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26.2　二次函数的图象和性质
26.2.3 二次函数 y＝ax ＋bx＋c的图象和性质
新课导入
1．你能说出函数y＝－4(x－2)2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标及其性质吗？
开口向下，
对称轴是直线x＝2，
顶点坐标是(2，1)，
当x>2时，y随x的增大而减小，
当x<2时，y随x的增大而增大，
当x＝2时，有最大值1.
2．函数y＝－4(x－2)2＋1的图象与函数y＝－4x2的图象有什么关系？
解：函数y＝－4(x－2)2＋1的图象是由函数y＝－4x2的图象向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度得到的．
探究新知
我们已经认识了形如y=a(x-h)2+k的二次函数的图象和性质，你能研究二次函数y=x2-6x+21的图象和性质吗
化成 y=a(x-h)2+k的形式.
思考：
对于二次函数y=x2 6x+21，如何画出它的图象并讨论它的性质？
提出问题：
(1)把二次函数y＝x2－6x＋21化成y＝a(x－h)2＋k 的形式 .
(2)写出二次函数y＝x2－6x＋21的开口方向、对称轴和顶点坐标．
(3)画出函数y＝x2－6x＋21的图象．
提出问题：
(4)观察图象，回答：
①抛物线y＝x2如何平移得到抛物线y＝x2－6x＋21
②二次函数y＝x2－6x＋21的y随x的增减性如何？
想一想：配方的方法及步骤是什么？
①“提”：提出二次项系数；
②“配”：括号内配成完全平方；
③“化”：化成顶点式.
y = x2 6x+21
配方后的表达式通常称为顶点式.
= (x2 12x) + 21
= (x2 12x+62) + 21 ×62
= (x 6)2+3
二次函数y=x2-6x+21图象的开口向上，对称轴是直线x=6，顶点坐标为(6，3).
y=x2
向右平移
6个单位
y=(x-6)2
向上平移
3个单位
y=(x-6)2+3
y=x2
向上平移
3个单位
y=x2+3
向右平移
6个单位
y=(x-6)2+3
方法1：
方法2：
怎样移动函数y=x2的图象可以得到函数y=(x 6)2+3的图象？
平移前后，图形的大小和形状不变，仅位置改变.
由二次函数y= x2 6x+21= (x 6)2+3，可知：
抛物线 y=x2
抛物线y= x2-6x+21
抛物线y= (x-6)2+3
相同
上移3，右移6
下移3，左移6
先利用对称性列表：
x … 3 4 5 6 7 8 9 …
y=x2-6x+21 … 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 …
在实际画图中，平移的方法不易操作，那么采取什么方法可以直接画出函数y=x2-6x+21的图象呢
描点法
描点、连线，画出函数图象.
y=x2-6x+21
开口_______，
对称轴是_________，
顶点坐标是_________.
向上
直线x=6
(6, 3)
当x<6时，y随x__________；
当x>6时，y随x__________.
当x=6时，y取________，最小值是____.
增大而减小
增大而增大
最小值
3
解：配方得 y = 2x2 4x+1
= 2(x2+2x)+1
= 2(x2+2x+1)+2+1
= 2(x+1)2+3
由配方结果知，此抛物线开口向下，对称轴是x= 1, 顶点坐标是( 1, 3)，顶点是图象的最高点.
探究：
你能用上面的方法研究二次函数y= 2x2 4x+1的图象和性质吗
画图：先利用对称性列表：
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
y=-2x2-4x+1 … -15 -5 1 3 1 -5 -15 …
描点、连线，画出这个函数的图象.
开口向下，
当x< 1时，y随x增大而增大；
y=-2x2-4x+1
对称轴是x= 1，
顶点坐标是( 1, 3) .
当x> 1时， y随x增大而减小.
y = ax2 + bx + c
∴对称轴是x = ，顶点坐标为( ，).
你能用上面的方法将二次函数y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x-h)2+k吗？
= (x2 + x) + c
= [x2 + x + ()2 ()2] + c
=(x + )2 +
从一般式到顶点式
要想讨论一般的二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质，应该先配方，得：
y =(x + )2 +
可知一般二次函数的图象的对称轴是x= ,顶点( ，).
y
O
x
（a<0）
y
O
x
（a>0）
二次函数y=ax2+bx+c的图象：
最小值
最大值
不画出图象, 你能直接说出函数y＝－x2＋2x－3的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？
开口向下，
对称轴直线x=1，
顶点(1， 2).
你能用上面的方法讨论二次函数y＝－x2＋2x－3的图象和性质吗？
思考函数的最大值或最小值与函数图象的开口方向有什么关系？
这个值与函数图象的顶点坐标有什么关系？
二次函数的最大值或最小值，就是顶点的纵坐标.
函数图象开口向上有最小值，开口向下有最大值.
你能由此总结归纳出二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质吗？
知识归纳
1．一般地，通过配方，可以将二次函数y＝ax2＋bx＋c化成y＝a(x＋)2＋. 因此，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是_____________，顶点是______________．
x＝－
(－，)
2．思考并完成下表：
函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 开口方向 a＞0，开口_______ a＜0，开口_______
对称轴 __________________ 顶点坐标 __________________ 向上
向下
x＝
(－，)
最大(小)值 当x＝ 时， y最小值＝_________ 当x＝ 时，
y最大值＝________
增减性 当x＜ 时，y随x的增大而_______；x＞ 时，y随x的增大而________ x＜ 时，y随x的增大而_________；x＞ 时，y随x的增大而________
减小
增大
增大
减小
例 1
例题与练习
求二次函数y＝－x2＋x－的顶点坐标及对称轴．
解：顶点坐标为(1，－2)，
对称轴为x＝1.
例 2
把抛物线y＝ax2＋bx＋c向右平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度，得到抛物线y＝－x2，求原来的抛物线的函数解析式.
解：抛物线y＝－x2先向上平移6个单位长度，得到抛物线y＝－x2＋6，再将抛物线y＝－x2＋6向左平移4个单位长度，得到抛物线y＝－(x＋4)2＋6，即y＝－x2－4x－2.
1.先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点, 说出随着x的增大，y的变化情况，再描点画图：
（1）y= 3x2+12x 3；
开口向下，
当x<2时，y随x增大而增大；
对称轴是x=2，
顶点坐标是(2, 9) .
当x>2时， y随x增大而减小.
（2）y=4x2 24x+26；
开口向上，
当x<3时，y随x增大而减小；
对称轴是x=3，
顶点坐标是(3, 10) .
当x>3时， y随x增大而增大.
(3) y = 2x2+8x 6;
开口向上，
当x< 2时，y随x增大而减小；
对称轴是x= 2，
顶点坐标是( 2, 14) .
当x> 2时， y随x增大而增大.
(4) y = x2 2x 1.
开口向上，
当x<2时，y随x增大而减小；
对称轴是x=2，
顶点坐标是(2, 3) .
当x>2时， y随x增大而增大.
2. 求下列函数的最大值或最小值：
（l）y=3x2+2x；
a = 3>0，开口向上，有最小值.
对称轴：x = = =
最小值：y = = =
（2）y= 2x2+8x 8.
a = 2<0，开口向下，有最大值.
对称轴：x = = = 2
最大值：y = = = 0
3．已知二次函数y＝2x2－mx＋8，当x＜－3时，y随x的增大而减小；当x＞－3时，y随x的增大而增大，则当x＝1时，y的值为______.
22
课堂小结
1．形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的二次函数的顶点坐标及对称轴的确定：
(1)当二次函数y＝ax2＋bx＋c容易配方时，可采用配方法来确定顶点坐标及对称轴方程；
(2)当a, b, c比较复杂时, 可直接用公式来确定：
抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为x＝－，顶点坐标为(－，).
2．解决二次函数y＝ax2＋bx＋c的平移问题时，应先将它化为y＝a(x－h)2＋k形式后进行．
随堂检测
1.已知二次函数y=ax2+bx+c的x，y的部分对应值如下表：
则该二次函数图象的对称轴为( ).
A. y轴 B.直线x= C. 直线x=2 D.直线x=
x -1 0 1 2 3
y 5 1 -1 -1 1
D
2.已知二次函数y= x2+2bx+c, 当x>1时，y的值随x值的增大而减小,则实数b的取值范围是( ).
A. b≥-1 B. b≤-1
C. b≥1 D. b≤1
D
3. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：
① a，b同号；
② 当x=-1和x=3时，函数值相等；
③ 4a+b=0；
④ 当y=-2时，x的值只能取0；
其中正确的是_______.
②
作业布置
(1)教材P44　习题26.2第3题；
(2)对应课时练习．
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine

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