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27.2　反比例函数的图象和性质
第1课时 反比例函数的图象和性质
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1．正比例函数y＝kx的图象是____________，当k＞0时，图象在____________象限；当k<0时，图象在______________象限．
一条直线
第一、第三
第二、第四
2．请分别画出y＝2x与y＝－2x的图象．
y＝2x
y＝ 2x
3．如何用描点法画一个函数的图象．
画二次函数、一次函数图象的一般步骤是：________、________、________．
列表
描点
连线
探究新知
思考：
回顾一次函数、二次函数的图象和性质的研究过程，如何研究反比例函数的图象和性质？
先画出函数的图象，再利用图象，结合函数的解析式研究函数的性质，这种方法同样适用于反比例函数.
有了前面的知识储备，我们换一个角度，从反比例函数的解析式出发，思考它的图象形状，运用数形结合的方法研究其性质.
反比例函数解析式 y = （k为常数，k≠0）
k>0
k<0
探究：
对于反比例函数 y= 与 y= ，结合它们的解析式，分析自变量的取值范围，以及y随x的变化而变化的规律，你能想象一下它们图象的位置和形状吗？你能画出它们图象的示意图吗？
用描点法画出反比例函数y= 与y=的图象，看看它们是否与你画出的示意图大致相同.
我们知道，正比例函数y＝kx的图象是一条直线，那么反比例函数y＝的图象是什么形状呢？你能用“描点”的方法画出反比例函数y＝和y＝的图象吗？
（1）列表. 写出几组x与y的对应值（填空）：
x ··· -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 ···
y= ··· - -1 3 1 ···
y= ··· -1 - -2 -3 6 2 1 ···
（2）描点. 以表中各组对应值为坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点.
-
-
-
-
-3
-6
3
（3）连线，用平滑的曲线顺次连接描出的点，就得到函数y= 与y=的图象.
观察y＝与y=的图象，图象在向下、向上延伸时，会与x轴、y轴相交吗？为什么？
不会
因为x≠0，所以函数图象由两支曲线组成.
思考：
观察反比例函数y＝与y=的图象，回答下列问题：
（1）每个函数的图象分别位于哪些象限？
第一、第三象限
（2）在每一个象限内，随着x的增大，y如何变化？你能由它们的解析式说明理由吗？
因为k>0，反比例函数 y = 在每个象限内，y随 x的增大而减小。
利用信息技术工具，画反比例函数y＝的k取不同值时的图象，考虑问题（1）（2），你能得出同样的结论吗？
观察函数图象，你还能发现什么呢？
①反比例函数的图象由两条曲线组成.
②图象关于原点成中心对称.
③函数图象与坐标轴无交点.
一般地，当k>0时，对于反比例函数y＝，结合函数图象与解析式，可以发现：
①函数图象的两支分别位于第一、第三象限；
②在每一个象限内，y随x的增大而减小.
探究：
回顾上述过程，我们从特殊到一般、数形结合地研究了反比例函数y＝的图象和性质，你能用类似的方法研究反比例函数y＝的图象和性质吗？
画出函数y＝ 与y= 的图象.
（1）列表.
x ··· -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 ···
y=- ··· 1 3 -3 - -1 - - - ···
y=- ··· 1 2 3 6 -6 -3 -2 - - -1 ···
（2）描点. 以表中各组对应值为坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点.
（3）连线，用平滑的曲线顺次连接描出的点，就得到函数y= 与y= 的图象.
y=
y=
观察你所画出的图象，你能发现它们的共同特征以及不同点吗？
每个函数的图象分别位于哪几个象限？
在每个象限内，y随x的变化情况如何？
一般地，当k<0时，对于反比例函数y＝，结合函数图象与解析式，可以发现：
（1）函数图象的两支分别位于第二、第四象限；
（2）在每一个象限内，y随x的增大而增大.
反比例函数是轴对称图形吗？是中心对称图形吗？
y＝
y＝
y=x
y= x
反比例函数是轴对称图形，对称轴为y=x和y= x，同时也是以原点为对称中心的中心对称图形。
比例系数 图象 图象形状 经过象限 增减性
y =
k>0
k<0
双曲线
第一、三象限
第二、四象限
y随x的增大而减小
y随x的增大而增大
观察如图所示的反比例函数的图象，你能发现k值和反比例函数图象离原点的远近有何关系？
反比例函数∣k∣越大，反比例函数的图象离原点越远.
y=
y=
知识归纳
一般地，反比例函数y＝的图象是双曲线，它具有以下性质：
(1)当k>0时，双曲线的两支分别位于___________象限，在每一个象限内，y随x的______而______；
第一、第三
增大
减小
(2)当k<0时，双曲线的两支分别位于__________象限，在每一个象限内，y随x的________而________；
(3)反比例函数的图象是轴对称图形，直线________和y＝－x是它的对称轴；它也是__________图形，对称中心是__________．
第二、第四
增大
增大
y＝x
中心对称
坐标原点
例 1
例题与练习
已知反比例函数y＝(m－1)xm2－3的图象在第二、第四象限，求m的值，并指出在每个象限内，y随x的变化情况．
解：∵y＝(m－1) xm2－3是反比例函数，
∴m2－3＝－1，且m－1≠0，
∴m＝±.
又∵图象在第二、第四象限，
∴m－1<0，
∴m＝－.
在每个象限内，y随x的增大而增大．
例 2
已知反比例函数y＝(m为常数)的图象在第一、第三象限．
(1)求m的取值范围；
解：(1)由题意，得1－2m>0，
解得m < .
(2)如图，若该反比例函数的图象经过 ABOD的顶点D，点A，B的坐标分别为(0, 3)，(－2, 0)，求出该反比例函数的解析式；
(2)∵四边形ABOD为平行四边形, A(0,3)，B(－2,0)，
∴AD∥OB，AD＝OB＝2.
∴点D的坐标为(2，3).
将D(2，3)代入反比例函数y＝，
得1－2m＝2×3＝6，
∴反比例函数的解析式为y＝.
(3)若A(x1，y1)，B(x2，y2)都在该反比例函数的图象上，且x1>x2>0，则y1和y2有怎样的大小关系？
(3) y1 < y2 .
1. 如图所示的图象对应的函数解析式为（ ）.
(A) y = 5x
(B) y = 2x + 3
(C) y＝
(D) y＝
C
2. 反比例函数 y = 的图象如图所示，则k___0；在每个象限内，y随x的增大而__________.
<
增大
3．已知一次函数y＝x－b与反比例函数y＝的图象有一个交点的纵坐标是2，则b的值为______．
－1
4．已知反比例函数y＝的图象在其所在的象限内，y随x的增大而减小，求k的值．
解：由题意，得
由①，得k>3，
由②，得k＝±2.
综合①②得k＝2.
课堂小结
1．反比例函数的图象．
2．反比例函数的图象和性质．
随堂检测
1、已知点M在反比例函数的图象上，其中a，k为常数，且﹐则点M一定在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
A
2、关于反比例函数，下列结论正确的是
（ ）
A．图像位于第二、四象限
B．图像与坐标轴有公共点
C．图像所在的每一个象限内，随的增大而减小
D．图像经过点，则
C
3、若a≠0，函数y＝与y＝ ax2+a在同一直角坐标系中的大致图象可能是（　　）
D
作业布置
(1)教材P72　习题27.2第2，5题；
(2)对应课时练习．
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine

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