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27.2　反比例函数的图象和性质
第2课时 反比例函数图象和性质的综合运用
新课导入
1．若点A(7，y1)，B(5，y2)在双曲线y＝－上，则y1，y2的大小关系为_________．
y1>y2
2．若点(－2，y1)，(－1，y2)，(1，y3)在反比例函数y＝(k<0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为_________．
3．点A(－2，a)，B(－1，b)，C(3，c)在双曲线y＝(k>0)上，则a，b，c的大小关系为_______．
y2>y1>y3
c>a>b
探究新知
例1 已知反比例函数的图象经过点A( 2，4).
点A(－2，4)在第几象限？
A( 2，4)
点A(－2，4)在第二象限.
解：因为点A(－2，4)在第二象限，
所以这个函数的图象位于第二、第四象限，
在每一个象限内，y随x的增大而增大.
（1）这个函数的图象位于哪些象限？y随x的增大如何变化？
A( 2，4)
对于第(1)问，还有其他的解答方法吗？
要判断函数的性质，我们首先可以求反比例函数的解析式.
求反比例函数的解析式一般用什么方法？
待定系数法
解：设这个反比例函数的解析式为y＝ .
已知图象经过点A(－2，4)，
将x=－2，y=4代入解析式：
4＝ .
解得：k=4×(－2)=－8.
所以这个反比例函数的解析式为：y＝－ .
因为k<0, 所以这个函数的图象位于第二、四象限.
在每一个象限内，y随x的增大而增大.
（2）点B(1， 8)，C(2， 3)，D(2，4)是否在这个函数的图象上？
A( 2，4)
B(1， 8)
C(2， 3)
D(2，4)
y＝－
因为点B，C在这个函数的图象上，点D不在这个函数的图象上.
我们如何判断点在不在函数的图象上？
例2 图中的曲线是反比例函数 y = 的图象的一支，根据图象，回答下列问题：
（1）图象的另一支位于哪个象限？常数m的取值范围是什么？
（2）在这个函数图象的某一支上任取点A(x1，y1) 和点B(x2，y2). 如果x1＞x2，那么y1和y2有怎样的大小关系？
反比例函数图象的分布有哪几种可能？
①位于第一、第三象限;
②位于第二、第四象限.
位于第一象限.
由图可知这个函数的图象的一支位于第几象限？
y =
所以另一支必位于第几象限？
怎么求常数m的取值范围？
位于第三象限.
y =
m 5>0，
解得m>5，
要比较y1和y2的大小，可以根据反比例函数的什么来解答？
y =
可以根据反比例函数的增减性（单调性）来解答.
因为m－5>0，所以这个函数的性质是什么？
因此当x1>x2时，y1和y2有怎样的大小关系？
在这个函数图象的任一支上，y都随x的增大而减小，
y =
y1＜y2
B(x2，y2)
A(x1，y1)
x2
x1
第(2)问除了课本上的解答方法，还有其他方法吗？
如图①，点P是反比例函数图象上的一点，PA⊥x轴于点A，连接PO.若S△PAO＝8，则这个反比例函数的解析式是_________；
y＝－
如图②，点P是反比例函数图象上的一点，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，四边形PAOB的面积为12，则这个反比例函数的解析式是__________．
y＝－
你有什么发现？
知识归纳
已知反比例函数的图象经过点A(a，b)(其中a≠0，b≠0)，可求出这个反比例函数的解析式．解题步骤如下：
(1)设这个反比例函数的解析式为________；
y＝
(2)把x＝______，y＝______代入这个反比例函数的解析式，解出________；
(3)所求的反比例函数的解析式为________；
(4)过点A分别作x轴、y轴的垂线，两垂线与两坐标轴围成的矩形面积S＝______．
a
b
k＝ab
y＝
|k|
例 1
例题与练习
如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点．
(1)根据图象，写出点A，B的坐标；
解：(1)A(－6，－2)，B(4，3).
(2)求出两函数的解析式；
(2)把B(4，3)代入y＝，得3＝，
∴m＝12，
∴y＝.
把A(－6，－2)，B(4，3)代入y＝kx＋b，
得
解得
∴一次函数的解析式为y＝x＋1.
(3)根据图象回答：当x为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值？
(3)由图象可知，当－64时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值．
例 2
如图，已知反比例函数y＝(k>0)的图象经过点A(1，m)，过点A作AB⊥y轴于点B，且△AOB的面积为1.
(1)求m，k的值；
解：(1)由已知，得S△AOB＝×1×m＝1，
解得m＝2.
把A(1，2)代入y＝，得k＝2.
(2)若一次函数y＝nx＋2(n≠0)的图象与反比例函数y＝的图象有两个不同的公共点，求实数n的取值范围．
(2)由(1)知反比例函数的解析式是y＝，
则＝nx＋2有两个不同的解．
方程整理，得nx2＋2x－2＝0，
则Δ＝4＋8n>0，
解得n>－且n≠0.
1.已知一个反比例函数的图象经过点A（2，6）.
（1）这个函数的图象位于哪些象限？在每一个象限内，y随x的增大如何变化？
第一、三象限
在每一个象限内， 随 的增大而减小
（2）点B（3，4），C（ 2， 4），D（2， 6）是否在这个函数的图象上？为什么？
B（3，4）
C（ 2， 4）
D（2， 6）
2.反比例函数 y = 的图象的一支位于第二象限, 图象的另一支位于哪个象限？常数m的取值范围是什么？
第四象限
所以 的取值范围是 .
第二、四象限的反比例函数，，
3.已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y=的图象上. 如果x1反比例函数 中 ，
在每个象限内， 随 的增大而减小.
已知 且 同号，说明两点在同一象限：
若 ，则 ；
若 ，则 .
所以结论：
4．反比例函数y＝与正比例函数y＝2kx在同一个平面直角坐标系中的图象不可能是下列选项中的 ( )
D
5．如图，双曲线y＝与直线y＝－x交于A，B两点，且点A(－2，m)，则点B的坐标是 ( )
A．(2，－1) B．(1，－2)
C．(，－1) D．(－1，)
A
6．如图，已知反比例函数y＝的图象的一支位于第一象限．
(1)判断该函数图象的另一支所在的象限，并求m的取值范围；
解：(1)根据反比例函数的图象关于原点对称知，该函数图象的另一支在第三象限，
则m－7>0，
解得m>7.
(2)O为坐标原点，点A在该反比例函数图象位于第一象限的图象上，点B与点A关于x轴对称，若△OAB的面积为6，求m的值．
(2)设线段AB交x轴于点C.
∵△OAB的面积为6,
∴△OAC的面积为3.
∴(m－7)＝3，
∵点B与点A关于x轴对称，
∴AC＝BC.
解得m＝13.
课堂小结
1．反比例函数图象上点的坐标特征．
2．反比例函数与一次函数的交点问题．
3．反比例函数中系数k的几何意义．
随堂检测
1、已知反比例函数y=的图象经过点（2，-4），下列说法正确的是（　 　）
A. 点（-4，1）在它的图象上
B. 它的图象分布在一、三象限
C. 当x>0时，y随x的增大而增大
D. 当x<0时，y随x的增大而减小
C
2、在反比例函数 (k<0)的图象上有三点 P1 (x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，若 x1A. y1C. y3B
3、如图，正比例函数y1＝k1x(k1≠0)的图象与反比例函数y2＝(k2≠0)的图象相交于A，B两点，其中点B的横坐标为－2，当y1＜y2时，x的取值范围是(　　)
A．x＜－2或x＞2
B．x＜－2或0＜x＜2
C．－2＜x＜0或0＜x＜2
D．－2＜x＜0或x＞2
B
4、正比例函数y=x的图象与反比例函数y=的图象的一个交点的纵坐标为4.求当x=-2时，反比例函数y=的对应函数值.
解：由题意可知正比例函数y=x的图象与反比例函数y=的图象均过点（4，4），
所以4 = ，
所以反比例函数为y = .
当x= 2时，反比例函数y = = 8.
所以k=16，
作业布置
(1)教材P73　习题27.2第4，6题；
(2)对应课时练习．
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine

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