图，在△ABC中，已知CA=1，CB=2，∠ACB=60°．
（1）求||；
（2）已知点D是AB上一点，满足=λ，点E是边CB上一点，满足=λ，是否存在非零实数λ，使得⊥？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
18.(本小题17分)
在△ABC中，设角A，B，C所对的边分别为a,b,c,已知且sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC.
（1）求角A；
（2）若b+c=2，求边BC上的角平分线AD的长；
（3）若△ABC为锐角三角形，求边BC上的中线AD的取值范围.
19.(本小题17分)
已知O为坐标原点，对于函数f（x）=asinx+bcosx,称向量为函数f（x）的相伴特征向量，同时称函数f（x）为向量的相伴函数.
（1）记向量的相伴函数为f（x），求当且时，sinx的值；
（2）设函数，试求g（x）的相伴特征向量，并求出与共线的单位向量；
（3）已知A=（-2，3），B=（2，6），为的相伴特征向量，，请问在y=φ（x）的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】BD
10.【答案】ABD
11.【答案】ACD
12.【答案】1
13.【答案】
14.【答案】

15.【答案】{m|m＞2}
16.【答案】解：（1）∵△ABC中，，
∴根据正弦定理，得，
∵锐角△ABC中，sinB＞0，
∴等式两边约去sinB，得sinA=
∵A是锐角△ABC的内角，∴A=；
（2）∵a=4，A=，
∴由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，得16=b2+c2-2bccos，
化简得b2+c2-bc=16，
∵b+c=8，平方得b2+c2+2bc=64，
∴两式相减，得3bc=48，可得bc=16．
因此，△ABC的面积S=bcsinA=×16×sin=4．
17.【答案】解：（1）根据题意，CA=1，CB=2，∠ACB=60°．则 =1×2×cos60°=1，
又由=-，
则||2=|-|2=2+2-2 =4+1-2=3，则||=，
（2）假设存在非零实数λ，使得⊥，
由于=λ，则=λ（-），则有=+=+λ（-）=λ+（1-λ），
同理：=λ，=+=（-）+λ（-）=（1-λ）-，
又由⊥，则 =λ（1-λ）2-λ -（1-λ）2
=4λ（1-λ）-λ+（1-λ）2-（1-λ）=-3λ2+2λ=0，
解可得：λ=或0（舍）；
故存在非零实数λ=，满足⊥．
18.【答案】（1） （2） （3）
19.【答案】解：（1）由已知可得：=，
所以，
又，所以，
所以，
所以
=
=；
（2）
=
=
=，
所以，，，
所以与共线的单位向量为（0，1）和（0，-1）；
（3）=，
因为为的相伴特征向量，
所以，解得m=-2，
所以，
所以，
=，
假设在y=φ（x）的图象上是否存在一点，使得，
由，，
可得，
化简得，
令，
令，
所以y=-4t2+18t-14=，
当t=-1时，y=-36；当t=1时，y=0，
所以-36≤y≤0，因为x2≥0，
所以当且仅当t=1且x=0时，成立，
此时，，即x=0，即点P（0，2），
所以y=φ（x）的图象上是存在一点P（0，2），使得．
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