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2025-2026学年江苏省南通市海门中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知集合M={-7，-5，0，1，3}，N={x||x|＞3}，则M∩N=（　　）
A. {-7，-5，3} B. {-7，-5} C. {-7} D. {-5}
2.已知复数z=（i是虚数单位），则|z|=（　　）
A. B. C. 1 D.
3.已知命题p：菱形不是矩形，该命题的否定是（　　）
A. 菱形是矩形 B. 存在一个菱形，它是矩形
C. 存在菱形不是矩形 D. 存在是菱形的矩形
4.函数f（x）定义在区间（a,b），则“f′（x）＞0在（a,b）上恒成立”是“f（x）在区间（a,b）单调递增”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不必要也不充分条件
5.5名工人各自在4天中选择1天休息，不同方法的种数是（　　）
A. 45 B. 54 C. D.
6.已知x=2026是函数f（x）=（x-2025）（x-2026）（x-m）的一个极值点，则f（2027）=（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
7.给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面α可以表示为集合{P|=0}，即在空间直角坐标系O-xyz中，若A（x0，y0，z0），=（a,b,c），设P（x,y,z），则平面α的方程为a（x-x0）+b（y-y0）+c（z-z0）=0.根据以上信息，解决下面问题：已知平面β的方程为x+3y-2z+5=0，直线l是两平面2x-3y+6=0与3y-2z+7=0的交线，则直线l与平面β所成角的正弦值为（　　）
A. 0 B. C. D.
8.将6个各不相同的小球全部放入4个颜色各不相同的盒子中，每个盒子至少放一个小球，其中红色盒子至多放两个小球，则一共有（　　）种不同的放法.
A. 480 B. 540 C. 1440 D. 4320
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列函数中，其图象在某点处的切线与直线平行的是（　　）
A. B. f（x）=x4 C. f（x）=cosx D. f（x）=lnx
10.函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（2-x），且（x-1）f′（x）＜0，若a=f（-1），b=f（0），c=f（4），则a,b,c的大小关系正确的有（　　）
A. c＞b B. b＞a C. b＞c D. c＞a
11.如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，若空间中一点P满足，其中xy≠0，则（　　）
A. 存在x,y,使得P在直线AC1上
B. 当y=1时，P在平面A1BD内
C. 当x=y时，AP∥平面CDD1
D. 存在x,y,使得AP∥平面BCC1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知（1+x）n的展开式中，只有x4的系数最大，则（1+x）n的系数和为 .
13.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点M为棱DD1的中点，则平面ACM截该正方体的内切球所得截面面积为 .
14.对于函数f（x），若在其定义域内存在实数x0，满足f（-x0）=-f（x0），则称函数f（x）为“局部奇函数”，称点（x0，f（x0））和点（-x0，f（-x0））是函数f（x）的一对“局部对称点”，请写出函数f（x）=x2+x-1的一对“局部对称点”： ；若函数为“局部奇函数”，则实数a的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
函数f（x）=[ax3-（4a+2）x2+14x-14]ex在x=2处取得极值.
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间.
16.(本小题15分)
某地举办了一次地区性的中国象棋比赛，小明作为选手参加.除小明外的其他参赛选手中，一、二、三类棋手的人数之比为5：7：8，小明与一、二、三类棋手比赛获胜的概率分别是0.6、0.5、0.4.
（1）从参赛选手中随机抽取一位棋手与小明比赛，求小明获胜的概率；
（2）如果小明获胜，求与小明比赛的棋手为一类棋手的概率.
17.(本小题15分)
已知在的展开式中，前3项的系数分别为a1，a2，a3，且满足2a2=a1+a3.
（1）展开式中是否存在常数项，若存在，求出该常数项；若不存在，请说明理由.
（2）求展开式中系数最大项的项.
18.(本小题17分)
如图，在五面体ABCDEF中，AB∥CD∥EF，∠DAB=90°，，△ADE为等边三角形，平面ADE⊥平面ABCD.
（1）证明：直线CD⊥平面ADE；
（2）求平面DFB与平面FBC夹角的余弦值；
（3）设点P为线段EF上一动点，请从以下两个条件中任选一个作答.
①；
②.
是否存在满足所选条件的点P，若存在，请求出点P的位置；若不存在，请说明理由.
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=x2-2（a-1）x-2xlnx.
（1）当a=1，x∈（1，+∞）时，证明：f（x）＞1；
（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2（x1＜x2），记A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））.
（i）求a的取值范围；
（ii）若x2-3x1≤0，求直线AB斜率的最小值.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】BCD
10.【答案】BC
11.【答案】BC
12.【答案】256
13.【答案】
14.【答案】（1，1）和（-1，-1）
（-∞，]．

15.【答案】（Ⅰ）1；
（Ⅱ）f（x）的单调递增区间为（-∞，0），（1，2）；单调递减区间为（0，1），（2，+∞）．
16.【答案】0.485；
．
17.【答案】因为不存在整数r，使展开式的第r+1项为常数，所以展开式中不存在常数项 和
18.【答案】证明：因为AB∥CD，∠DAB=90°，
则∠ADC=90°，即CD⊥AD，
因为平面ADE⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD=AD，CD 平面ABCD，
所以CD⊥平面ADE 存在，P为线段EF的中点
19.【答案】证明：由题意函数f（x）=x2-2（a-1）x-2xlnx，
当a=1时，f（x）=x2-2xlnx，要证f（x）＞1，即证x2-2xlnx-1＞0，
令g（x）=x2-2xlnx-1，对函数求导可得g′（x）=2（x-lnx-1），
令h（x）=x-lnx-1，则，
∵x∈（1，+∞），∴，故h（x）在（1，+∞）上单调递增，h（x）＞h（1）=0，
∴h（x）＞0，即g′（x）＞0，故g（x）在（1，+∞）上单调递增，g（x）＞g（1）=0，
∴f（x）＞1，得证 （i）（1，+∞）；（ii）2-2ln3
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